高波动性资产障碍期权的有效定价

随后，最小miof^S穿过下势垒L的概率等于toP（^mi≤ L | Si，^Si+1）=P^S（i）+^S（i+1）-q[^S（i+1）-^S（i）]- 2bh日志X≤ L|^Si，^Si+1= Pq[^S（i+1）-^S（i）]- 2bh日志X≥ （^S（i）+^S（i+1））-2L| Si，^Si+1= P^S（i+1）- 2^S（i）^S（i+1）+^S（i）- 2bh日志X≥ （^S（i）+^S（i+1））- 4L（^S（i）+^S（i+1））+4L | Si，^Si+1= P^S（i+1）- 2^S（i）^S（i+1）+^S（i）- 2bh日志X≥^S（i）+^S（i+1）+2^S（i）^S（i+1）-4L（^S（i）+^S（i+1））+4L | Si，^Si+1= P- bh日志U≥ 2^S（i）^S（i+1）-2L^S（i）+2L^S（i+1）+2L|Si，^Si+1= P日志U≤ -^Si（^Si+1- L）- 2L（^Si+1- 五十） bh |^Si，^Si+1= P日志U≤ -2（^Si- 五十） （^Si+1- 五十） bh |^Si，^Si+1= PU≤ 经验值-2（^Si- 五十） （^Si+1- 五十） 伯克希尔哈撒韦|^Si，^Si+1= 经验值-2（^Si- 五十） （^Si+1- 五十） 伯克希尔哈撒韦.（50）（50）中的概率指的是运行最小值穿过下部屏障的情况。因此，保持在较低势垒之上的概率等于其补码^pi，L=1-经验值-2（^Si- 五十） （^Si+1- 五十） 伯克希尔哈撒韦, （51）资产价格保持在[0，T]上的壁垒内的概率等于^pi=^pi，U^pi，L=1.-经验值-2（U-^Si）（U-^Si+1）bh1.-经验值-2（^Si- 五十） （^Si+1- 五十） 伯克希尔哈撒韦.（52）粗略路径估计的生存概率的计算遵循（52），通过使用（48）对其进行调整。然后，期权保持有效，直到时间t=t=nh，此时资产价格在L和U之间有界，在粗略路径估计的情况下，使用等于i+1/2的中点，等于^pi=1.-经验值-2（U-^Si）（U-^Si+1/2）bh1.-经验值-2（U-^Si+1/2）（U-^Si+1）bh(53)×1.-经验值-2（^Si- 五十） （^Si+1/2- 五十） 伯克希尔哈撒韦1.-经验值-2（^Si+1/2- 五十） （^Si+1- 五十） 伯克希尔哈撒韦.（54）D模拟研究结果[此处见图8][图9关于此处。][关于此处的表2。][关于此处的表3。]图1：目标事件。目标事件E由所有Z向量组成，这些Z向量将导致positivepayo FFF（选项执行）。

Z空间和S空间之间的映射由（2）给出。Z-spaceznz1正收益-spaceklnu1s1lnueq。（2） 图2：性能函数。函数g（S）量化了资产价格轨迹S与正收益的距离，当S停留在障碍U和L之间，并在走向K上方结束时，就会出现正收益。所描绘轨迹上的g（S）值是上障碍上方（红色）、下障碍下方（蓝色）和走向下方（紫色）垂直条高度的负值。Time tAsset price StUt0=0tN=TLK=S0图3：子集模拟示意图。首先，蒙特卡罗样本（1），生成U（m）。接下来，选择▄m=βm“种子”（距离E最近的样本），并使用MMA生成V（1），V（m）沿E方向从这些种子中提取。子算法以这种方式进行，直到达到目标罕见事件E并进行有效采样。在此可视化中，m=6，β=1/3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91图4：均方误差和复杂性/^P成本。模拟结果表明，MSE比例（如1/| log pE | k，其中k=3）是一个常数（左）。根据理论发现，模拟的MSE随着pE的增加而下降。子系统相对于执行概率的计算成本/复杂性（右）。仿真结果表明，成本可以由| log pE | r，r=4的函数来限定。使用公式（30）和公式（1）中的结果计算理论线。

（34）使用表1.0.363 0.322 0.282 0.242 0.202 0.162 0.121 0.081 0.041 0.001的CV和执行概率（pE）00.511.522.533.544.5510-7子公司的均方误差（MSE）计算0.363 0.322 0.282 0.242 0.202 0.162 0.121 0.081 0.041 0.001执行概率（pE）00.511.522.53计算成本106子公司的计算成本TicalSimulated图5：资产价格轨迹。顶部面板显示了导致零收益的两条资产轨迹：一条轨迹在时间tk时突破了上限U，另一条轨迹在走向SN<K以下。底部面板显示了导致正收益的资产价格轨迹- K、 为了便于说明，上下屏障都是恒定的。时间t设置价格StUt0=0tN=TLK=S0SNPositivePayoffAsset价格StUt0=0tN=TLK=S0ZeroPayofftkSNSNFigure 6：CV比率。给出了δ（μpMCSE）/δ（μpSubSimE）和δ（bPMCS）/δ（bPSubSim）与波动率σ的比值（左）。当NL=90和U=110（右）时，子集模拟中使用的样本总数。0.2 0.222 0.244 0.267 0.289 0.311 0.333 0.356 0.378 0.4 pE和P0（PMCS0）/（PSubSim0）（价格）（pMCSE）/（pSubSimE）（执行概率）CV的波动性0510152025CVMCS/CVSubSimRatio0.2 0.222 0.244 0.267 0.289 0.311 0.333 0.356 0.378 0.4挥发性1.41.61.822.22.42.62.833.2样品总数105子系统中的样品总数。样本图7：期权价格P的CV比率。针对蒙特卡罗子集模拟（顶部）和多级蒙特卡罗子集模拟（底部），绘制了与资产波动率相关的结果。

给出了四种不同的势垒级别（为了进行模拟，我们主要使用Mike Giles提供的代码athttps://people.maths.ox.ac.uk/gilesm/mlmc/在文件mcqmc06中进行必要的调整。m） 。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45挥发性01020304050CVMCS/CVSubSimRatio of CVs：（PMCS0）/（PSubSim0）[60140][70130][80120][90110]0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45挥发性01234567CVMLMC/CVSubSimRatio of CVs：（PMLMC0）/（PSubSim0）[60140][70130][80120][90110]图8：障碍期权价格。三种方法关于挥发性的结果报告。这四个图表对应上下屏障的不同级别。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450246810期权价格【60140】子公司CSMLMC0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450246810【70130】子公司CSMLMC0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450246810期权价格【80120】子公司CSMLMC0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.4500.511.52【90110】子项CSMLMC图9：变异系数（CV）。报告了三种方法100次定价算法波动率的结果。这四个图表对应上下屏障的不同级别。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.4500.0020.0040.0060.0080.01变异系数（CV）[60140]子项CSMLMC0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.4500.0050.010.0150.02[70130]子项CSMLMC0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.0.4 0.4500.020.030.040.050.06变异系数（CV）[80120]子项CSMLMC0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450246810[90110]子项CSMLMCTABLE1： 仿真结果。该表显示了SUFIDM和MCS针对不同波动率σ值获得的执行概率和障碍期权价格P估计值的平均值和变异系数。

所有统计数据均来自100次独立运行的算法。σ^pSubSimE/^pMCSEbPSubSim/bPMCSδ（^pSubSimE）/δ（^pMCSE）δ（bpsubim）/δ（bPMCS）0.200 8.30×10-3/ 8.26 ×10-32.93 ×10-2/ 2.91 ×10-20.030 / 0.0281 0.034 / 0.03470.216 4.32 ×10-3/ 4.34 ×10-31.52 ×10-2/ 1.53 ×10-20.032 / 0.0391 0.036 / 0.04760.233 2.04 ×10-3/ 2.04 ×10-37.18 ×10-3/ 7.19 ×10-30.039 / 0.0596 0.044 / 0.06730.252 8.67 ×10-4/ 8.76 ×10-43.06 ×10-3/ 3.11 ×10-30.048 / 0.0788 0.055 / 0.09850.272 3.23 ×10-4/ 3.21 ×10-41.14 ×10-3/ 1.15 ×10-30.057 / 0.126 0.062 / 0.1600.294 1.06 ×10-4/ 1.08 ×10-43.75 ×10-4/ 3.80 ×10-40.060 / 0.217 0.069 / 0.2820.317 2.91 ×10-5/ 2.63 ×10-51.03 ×10-4/ 9.38 ×10-50.076 / 0.406 0.081 / 0.4760.343 6.85 ×10-6/ 5.66 ×10-62.46 ×10-5/ 2.14 ×10-50.099 / 0.759 0.109 / 1.0140.370 1.31 ×10-6/ 9.93 ×10-74.69 ×10-6/ 3.06 ×10-60.153 / 1.971 0.160 / 2.3370.400 1.99 ×10-7/ 2.45 ×10-77.20 ×10-7/ 1.10 ×10-60.180/3.844 0.205/4.017表2：障碍期权价格。