算法交易中部分信息的平均场对策

对于eachj∈ N、 让A-j： =×i∈N、 i6=jAi，我们假设子总体k中的agent-j∈ K选择A控制νj∈ Aj最大化功能Hj:Aj×a-j→ R、 定义为（2.11）Hj（νj，ν-j） =EXνjT+qj，νjTSν（N）T- ψkqj，νjT- φkZTqj，νju杜邦,式中φk≥ 0，ψk>0是可能因子总体k而变化的常数，其中ν-j:=ν, . . . , νj-1，νj+1，νN表示目标对分配代理控制的依赖性。代理人的目标由三个不同的部分组成。第一部分XνjT是代理人的累计现金总额。第二个分量qj，νjTSν（N）T- ψkqj，νjT, 代表终端存货的按市值计价，并包括清算罚款。实际上，作为ψk→ ∞, 代理在交易间隔结束时完全清算其库存，因为在该限制下，在时间T持有非零库存的成本将变为最终成本。最后一点-φkRTqj，νjudu代表对在整个交易期间持有大量多头或空头库存头寸的代理进行处罚的连续处罚。参数φkc可以被视为控制代理人的风险偏好，因为对于φk的大值，代理人j将有很大的不愿意承担任何市场风险。这种惩罚也可以从代理对模型不确定性的解释角度来理解，如【9】中所分析的。代理通过价格影响项ν（N）进行交互，该项隐含在Sν（N）的动力学中。

同一子群体中的代理具有相同的目标功能，这意味着子群体以类似的方式行事，尽管每个代理的策略都适用于他们自己的库存（除了中间价），因此代理的策略并不相同。将qj、νjT、XjT和STusing（2.3）、（2.4）和（2.5）分别替换为定义（2.11），使用分部积分，并取期望值，我们得到目标函数的替代形式：（2.12）Hj（νj，ν-j） =E“Xj+QjS- ψQj+ZT（qj，νjtdSν（N）t-νjtqj，νjt|akψkψkφk！νjtqj，νjt！dt）#。这种表示使得参数三元组（ak，φk，ψk）对objectivefunction的影响显式。三联体在亚群体k的所有成员之间共享，将对代理的行为产生直接影响。这种三联体在不同亚群中的变异使我们能够结合异质性试剂。备注2.1。上述模型的设计是为了激励代理人在交易期间将其库存水平qj，tTo变为零。特别是，子群体k中的代理人j因非零暴露而受到最终清算罚款的处罚-ψk（qj，νjT）和运行惩罚-φkRT（qj，νjt）dt均出现在目标函数（2.11）的表达式中。可以将此模型推广到相反的情况下，迫使代理将其库存水平带向某个随机交易目标{QjT}Nj=1，这样代理-j会因为在时间T偏离其交易目标QjT而受到惩罚，而不是偏离0。这可以通过将以前的码头清算和运行罚款替换为-ψk（qj，νjT-QjT）和-φkRT（qj，νjt-Qjt）dt。

由于中间价格模型中的线性结构，很容易证明对目标函数的这种修改完全等同于对过程的初始条件进行修改，从qj，νj=qjt到qj，νj=qj- QJT用于eachj∈ N、 如果我们施加{Qj-QjT}Tj=1是独立的，即E（Qj-QjT）<C j∈ N、 而E[Qj- QjT]=mk j∈ K（N）K，那么本文后面的所有结果都适用于具有随机交易目标的广义模型，这是通过用Qj简单地替换每个库存过程的初始条件来实现的- QjT。2.4. 随机博弈。如前所述，所有代理都寻求自身目标函数的最大化，我们为所有代理寻求最优策略。更正式地说，我们寻求控制集合{ωj∈ Aj:j∈ N} 使得（2.13）ωj=arg supω∈AjHj（ω，ω-j） ，则，j∈ N确定这一控制集合绝非易事，因为每一种药物的目标功能都受到所有药物控制的影响。此外，代理之间的可接受控制集有所不同——回想一下，每个代理只能访问由中间价和其库存生成的过滤。由于我们正在寻找的最优控制集8 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.以及目标函数（2.11）中存在的随机过程适应了不同的过滤，因此后一个观察结果存在困难。这一事实阻止我们（直接）应用动态规划或随机最大值原理工具的标准集来解决问题。3、求解平均场随机对策。我们要解决的随机博弈存在许多障碍，这些障碍阻碍了它的直接解决。在本节中，我们通过解决随机游戏的MFG版本来克服这些障碍。为了构建制造业，我们采用人口规模趋于完整的限制。

在极限条件下，最终玩家游戏成为一种（随机）制造游戏，其中代理不再直接相互交互，而是通过一组平均场过程（每个亚群一个）进行交互。在本节的其余部分，我们介绍了有限人口限制内产生的MFG，提供了每个代理的最优策略的闭合形式表示，以及游戏中平均场过程的闭合形式表示。虽然我们没有通过建立-纳什均衡性质在第4节中，我们证明了在种群规模足够大的情况下，为制造业获得的均衡解可以很好地近似于有限种群博弈。我们首先将随机博弈的人口极限和每个目标函数的人口极限取为N→ ∞, 为了产生一个新的极限目标函数和一个（随机）MFG。针对这个极限目标函数，我们继续应用凸分析中的工具，以向量值正倒向随机微分方程（FBSDE）的解的形式获得每个代理的最优操作。接下来，我们通过显式求解FBSDE来获得MFG中的平衡。3.1. 极限平均场游戏。从（2.12）中，我们可以看到，在每个目标函数中，依赖于种群规模N的唯一一个术语是allagents（ν（N）t）t的平均交易率∈[0，T]。此外，这种依赖性仅通过中间价格动态ν（N）出现。为了说明极限问题，我们对平均交易率极限的存在性做了一些额外的假设。假设存在过程νk=（νkt）t∈[0，T]表示k∈ K所以νK∈ HTandνkis F-可预测，其中（3.1）limN%∞νk，（N）t=νkt，P×ua.e。

，u是[0，T]上Borel-sigma代数上的Lebesgue测度，P×u是P和u的正则积测度。备注3.1。每个νkis F-可预测的假设可以放宽到可预测的w.r.t到过滤器∨j∈NFJ，对随后的结果没有任何更改。我们将每个过程称为{νk}k∈k子总体平均场，其中每个组成部分代表给定子总体内的极限平均交易率。由于子种群的相对大小的假设（见（2.2）），限制为N→ ∞, 存在具有算法交易9总平均交易率ν（N）的部分信息的FG。更具体地说，让我们将人口平均场定义为过程ν=（νt）t∈[0，T]式中，νT=limN%∞ν（N）t，然后νt列出并承认呈现（3.2）νt=Xk∈Kpkνkt，P×ua.e.，其中{pk}k∈Kre表示方程式（2.2）中定义的每个子种群的限制比例。在这些假设下，资产价格过程的极限动态满足（受控）SDE（3.3）dSνt=At+λXk∈Kpkνkt！dt+dMt，我们将所有价格影响条款替换为其限制。因为我们将agent-j限制为允许集Aj中的交易动作νjj HT，如N→ ∞,每个代理人对ν（N）tvanishes的个人贡献。此外，在检查等式（2.12）中agent-j目标泛函的定义后，我们看到了对ν的依赖性-日本只通过过程ν（N）出现，该过程收敛到νtin极限。这两个标记意味着→ ∞, 每个代理的目标函数不再直接依赖于ν-j、 但它取决于人口统计νt，它代表了限额内所有代理的平均价格影响。为了便于记法，我们因此在极限中抑制了目标泛函的第二个参数。

因此，子群体k中的代理j寻求最大化功能Hj:Aj→ R、 （3.4）Hj（νj）=E“ZT（qj，νjtdSνt-νjtqj，νjt|akψkψkφk！νjtqj，νjt！）dt#，我们使用表示（2.12）并省略常量项获得。上述目标函数隐含地依赖于过程{νk}Kk=1，我们在处理代理的优化问题时需要确定这些过程。我们接下来的目标是通过确定一组形成纳什均衡的策略来解决平均场随机博弈。换句话说，我们寻求一组控件{νj}∞j=1sothat（3.5）νj=arg supνj∈AjHj（ν），对于所有j∈ N、 由于νt的定义，我们要求控制集合同时满足一致性条件（3.6）νt=limN%∞NNXj=1νjt。10 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.的最优控制问题与离散种群博弈的形式相似，主要差异在于在最优条件下对控制集合施加的一致性条件。我们在这里使用的模型属于扩展平均场控制博弈，如[16，7]中所述。通过一致性条件（3.6）出现的平均场的特定“固定点”公式遵循了[19、27、13]中的平均场博弈方法。3.2. 解决代理的优化问题。在本节中，我们解决了形成制造商纳什均衡的控制集合。为了实现这一点，我们使用了凸分析文献中的技术，在精神上类似于[2]中用于最优套期保值问题的方法。

我们通过证明代理的最优控制可以表示为特定线性向量值FBSDE的解来得出结论。求解（3.4）中定义的目标函数Hj的最优控制，由于代理无法观察中间价过程的各个组成部分，潜在的信息结构带来了一些挑战。每个代理的目标是找到一个FJAAdapted控件，以最大化包含适应过滤的成本的目标函数 福建。这些G适应过程仅出现在中间价格过程Sνt的动力学中。由于这种潜在信息，不可能直接应用标准随机控制技术来获得代理的最优行为。我们没有采取直接的方法，而是首先用一系列适应F的过程来表示中间价格过程。这将允许我们根据areFj适应的流程重新编写HJ，从而解决潜在信息的问题。这可以通过在下面的引理中应用结果来实现。引理3.2。确定流程BA=（bAt）t∈[0，T]，其中bat=E[在| Ft处]。ThenbA是一种HT、F适应过程。此外，还存在一个F-适应的LTmartingalecM=（cMt）t∈[0，T]使得（3.7）SνT=S+ZtbAu+λνudu+cMu。流程CM被称为过滤器的创新流程。证据证据在A.1中找到，因为A和M独立于代理的初始库存{Qj}∞j=1时，Sν在过滤F上的动力学投影将与在Fj上的投影相同。此外，自《金融时报》以来 Fjt、流程BA和CM根据每个代理的过滤进行调整。引理3.2为我们提供了Sν在F适应过程中的表示，而不是2.5中的G适应版本。

将这些F-动力学插入Hjin（2.12）的表达式中，并注意到鞅项在预期下消失，我们获得了anMFG，其中包含算法交易的部分信息11目标函数完全根据Fj适应过程，（3.8）Hj（νj）=E“ZT（qj，νjtbAt+λνt-νjtqj，νjt|akψkψkφk！νjtqj，νjt！）dt#。在此表示中，部分信息问题被转化为完全信息问题，现在我们可以将凸分析工具应用于此目标函数。用于获得解的步骤的本质与初等计算中用于寻找函数临界点的步骤非常相似。首先，证明目标函数是“可微”且严格凹的。由于HJ的参数是一个随机过程，我们在G^ateaux方向导数的意义上称为“可微性”。接下来，确定G^ateauxderivative在哪里消失，以描述目标泛函的临界点。最后，知道目标函数是严格凹的，可以保证临界点是唯一的并且是最大值。接下来的引理表明HJ在Aj中是凹的，并且在任何地方G^ateaux都是可微的。引理3.3。方程（2.11）中定义的函数hj在Aj中是严格凹的。证据证据见A.2。引理3.4。目标函数hj在Aj中处处是可微分的G^ateaux。点ν处的ItsG^ateaux导数∈ a方向ω上的AJ∈ aj可以表示为DHj（ν），ω= E“ZTωtE”- 2 akνt- 2ψkqj，νT+ZTtnbAu+λνu- 2φkqj，νuoduFjt#dt#。（3.9）证明。证据见A.3。由于目标函数hj是凹的，G^ateaux是可微的，因此元素ν∈ aj使G^ateax导数在任意方向ω上消失∈ Ajis保证成为最大化者。此外，由于HJ的凹度是严格的，所以最大化子是唯一的。

表达式（3.9）中导数的明确形式允许我们找到代理最优策略的表示。以下命题使用最后两个结果来表示交易者的最优策略，作为FBSDE的解决方案。提案3.5。控件的集合νj，*j∈n为子种群k，νj中的每个agent-j形成一个纳什均衡if和onlyif，*∈ HTandνj，*是FBSDE（3.10）的唯一强大解决方案-d（2 akνj，*t）=bAt+λνt- 2φkqj，νj，*t型dt公司- dMjt，2 akνj，*T=-2ψkqj，νj，*T、 有关G^ateaux导数及其在凸优化中的作用的更多信息，请参见【12，第5节】。12 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.where Mj∈ HTis是一个Fj适应鞅，且νt：=limN→∞N∞Xj=1νj，*t、 证明。证据见A.4。方程（3.10）是一个FBSDE，因为它有一个来自过程qj，νj，*andbA，以及向后分量νj，*, 必须同时解决。方程（3.10）的解决方案是agent-j的唯一最优控制，并使其目标函数最大化。请注意，所有代理的最优策略都通过这些FBSDEsvia平均场过程ν耦合，该过程出现在方程（3.10）的驱动因素中，并且它们都必须满足一致性条件。此外，性能标准中的参数取决于代理所属的特定子群体。3.3. 求解平均场方程。在MFG限制下，有限维到仓促博弈被简化为求解FBSDE（3.10）系统。agentj最优控制的FBSDE表明，不存在对任何其他个人战略选择的直接依赖。相反，所有其他因素的影响通过平均场过程ν出现。因此，与其明确依赖于1νj，*开启ν-j*, 我们对ν有隐式依赖-j*通过平均场过程ν。

此外，由于FBSDE（3.10）取决于特定代理的子种群，因此有必要将问题跨子种群进行分离，并解决每个子种群的平均场和最优控制。在本节的其余部分，我们将求解FBSDE（3.10）。解决FBSDE的主要障碍是，通过FBSDE的驱动因素，平均场过程ν取决于每个νjan的解，反之亦然。为了克服这一障碍，我们首先将平均场过程分解为子总体平均场的平均值，即writeνt=Pk∈Kpkνkt。接下来，我们为每个νkt制定一个ansatz，然后使用它来找到νj的解的对应ansatz。然后，我们通过证明{νj}j的ansatz解得出结论∈Nand{νk}k∈Kindeed是FBSDE问题的唯一解决方案（3.10）。3.3.1. 平均场过程的Ansatz。我们的第一项任务是提出每个子种群平均场过程νk的适当形式。我们为每个子种群平均场提出的ansatz由过程|νk=（|νkt）t表示∈[0，T]， k∈ K、 并求解fBSDE（3.11）-d（2 ak￠νkt）=bAt+λPk∈Kpk￠νkt- 2φk▄qk，▄νktdt公司- dMkt，2 ak￠νkT=-2ψk▄qk，▄νkT，其中（受控）正向过程▄qk，▄νk=（▄qk，▄νkT）t∈[0，T]由▄qk，▄νkt=mk+Rt▄kudu，mk=E[Qj]给出，其中mk=（Mkt）T∈[0，T]是一个合适的满足Mk的F-适应鞅∈ HT。值得指出的是，这里出现的鞅是ALL F适应的，而不是Fj适应的（3.10）。尽管如此，我们仍将看到安萨茨确实为我们最初的问题提供了解决方案。具有算法交易部分信息的制造商13（3.11）中的FBSDE可被视为是从所有j∈ Kkof FBSDEs（3.10），并根据子人口平均场明确划分总体平均场。