多项式VaR回测：一种简单的隐式回测方法

在这个层次上，大小更为多变，在小样本中往往过高；特别是，在最小样本的情况下，单侧LRT（巴塞尔例外测试）的尺寸很小。分数测试似乎再次具有最佳的规模属性。在这种情况下，测试更强大，因为四个模型的分位数之间存在更明显的差异。由于非正态模型与正态模型相比产生了太多的异常，因此单侧测试比双侧测试更有效。分数测试和LRT似乎比Waldtest更强大一些。只有在最大样本（1000和2000）和最长右尾分布（倾斜t3）的情况下，我们才能获得高功率（绿色电池）。3.1.3多项试验结果结果如表3所示，并以图形方式显示在图1中。请注意，如第2.3节所述，N=1的Pearson检验给出的结果与表2中的双侧得分检验相同。在N=1的情况下，Nass统计量与Pearson统计量的值非常接近，也给出了大致相同的结果。N=1的轻轨是表2中的双面轻轨。测试的大小。表3的第一个面板中总结了三个测试的大小结果，其中G为正常值，图1的第一行图片中总结了这三个测试的大小结果。可以提出以下几点：N的Pearsonχ检验的大小迅速恶化≥ 8表明睾丸对箱子大小非常敏感Nass测试具有最佳的尺寸特性，对于所有N和所有样本尺寸的选择都非常稳定。与其他测试相比，2的尺寸始终小于或等于5%≤ N≤ 8.当N超过8时，尺寸有轻微增加5%以上的趋势在尺寸n=250的最小样本中，轻轨的尺寸过大，但在其他情况下，对于n的所有选择，轻轨的尺寸都是合理的。

与Nass相比，尺寸通常更大，倾向于略大于5%，除非n=2000和n≤ 图1：作为N函数的三个多项式检验的大小（第一行）和幂列对不同样本大小的响应，以及对不同基础分布的响应。G.5101520250 500 1000 2000正态20406080100T50204060801010031 2 4 16 32 64N204060801001 2 4 16 32 64N1 2 4 8 16 32 64N1 2 4 16 32 64Nst3size/幂检验=Pearson检验=Nass检验=LRTPower测验。在图1的第2–4行中，对于不同的真实底层分布G，三个测试的功效显示为N的函数。可以看出，对于所有N，LRT通常是最强大的测试。Nass检验的功效一般略低于皮尔逊检验；当N=8或N=16时，它往往会达到最大值，然后下降-这似乎是Nass测试进行的皮尔逊测试大小修正的代价。然而，通常最好使用N=8的Nass测试，而不是N=4的Pearson测试。以下是一些进一步的观察结果学生t5（第二排）。这是三次测试中最具挑战性的一次，因为尾巴比t3学生的尾巴轻，而且没有歪斜。结论如下：-对于Nass和Pearson测试，我们需要n=2000和n≥ 4获得70%以上的功率（表中为绿色）；-对于LRT，可使用n获得70%以上的功率≥ 1000和N≥ 16，orn=2000和N≥ 4.o学生t3（第三排）：-正如预期的那样，功率大于t5获得的功率；-为了使功率超过70%，我们需要在Pearsonand Nass测试中取n=2000；对于轻轨，我们可以取n=1000和n≥ 4，或n=500和n≥ 32.o倾斜学生t3（第四排）。在这里，当n=1000时，我们获得的所有三个测试的功率都大于70%≥ 4.

这是因为歪斜将尾部强烈地推到右侧。一般来说，N=4或8的Nass测试似乎是可接受的大小和功率之间的一个很好的折衷，并且略优于N=4的Pearson文本；也可以提出一个论点，认为N=4的Nass测试优于N=4的Pearsontest，因为使用一个比Pearson更稳定的测试是令人放心的，即使功率略微降低。与Nass相比，N=4或N=8的轻轨有点过大，但动力非常强大；对于更大的数据样本（参见n=2000的情况），它有自己的特点。如果获得拒绝不良模型的权力是压倒一切的担忧，那么n>8的LRT非常有效，但开始违反我们的测试不应比二项测试更繁重的原则。很明显，不管选择什么测试，我们都应该选择N≥ 4因为结果测试比二项测试或仅两个VaR水平的联合测试更有效。在表4中，我们收集了99%VaR（最强大的二项检验）例外情况的单侧二项得分检验的结果，以及Pearson和Nass检验（N=4）和LRT检验（N=4和N=8）的结果。在n的样本量中，多项检验的表现最为明显≥ 500.总之，我们发现：o对于n=250，对于t5，所有测试的功率小于30%，最大值由n=8的轻轨给出。对于t3来说，后者也是最强大的测试，是唯一一个功率大于30%的测试对于n=500，n=4的Nass和Pearson检验提供的值高于t3和st3的二项式检验，但t5的值略低。

在所有情况下，N=4的LRT比二项式、Pearson和Nass测试更强大，N=8的LRT更强大与最佳二项检验相比，多项式检验最明显的优势在于最大样本量n=1000和n=2000。在这种情况下，所有的多项式检验都比二项检验具有更高的幂。还应注意的是，二项检验的结果对α的选择更加敏感。我们在表2和表3中看到，它们在α=0.975时的性能非常差。使用一系列阈值的多项式测试对这些阈值的精确选择不太敏感，这使它们成为更可靠的测试类型。G n |测试箱（0.99）Pearson（4）Nass（4）LRT（4）LRT（8）Normal 250 4.0 5.6 5.0 6.5 6.5500 3.7 5.2 4.7 5.5 5 5 5.61000 3.8 5 5.0 4 5.5 5 5 5.4 4 4 4.5 5 5.0T550 17.7 14.1 12.8 15.8 21.6500 22.4 22.1 20.5 26.9 36.61000 33.0 40.2 39.4 46.4 61.82000 59.9 70.4 69.6 77.4 89.5t3 250 13.5 13.7 12.1 24.4 35.4500 16.2 25.2 22.4 44.2 58.61000 22.3 55.6 54.1 75.4 87.72000 41.4 91.0 90.5 96.8 99.4st3250 31.2 28.8 26.3 33.5 46.5500 44.2 50.7 47.6 59.3 73.61000 66.2 83.0 82.3 88.1 95.32000 92.9 98.7 98.6 99.3 99.9表4：α=0.99的单侧二项得分检验和N=4的Pearson、Nass和似然比检验以及N=8的LRT的估计大小和功效比较。结果基于10000次重复3.2静态回溯测试实验。我们实施的回溯测试风格（此处和第3.3节）旨在模仿实践中使用的程序，其中模型不断更新以使用最新的市场数据。

我们假设估计模型每10步更新一次；如果这些步骤被解释为交易日，则相当于每两个交易周。3.2.1实验设计在每个实验中，我们从真实分布中生成一个n+n值的总数据集；我们使用与上一节相同的四个选项。背面测试的长度n固定为1000。建模者使用一个滚动的n值窗口来获得估计的分布F，包括250和500。我们考虑了F的4种可能性：知道正确分布及其精确参数值的oracle。估计正确分布类型的优秀建模师（G为正态时为正态，G为t5或t3时为Student t，G为st3时为skewed Student）。可怜的建模师，总是估计正态分布（只有当G为正态时才令人满意）。行业建模者，通过形成标准的经验分位数估计值来使用经验分布函数，这种方法在行业中被称为历史模拟。为了明确滚动估算程序，建模人员首先使用数据，Ln形成模型F，并对j=1，…，进行分位数估计VaRαj，n+1，N、 然后将其与实际损失{Ln+i，i=1，…，10}进行比较，并计算每个VaR水平的异常。然后建模人员将数据集向前滚动10步，并使用数据L，Ln+10进行分位数估计VaRαj，n+11，与损失{Ln+10+i，i=1，…，10}相比；因此，总共对模型进行了重新估计，n/10=100次。我们考虑与之前相同的三个多项式检验和相同的levelsN数。

实验重复1000次，以确定排斥率。3.2.2结果在表5和表6中，我们使用了与之前相同的配色方案，但现在需要对尺寸和功率的概念进行解释。oracle的回溯测试结果（谁知道正确的模型）应根据大小进行明确判断，因为我们需要控制错误拒绝oracle分位数“估计”准确的完整假设的第一类错误。我们根据与oracle相同的标准来判断优秀建模者的结果。在此过程中，我们判断，当建模者选择正确的分布类别时，大小为n=250或n=500的样本足以在静态情况下参数估计分位数。在这种情况下，我们不想让高拒绝率太频繁地惩罚GoodModeler。因此，我们将尺寸着色方案应用于theoracle和优秀的建模者。糟糕的建模者的回溯测试结果应该根据能力来判断。我们希望为使用错误分布的建模者获得较高的拒绝率，无论他或她使用了多少数据。因此，在这种情况下，应采用幂着色。对于行业建模者来说，情况更加微妙。如果使用足够的数据，经验分位数估计是一种可接受的方法。然而，说什么是足够的数据并不容易，因为这取决于基础分布的尾部有多重，以及分位数估计到尾部有多远（取决于N）。