交易费用下的后验多阶段最优交易

最佳的交易策略是根据pt符号，即，即使这个非常小(pt公司→ 0).备注1在没有交易成本的情况下，在以下标志发生任何变化时进行交易：pt=pt- pt公司-1最佳交易政策。备注1表明，在没有交易成本的情况下，高频交易（Aldridge[2013]，Bowen等人[2010]）始终是最佳的交易政策。此外，请注意wt=wt-wt公司-1.≥0, t=1，2，Nt。因此，在没有交易成本的情况下，当采用最优交易政策时，在每一个时间步，财富至少不会有增量减少。当然，当包括非零交易成本时，一般情况下不再是这样，我们可能（至少暂时）有重量<0。此外，最佳交易频率将受到非平凡的影响。第5节给出了交易成本下最佳交易频率的量化示例。第五，受前一段的激励，在考虑交易成本的情况下，需要解决的一个问题是，考虑到长期趋势但价格暂时下跌，何时出售和再出售非货币资产。销售和反驳可能会优化利润。销售和反驳策略达到最佳所需的典型最低价格下降大约是比例交易成本水平的两倍。两次因为出卖和斥责。大约是因为资产的整数值和需要核算的固定交易成本导致的现金残差。3、无分流约束的多阶段优化3.1。多阶段优化多阶段过渡动态可以过渡图的形式建模。因此，我们为每个时间阶段t分配了一组可接受状态。对于无差异约束的投资轨迹优化，我们使用了一个转移图。

对于具有多元化约束、多重转移图和Z（q）t的投资轨迹优化，q=0，1，Q- 1，在第4节中进行了定义和讨论。相比之下，在本节的其余部分中，我们忽略了上标“（q）”，重点关注无差异约束的优化。我们定义了初始集Z=nz：Z=h0 0 m0 m0 0io。下面将讨论影响转换图生成的三个约束。3.2. 案例1：无约束交易频率备注2：假设在特定投资轨迹之后，在时间τ达到投资状态zτ时，特定iτ、wτ和jτ=iτ-1、进一步假设存在导致相同资产的另一个投资轨迹，即▄iτ=iτ，但与▄wτ>wτ和▄jτ6=jτ相反。然后，可以将前一个投资轨迹排除在最佳投资轨迹的可能候选段之外。这是因为，对于所有t>τ，任何延续最近投资轨迹的轨迹都将始终优于先前投资轨迹的延续。备注2促进了简单但高效的转换图生成：首先，everystate zt的分支-1.∈ Zt公司-根据跃迁动力学（2），将时间t处的所有可能状态zt汇总为时间t处的状态集-1从中可以访问ZT作为Jztt-1.其次，选择最佳转换，然后根据zt=（zt:maxjt）确定zt∈Jztt公司-1{wt}，它∈ 一） ，（7）回顾定义jt=it-1，从而选择wt值最高的溶液，它∈I={0，1，…，Nc+Na-1}. 生成的转换图保存了截至时间t的总Nz（t）=1+（Nc+Na）t状态≥ 0

对于时间范围Nt，最优投资策略，这里用Superscript“？”表示，然后可以通过向后asz进行重建？Nt公司=zNt：我？Nt=最大iNt{wNt}，iNt∈ 我,zt型-1={zt-1： it部门-1=j？t} ，则，t=Nt，Nt- 1.1.（8）由此产生的投资轨迹是最优的，因为通过构建向外延伸的转移图，从z开始，每项投资都存在一条财富最大化轨迹，它=0，1，Nc+Na-每次t=0，1，Nt。通过向后迭代，确定每个时间阶段的最优投资决策。3.3. 案例2：受可接受交易数量的限制我们限制投资轨迹最多包括K∈ Z+在t=0，1，根据Nt，我们将交易定义为导致资产识别号it发生变化的任何投资再分配。根据it的过渡=it-1因此，这不是交易。可管理状态集生成为zt=（zt:maxjt∈Jztt公司-1{wt}，kt<K且唯一，以及它∈ 一） 。（9） 因此，生成的过渡图总共包含Nz（t）=1+Ptl=1（Nc+Na）min（l，K）状态。最优投资决策的重构类似于（8）。请注意，状态总数Nz（t）很快就会达到一个很大的数字。因此，我们引入了一种启发式方法来减少Nz（t），同时不影响解的最优性。命题3.1在不影响最佳投资轨迹的确定的情况下，可接受状态集Ztof（9）可根据以下启发式缩小为▄Zt：1：初始化：▄Zt=Zt。2： 对于每一个it∈ 使相应的zt∈ Ztof（9）：3：计算：koptt（it）=nkt：w0，optt（it）=最大{wt}s.t.对应的zt∈ Ztof（9）o.4：收缩：~Zt=~Zt\\nzt:kt>koptt（it）o.5：结束验证。W、 l.o.g.，假设对于给定的it=i∈ 我方已确定koptt（it）。让associatedstate向量用zoptt（it）表示。

然后，我们可以丢弃所有的zt，其中它=i和kt>koptt（it），因为w0，optt+τ（it）≥ wt+τ，τ ≥ 因此，与对应于所有zt的可接受集相比，状态zoptt（it）的可接受集至少更大一个额外交易选项∈ Ztof（9），其中it=i，kt>koptt（it）。请注意，总状态数Nz（Nt）无法像以前那样精确预测。它现在依赖于数据。第5.3.4节报告了定量影响。案例3：每笔交易后的等待期到下一笔交易我们将投资轨迹限制为在每笔交易执行后至少等待一个特定的时间段D，直到下一笔交易。因此，可容许状态集生成为zt=（zt:maxjt∈Jztt公司-1{wt}，dt<D且唯一，以及it部门=∈ 一） 。（10） 因此，生成的转换图总共包含Nz（t）=1+Ptl=1（Nc+Na-1） 最小值（l，D）+1+最小值（最大值（0，l- D） ，D- 1） 各州。最优投资决策的重构与（8）相似。与第3.3节类似，州的总数Nz（t）很快就达到了很大的数字。因此，我们还引入了一种启发式方法来减少Nz（t），同时又不影响解决方案的最优性。命题3.2在不影响最佳投资轨迹的确定的情况下，可接受状态集Ztof（10）可根据以下启发式缩小为“Zt”：1：初始化：“\'Zt=Zt”。2： 对于每一个it∈ 使相应的zt∈ Ztof（10）：3：计算：doptt（it）=ndt：w0，optt（it）：=最大{wt}s.t.对应zt∈ Ztof（10）o.4：收缩：\'Zt=\'Zt\\nzt:0<dt<doptt（it）o.5：结束验证。W、 l.o.g.，假设对于给定的it=i∈ 我已经确定了doptt（it）。让associatedstate向量用zoptt（it）表示。

然后，我们可以丢弃所有zt，其中it=i，0<dt<doptt（it），因为w0，optt+τ（it）≥ wt+τ，τ ≥ 0，并且与对应于所有zt的可容许集相比，状态zoptt（it）的可容许集更大，因为它至少在一个交易采样时间内接近潜在的下一个交易∈ Ztof（10），其中it=i，0<dt<doptt（it）。与第3.3节类似，由于状态总数取决于数据，因此无法精确预测状态总数Nz（Nt）。定量结果见第5节。这种启发式方法在实践中显著降低了计算复杂性。4、具有多元化约束的多阶段过渡动态优化在投资组合优化中，引入多元化约束被视为降低提款风险的措施。为了分析历史最优交易，我们首先将初始财富按相等比例划分为Q部分。然后，我们对每个相应的Q投资轨迹施加约束。在无约束的情况下，所有Q轨迹都会重合。在受限情况下，我们区分i）多个投资轨迹之间的约束：仅在初始时间进行多元化，始终允许多元化，异步交易和同步交易，以及ii）沿任何特定投资轨迹的约束：无约束的交易频率，沿投资轨迹最多K次交易，以及在每次执行交易后执行等待期。我们在特定时间t定义了一个多元化约束，使得各部门的状态zt∈ Z（q）t，q=0，Q-1、必须进行不同的投资。因此，每个资产识别号i（q）t必须不同t=0，1，Nt，q=0，1，Q- 1、我们定义了可容许状态集Z（q）t，t=0，1，Ntand公司q=0，1。

Q-1，按最优性顺序排列。因此，Z（1）t，t=0，1，Ntis仅为与Z（0）t相关的最优投资轨迹构建会计，即集合Z（0），？t，t=0，1，Nt，而Z（q）构建了与Z（0）相关的所有最优投资轨迹，？t、 Z（1），？t、 ，Z（q-1),?t、 这里，Z（q），？t，q=0，1，Q- 1表示根据（8）沿最优投资轨迹重建最优投资决策所产生的每个时间t的状态集。因此，我们的方法旨在最大限度地投资于按最优性排序的投资轨迹。4.1. Q轨迹、时间子集的差异和异步交易我们将交易采样时间子集定义为T（Q） {0，1，…，Nt}，q=0，1，Q- 1、为了实现Q轨迹形式的多样化、交易时间子集的多样化和异步交易，可容许状态集初始化为z（Q）=nz:z=h0 0 m0，q0 m0，q0 0io，q=0，1，Q- 1.（11）对于沿投资轨迹的无约束交易频率，且t>0，因此根据z（q）t=（zt:maxjt）生成可容许状态集∈Jztt公司-1{wt}，它∈ I如果t/∈ T（q），或。。。它∈ 我\\∪nit：它=i（r），？t、 z（r），？t型∈ Z（r），？toq公司-1r=0如果t∈ T（q）），（12），q=0，1，Q- 1，其中z（r），？t型∈ Z（r）t表示与投资轨迹r相关的时间t的最佳状态。对于沿任何投资轨迹最多K个可容许交易且t>0的情况，可容许状态集根据Z（q）t=（zt:maxjt）生成∈Jztt公司-1{wt}，kt<K且唯一，以及它∈ I如果t/∈ T（q），或。。。kt<K且唯一，以及它∈ 我\\∪nit：它=i（r），？t、 z（r），？t型∈ Z（r），？toq公司-1r=0如果t∈ T（q）），（13），q=0，1。

Q- 1、对于在任何投资轨迹上的每次执行交易后强制执行等待期且t>0的情况，可容许状态集根据z（q）t=（zt:maxjt）生成∈Jztt公司-1{wt}，dt<D且唯一，以及它∈ I如果t/∈ T（q），或。。。dt<D且唯一，以及它∈ 我\\∪nit：它=i（r），？t、 z（r），？t型∈ Z（r），？toq公司-1r=0如果t∈ T（q）），（14），q=0，1，Q- 1.4.2. Q轨迹、所有时间的多样化和同步交易让我们将交易采样时间的子集定义为T {0，1，…，Nt}。例如，该子集可以指示沿与Z（0）相关的最优投资轨迹执行交易的采样时间，？t： t={t:i（0），？t6=j（0），？t，z（0），？t∈ Z（0），？t，t=1，Nt}。可容许状态集的初始化如（11）所示。然后，对于沿投资轨迹的无约束交易频率且t>0，根据z（q）t=（zt:zt=zt）生成可容许状态集-1如果t/∈ T，或。zts。t、 最大JT∈Jztt公司-1{wt}，它∈ 我\\∪nit：它=i（r），？t、 z（r），？t型∈ Z（r），？toq公司-1r=0如果t∈ T） ，（15）q=0，1，Q- 1、任何投资轨迹上最多K笔可接受交易的情况，以及在任何投资轨迹上的每次执行交易后都有一个等待期的情况，都可以类似地确定。4.3. 备注和相关解释量注意，所提出的框架还可以扩展到分析备选优化标准，例如，确定最坏情况下的投资轨迹（悲观化），或跟踪目标回报参考轨迹（指数跟踪）。为了解释以下第5节中的量化结果，我们将总回报（以百分比计量）定义为rtot，（q）Nt=100wNt-栈单，q∈ Q、 同样，我们定义了tas rtot，（Q）t，q∈ Q、 我们进一步将交易总数报告为KtotNt。

时间框架t内任何两个交易之间的最小时间跨度∈ Nt={0，1，…，Nt}应使用dminnt表示。此外，我们还对每次非货币资产交易的平均、最小和最大百分比收益感兴趣。因此，我们首先确定了与参考货币（欧元）相关的数量G（q）=wτ- wηwη：带τs.t.τ=t- 1，’i∈ 伊娜，它-16=’i，it=’i，带ηs.t.η=t，’i∈ INa，it=\'i，it+16=\'i，τ>η，zt∈ Z（q），？t，t型∈ Nt，q∈ Q,据此，我确定了一项权益资产。然后，平均值、最小值和最大值应表示为平均值(G（q）），最小值(G（q））和最大值(G（q）），分别为。相关交易时间汇总于T（q）=τ - η：带τs.t.τ=t- 1，’i∈ 伊娜，它-16=’i，it=’i，带ηs.t.η=t，’i∈ INa，it=\'i，it+16=\'i，τ>η，zt∈ Z（q），？t，t型∈ Nt，q∈ Q,表1：。示例1，见第5.1节。确定考虑中的货币和资产。资产i交易的货币用c（i）表示。纳斯达克100指数的参考货币为美元。我负责财务。雅虎符号解读c（i）0–欧元01 EURUSD=x美元12^NDX Nasdaq-100 1以及相应的平均值(T（q）），最小值(T（q））和最大值(T（q））相应定义。然后，我们可以将感兴趣的数量分为两组：总体绩效指标，以及沿着投资最优轨迹与非货币资产持有相关的数量。因此，我们在评估向量和矩阵中简洁地总结了结果E（q）=hrtot，（q）NtKtot，（q）NtDmin，（q）Nti，q∈ Q、 （16）E（Q）=平均值(G（q））最小值(G（q））最大值(G（q））平均值(T（q））min(T（q））最大值(T（q））, q∈ Q、 （17）5。数值算例为定量评价结果，报告了三个数值算例。对于所有示例，都选择了一年的时间范围。采样时间选择为一天。

外汇汇率和股票指数的调整成交价格均从财务中检索。雅虎。通用域名格式。作为预处理步骤，所有非货币资产在t=0时以其对应的货币标准化为值100。第一个示例处理欧元、美元和纳斯达克100指数的最佳交易。选择这种情景主要是为了分析货币效应。没有实施任何分流约束，因此我们的Q=1。第二个示例处理16种不同货币和15种不同非货币资产的最佳交易。Q=3时采用了分流约束。第三个示例比较了典型的下跌和上涨股票的结果。本节说明了i）不同的交易成本水平，以及ii）对后验最优交易绩效的各种约束的影响。5.1. 示例1：欧元、美元和Nasdaq-100数字示例1的结果总结在表2中。考虑了具有可变比例成本但固定成本不变的不同交易成本水平。在表2中，评估表2。第5.1节中示例1的定量结果摘要。 = 0 = 0.5 = 1. = 2购买并持有-零点二一二五零 -一点二一二五零 -二点二一二五零 -四点二一二五零无限制H330.0 165 1i“2.0 0.1 11.01.8 1 5#h134.6 59 1i”3.9 0.9 11.85.5 1 21#h86.2 31 1i“5.9 0.4 16.612.2 1 45#h50.1 14 1i”8.2 3.1 15.520.0 3 45#≤ 12贸易106.8 12 6i“11.9 7.1 17.823.7 11 45#h87.9 12 6i”11.0 6 17.223.7 11 45#h72.5 12 5i“10.1 5.8 16.623.8 11 45#h49.6 12 1i”9.2 5.0 15.523.7 11 45#≥ 10天等待114.2 18 10i“9.1 2.7 16.615.3 10 21#h84.8 17 10i”9.2 2.7 16.016.1 11 21#h68.4 13 10i“9.8 6.0 15.422.3 11 45#h46.5 10 11i”9.3 5.9 15.525.4 12 45#针对不同的交易策略报告数量e（0）和e（0）。对于买入并持有策略，只报告了e（0）。

我们假设外汇和资产交易的比例成本（以%表示）相同，即。， = 购买=卖对于 = 0，我们也设置β=0。对于所有其他情况，我们设置β=50。总回报（rtot，（q）Nt）以粗体字打印。利息的时间跨度为2015年8月5日至2016年8月3日，包括251个潜在交易日。可以对表2的结果进行一些观察。首先，即使只有两种货币，欧元和美元，即∈ INc={0，1}，和一项非货币资产，即∈ INa={2}，仅进行多头交易，当以最佳方式进行后验交易时，可以获得显著的收益。即使在交易成本（高）且比例率为2%的情况下，利润也明显优于一年期买入并持有策略。其次，不同交易成本水平的影响令人印象深刻。这特别适用于无约束交易，涉及非货币资产交易的回报、最佳交易频率和百分比收益（平均、最小和最大）。第三，虽然总回报随着交易成本水平的增加而下降，但对于K交易策略，剩余的评估数量保持大致不变（这里K=12，即每年12次或每月1次）。第四，与非货币资产交易收益百分比相关的结果出乎意料。直觉上，他们被认为更高。这同样适用于任何两次交易之间的最佳时间段。示例1的结果鼓励频繁交易。例如，对于等待约束的情况，在所有四个交易成本水平的平均收益百分比略低于10%的情况下，鼓励交易。图2进一步显示了结果。为了简洁地显示多重汇率，我们将汇率标准化。