最小化电力采购成本的期望值

（5） 接下来，我们获得日内市场购电的期望值C。为此，我们首先重写Cin中的G和H：C=δ（G+A≤ h+B）（h+B-g级- A） =δ（A- B≤ G- H） （G）- H- A+B）B。（6） 由此，我们得到[C]=E[b]Z∞-∞δ（A- B≤ x） （十）- A+B）Z∞-∞PG（x+y）PH（y）dydx=E[b]Z∞A.-B（x- A+B）Z∞-∞PG（x+y）PH（y）dydx=E[b]Z∞A.-B（x- A+B）PG-H（x）dx。（7） 最后，我们得到了惩罚的期望值C，类似于C的期望值。首先，我们重写了G和H的Cin项：C=δ（G+A≤ h+B≤ f） （f）- h类- B） c+δ（h+B<g+A≤ f） （f）- g级- A） c=δ（g-f+A- B≤ h类- f≤ -B） （H）- B） c+δ（h- f- A+B<g- f≤ -A） （G）- A） c=δ（B≤ H≤ G- A+B）（H- B） c+δ（A≤ G<H+A- B） （G）- A） c。（8） 然后我们立即得到E[C]=E[C]Z∞-∞Z∞-∞δ（B≤ x个≤ y- A+B）（x- B） PH（x）PG（y）dxdy+E[c]Z∞-∞Z∞-∞δ（A≤ x<y+A- B） （十）- A） PG（x）PH（y）dxdy=E[c]Z∞阿兹-A+BB（x- B） PH（x）PG（y）dxdy+E[c]Z∞BZy+A-BA（x- A） PG（x）PH（y）dxdy。（9） 因此，我们获得了在交付日第t个期间交付的电力总成本C的期望值的以下表达式：E【C】=E【C】+E【C】+E【C】=E【a】（E【g】+a）+E【b】Z∞A.-B（x- A+B）PG-H（x）dx+E[c]Z∞阿兹-A+BB（x- B） PH（x）PG（y）dxdy+E[c]Z∞BZy+A-BA（x- A） PG（x）PH（y）dxdy。

（10） 然后，我们知道，使E[C]最小的A和B的值取决于一个[A]、E[B]、E[C]、PG（x）和PH（y）；也就是说，即使我们不知道预测g和h，如果我们知道预测误差分布PG（x）和PH（y），我们也可以确定使E[C]最小化的A和B的值。3.4 E【C】如果G和H在本小节中为正态分布，我们在需求预测误差G和H为均数为零的正态分布随机变量的情况下，寻求采购成本的期望值E【C】。我们假设前一天需求预测与实际需求G之间的差异为正态分布，平均值为零且方差σ（t）=σ，而当天需求预测与实际需求H之间的差异为正态分布，平均值为零且方差σ（t）=σ。那么，σ=σ（t）=σ（t）+σ（t），CI的期望值表示为asE[C]=E[b]Z∞A.-B（x- A+B）PG-H（x）dx=E[b]√2πσZ∞x扩展-（x+A- B） 2σdx，（11）和顺式表达的期望值asE[C]=E[C]Z∞阿兹-A+BB（x- B） PH（x）PG（y）dxdy+E[c]Z∞BZy+A-BA（x- A） PG（x）PH（y）dxdy=E[c]2πσZ∞阿兹-A+BB（x- B） 经验值-x2σ经验值-y2σdxdy+E[c]2πσZ∞BZy+A-BA（x- A） 经验值-x2σ经验值-y2σdxdy。（12） 因此，我们对采购成本的期望值得出以下结果：E【C】=E【a】（f+a）+E【b】√2πσZ∞x扩展-（x+A- B） 2σdx+E[c]2πσZ∞阿兹-A+BB（x- B） 经验值-x2σ经验值-y2σdxdy+E[c]2πσZ∞BZy+A-BA（x- A） 经验值-x2σ经验值-y2σdxdy。（13） 由于很难确定E[C]的解析解，我们使用数值计算，如数值积分和蒙特卡罗模拟。4采购成本期望值的数值计算在本节中，我们假设需求预测中的误差是均值为零的正态分布随机变量。

首先，在第4.1小节中，我们报告了数值计算的结果，其中，在固定的采购条件下，我们确定了使E最小化的参数A和B的值[C]。接下来，在第4.2小节中，我们报告了蒙特卡罗模拟的结果，其中我们确定了C，V[C]的方差。我们确定，使E[C]最小化的A和B的值也会产生相对较小的V[C]值。因此，我们观察到，通过仔细选择采购金额，我们既可以最小化采购成本的期望值，又可以提高其稳定性。4.1采购条件固定为asf=100，σ时E【C】的数值计算=√3, σ=√2，E【a】=1，E【b】=2，E【c】=3，（14）我们进行了数值计算，确定了c=c+c+c的期望值。首先，我们解释了我们选择上述条件的原因。我们选择了值√3对于标准偏差σ，因为在电力公司中，前一天需求预测的目标精度水平在±3%以内[12，第53页]。然后，由于当天预测的精度通常较高，我们选择值σ=√2、接下来，对于罚金单价的期望值，我们选择E[c]=3，因为该单价比前一天的单价大十倍或更多[11，第425页]。最后，对于E[b]，我们只使用E[a]和E[c]的平均值。在附录中，我们考虑了这些条件的变化。在整个范围内改变A[-1.9、3]和B超出范围[-4.9，0），我们得到了图1所示的（A，B，E[C]）图。在该图中，A轴指向10点钟方向，B轴指向1点钟方向。沿每个轴以0.1的间隔计算数据点。

对于本文给出的每个图形，A轴和B轴的方向是相同的。此外，使用网格尺寸为0.1×0.1的agrid上每个（A，B）获得的数据绘制每个图形。考虑到采购方法的性质，很明显，距离（A，B）=（0，0）很远的地方，采购成本的期望值e【C】很大，并且随着我们的距离越来越远而增加。因此，我们得出结论，我们可以通过只考虑（A，B）=（0，0）的邻域来确定使E[C]最小化的A和B的值。根据上述条件进行数值计算以使E[C]最小化，我们发现在（A，B）=（0.6，-2） ，最小值为E【C】≈ 101.835. 如果在这两个市场中采购的数量仅仅是预测g和h所给出的数量（即，在C=B=0的情况下），那么将其与获得的E[C]值进行比较是很有趣的在这种情况下，E[C]≈ 102.329.从上述结果中，我们观察到，在上述采购条件下，我们可以通过采购量略高于电力行业的数量来减少E[C]，我们称之为“罚款”的数量通常被称为“不平衡费”这是参考文献【11】中使用的术语。图1：采购成本预期值E【C】。图2:procurementcost V[C]的差异。前一天的需求预测量略低于当天的需求预测量。4.2 E[C]的稳定性一般来说，即使我们有一种方法来最小化采购成本的期望值，但当由于成本的方差太大，收敛到期望值的速度很慢时，这种方法实际上并不有用。

这是因为，当采购成本持续高于预期值时，即使是短期内，公司使用这种采购方法也会面临巨大的财务风险。在上一小节中，我们报告了A和B的值，其中E[C]的最小值达到。在本小节中，我们研究了C，V[C]的无偏方差，该方差是使用A和B的值实现的。通过本次调查，我们确定这些值不仅使E[C]最小化，而且还导致V[C]的值相对较小。首先，我们在网格尺寸为0.1×0.1的网格上，对（a，B）的每个值进行了10次采购过程的蒙特卡罗模拟迭代。从这些模拟中，我们获得了与（A，B）的每个此类值对应的方差。我们注意到，这些模拟使用方程（2）、（6）和（8）。这里，我们不使用等式（13）。模拟条件设置如下：f=100，σ=√3, σ=√2，a=1，b=2，c=3。（15） 对于前一天和当天的需求预测，我们使用平均值为0:G的正态分布~ N（0，σ），H~ N（0，σ）。（16） 模拟结果（A、B、V[C]）绘制在图2中，A的值在范围内[-1.9、3]和范围内的B值[-4.9, 0].我们研究C对A和B的依赖性，因此，我们通过将C写为C（A，B）来明确表示这种依赖性。在我们的模拟中考虑的（A，B）值范围内，方差在（A，B）=（1，-1.4），值为V[C（1，-1.4)] =1.693098. 该值应与（0，0）和（0.6）处的方差值进行比较，-2） ，其中E[C]最小：V[C（0，0）]=2.879739；V[C（0.6，-2)] =1.821432.

因此，当通过简单的需求预测来采购电力时，所获得的方差比最小值大1.7倍，而使E[C]最小的A和B的值所获得的方差仅比最小值大1.07倍。图3和图4显示了在（A，B）=（0，0）和（0.6）情况下获得的C（A，B）模拟结果的柱状图，-2).图3：C（0，0）的直方图。图4：C（0.6，-2).根据上述结果，我们确定，在上述采购条件下，采用拟议的方法，我们能够以比完全按照需求预测进行采购更稳定的价格购买电力。这种影响可以理解为由于在日前市场采购的电力量增加而导致支付的罚款被抑制。此外，如图2所示，当A较大时，B的值对C的方差几乎没有影响。这可以理解为，由于前一天的方差与当天的预测相差不大，因此通常可以在前一天的市场中获得必要的电力。5使用实际数据的模拟在本节中，我们报告了使用实际数据的拟议采购方法的模拟结果。通过这些模拟，我们确定这种方法可以最大限度地降低采购成本。

我们使用千瓦时（kWh）作为电力单位，日元作为成本单位。表2中的数据是福冈县Kasuga市的一个特定设施在19个工作日的实际需求值f（t，d），对应于d=1至19，2017年1月（第1-3天对应于1月4日至1月6日，第4-7天对应于1月10日至1月13日，第8-12天对应于1月16日至1月20日，第13-17天对应于1月23日至1月27日，第18-19天对应于1月30日至1月31日），对于时间段t=20至t=26（从上午9:30至下午1:00），我们将时区从t=20限制为t=26，因为这个时区的预测误差很大。图5：实际与预测数据（d=10）。在实际电力市场中，在日前市场中，交易电量单位为500千瓦时【4，第7页】，而在日内市场中，交易电量单位为50千瓦时【4，第12页】。然而，这些交易电量单位大于设施的需求。因此，在本文中，我们假设市场上交易的电量可以自由调整，而小电量可以交易。表3和表4给出了实际需求的前一天预测g（t，d）和当天预测h（t，d）。在表5、6和7中，我们给出了与前表中相同的日期和时间段的日前市场单价a（t，d）、日内市场单价b（t，d）和罚款单价c（t，d）。所列价格为九州地区的区域价格。此外，对于每个日内单价b（t，d），我们使用该时间段日内市场的平均价格。

这些数据于2018年1月31日从JEPX网站获得。图6：单价（d=1）。为了得出A和B的最佳值，我们需要预测单价和需求预测的误差分布。然而，我们目前没有一种系统的方法来生成单价预测。例如，有关于价格预测的研究[1]；然而，JEPX的交易方法经常变化，这导致价格波动，因此价格预测不适用于最近的数据。相反，我们使用以下简单公式预测日前单价^a（t，d）、日内单价^b（t，d）和罚款单价^c（t，d）。对于时间段20-24，我们使用^x（d）=X20≤t型≤24x（t，d），（17）对于时间段25和26，我们使用^x（t）=X1≤d≤19x（t，d），（18），其中x代表a、b和c。我们选择这些处方进行预测，因为从列出实际价格的表5-7中可以看出，20-24期间的价格每天都有很大的变化，而25和26期间的价格没有变化。表8、表9和表10给出了以这种方式获得的每个时间段的预测。对于需求预测中误差的分布函数，我们使用均值为零的正态分布。通常，使用正态线性回归模型进行需求预测。特别是，leastsquares估计（LSE）会产生平均值为零的预测误差分布，因为LSE会产生预测值平均值的无偏估计。实际上，A和B的价值是在日前和日内市场交易之前确定的。因为A和B都依赖于预测误差的分布，所以必须在两个市场交易之前估计这些分布。

然而，日内市场的预测是在日前市场交易后进行的；因此，在日前市场交易之前，无法获得日内市场中预测误差的分布。因此，我们需要在没有预测的情况下估计预测误差在日内市场中的分布，以确定A和B的值。预测误差方差的估计如下：在20-24个时段，为了估计前一天预测的误差方差^V（t，d），我们使用线性回归预测值的方差[5]。作为当天预测中预测误差方差的估计量，我们使用^V（t）=X1≤d≤19（f（t，d）- h（t，d））。（19） 我们给出了表11和表12中获得的方差估计。使用上述单价预测值^a（t，d）、^b（t，d）和^c（t，d），以及需求预测中误差的方差^V（t，d）和^V（t），我们通过数值确定了使E[c]最小化的a和b的值。然而，在^b的情况下≤ ^a，我们选择a=0，在^c的情况下≤^b，我们选择b=0来维持计划值电力平衡系统，因为在日内市场或交付时获取大量电力会给发电设施带来巨大负担，因此不是可维持的市场情景。利用表13和表14中的A和B的优化值，并进行采购模拟，我们获得了51949.95日元的总采购成本。我们将此成本与在其他两种情况下获得的成本进行了比较。首先，如果前一天的需求预测是完美的，并且我们在日前市场采购了所有电力，那么我们将获得51140.72日元的总采购成本。

其次，使用实际预测和h，如果我们只是按照这些预测采购电力（即始终使用（A，B）=（0，0）），我们的采购成本将为52225.97日元。因此，使用我们的方法获得的采购成本比完美需求预测的理想情况下高809.23日元，比使用普通采购方法的情况下低276.02日元。这表明采购成本可以降低约0.5%。对于电力公司来说，将采购成本降低0.5%至关重要。假设可以进行任何数量的单独采购，使用实际数据进行的模拟表明，我们的方法将采购成本降至最低。由于仿真时间短，仿真规模小，成本降低幅度小。但是，如果模拟时间长，模拟规模大，那么可以预期成本显著降低。6结论我们制定了一种最小化预期购电成本的方法，并使用实际数据报告了拟议购电方法的模拟结果。通过这些模拟，我们发现这种方法将采购成本降至最低。基于上述讨论，为了降低采购成本，不仅需要估计预测的准确性，而且还需要估计预测误差分布。本文假设预测误差分布为正态分布，但实际的预测误差并不总是成为正态分布。为了进一步降低成本，必须估计预测误差分布。致谢我们非常感谢Kei Hirose副教授。他给我们提供了有益的意见和建议。