结构化凸体的实际体积计算，以及

最困难的情况是由两个任意的超平面确定顶点的情况：Pdi=1xi=1和d- 3个形式为Hi：xi=0的超平面。然后，直到行排列，A（v）=-1 ab。。。。。。。。。。。。-公元前1年-3bd-公元31年-2bd-公元21年-1bd-11 adbd, （3） 式中，theij，i=a，表示置换方程的系数。然后×Oγvii，d-OOd。相应的行列式在O（1）中计算。在Rd中，i个二进制超平面有O（d）个顶点，每个顶点以O（1）计算。证据单工. 它可以根据超平面检查所有单纯形顶点，Hbin total TimeodHa，并通过相交单纯形边进行计算，单纯形边的顶点位于Ha的不同边上，HaHaohBoodComplexity为O（d）。哈∩ 血红蛋白∩哈哈哈∩B、 BHb公司∩BHbvi、vjvivjHbBHbvk、vmHb∩对应于单位单纯形边。然后我们有3个案例：1。B、 Blie位于Ha的同一侧：未定义顶点。2、如果i 6=k，i 6=m，j 6=k，j 6=m，带B.3之间没有边。B、 然后定义多面体的顶点，该顶点最多有3个非零坐标。在最坏的情况下，两个单纯形顶点位于另一个单纯形的同一侧。然后是由Ha定义的多面体顶点∩ 血红蛋白∩  最多dd=O（d）。Jrepresentation是已知的，但前面的引理也允许我们获得顶点。五十、 Calès et al.19:11假设给出了H表示，则为O（d）。整个讨论扩展到由两个平行超平面族定义的多面体。矩阵A（v）保持相同的形式，因为每个顶点最多与每个族的一个超平面相关。4与椭球体体积标注相交。4.1随机行走*对原方法的算法改进。

我们必须推广该方法，因为输入不是一个多面体，而是一个一般的凸体，而levolesti工作于ford多面体。凸体P的内部与P的边界。第一个问题将在下一小节中讨论。对于第二个，当物体是二次方程时。在我们的例子中，输入超平面很少，我们可以优化它，避免线与椭球相交。形式上，坐标方向上的每条射线pλekd-λ+2λpk+| p|- Rde确定以原点为中心的半径为R的球体与坐标方向射线的交点。Ifci以原点为中心的椭球的矩阵，其与`的交点为：Ckkx+bx+c=0，b=2ckkkk+2dXj=k+1Ckjpj+2k的根-1Xi=0Cikpi，c=dXi=0Ciipi+2dXj=i+1Cijpipj，i=0，d、 计算根，并保持最大负λ和最小正λ相当快。在我们的应用中，存在由两个平行超平面和两个同心椭球相交定义的非凸体。因此，我们修改了体积，以计算非凸体积。我们做了两大改变。首先，在光线拍摄中，我们必须检查一个二次方程是否只有复解，这意味着光线不与椭球相交。对于λ，我们在结构凸体的1:12体积计算中取最大的负根和最小的正根 >如下一小节所述，当我们找到第一个内接球时的算法。所以我们可以设置非常小，因此在实践中它总是定义一个内接球，但封闭球足以运行算法，直到我们找到一个内接球才停止。该方法使用与凸面情况相同的行走长度和点数来确定福特<35，其时间复杂度和精度可与运行由一个椭球定义的凸集相媲美。

福特>35，该方法无法近似大多数情况下的体积。这应该是由于不准确的舍入体和我们定义的刻字球造成的。鉴于这些最初的积极成果，计划进行各种改进。4.2切比雪夫球本节提供了计算给定凸区域内球的方法。理想情况下，这是最大的内接球，也就是切比雪夫球，但可能需要一个较小的球。在计算一般凸区域时，提出了更一般的方法。完全包含在凸区域中，因此在计算中浪费时间。在实践中，我们使用一个内点作为封闭球的中心，然后减小半径，直到检查击球和跑动中的所有边界点是否属于球体，而不是任何其他约束。具有椭球体。如果在椭球体内部和外侧有zSimplex顶点，那么在凸交点的边界上有（z+1）zvertices。因为z+z=d+1，zz≥ D最大内接球，开始击球和跑动。更一般地，我们从单位SimpleXDD变换中采样，将椭球映射到球体，并将其应用于单纯形和椭球体。我们计算了球体中心到新单纯形的距离，并与球体半径进行了比较。kkB{XCUKK≤ r} aix≤ bii公司∈d、 人工智能∈ Rd、bi∈ RB={xc+u：kuk≤ r} 在单纯形和B的交点：最大r，服从：aTixc+r | | ai | |≤ bi，| | xc- xc | |≤ r- r、 有几种方法可以解决SOCP，例如将其重新表述为半有限规划或执行二次规划松弛。此外，因为在我们的案例中，我们只有一个来自[]的通用SOCP解算器，因为它非常有效；对于随机单纯形和ball，在Matlab上使用ecos和yalmip包，在d=100时需要0.06秒，在d=1000时需要<20秒。五十、 Calès等人。

19： 以其矩阵的最小特征值为半径。4.3椭球体表示的市场波动在我们的财务应用中，投资组合是单位维单纯形中的点d Rd+1v，vd公司∈ RdviiPdi=0λiRd+1在这种情况下工作，但采用随机游动的方法需要全维dGλTCλ- c≤C∈ R（d+1）×（d+1）椭球体定义G∩d Rd，通过transformcbin表达式（1）施加约束tpdi=0λi=1，从而获得：（x- v） T型M-T型[-1 Id]CdM-1.（十）- v） +A（x- v） =c，其中括号中的表达式是表示新的D维椭球inA的矩阵∈ Rd×d，c∈ r单纯形映射到笛卡尔坐标。5实施和试验Seigen。本文的所有实验都是在个人电脑上进行的，附录中给出了智能教学表和图表。Dhalfspace，（2）两个平行半空间，（3）一个椭球，（4）两个平行半空间和两个同心椭球（非凸体）。体积其精度降低；采样点越多，速度就会比M4慢。后者<是否会快速超过d=100。方法M3很有用，即使对于小体积，但速度太慢。5.1合成数据公式M1用于所有表格，其中需要在与单纯形相交的两个平行超平面之间进行精确计算。每个单纯形的顶点从具有ra的球的曲面中均匀随机选择diushttps://github.com/TolisChal/volume_approximation19:14使用CGALRandom点生成器计算结构化凸体100的体积。所有超平面的系数都是在[-,10] 使用Boost（mt19937）随机生成器。对于Volesti，我们不使用圆形随机行走混合慢，参见表2第10行。另一方面，M2不受多面体形状的影响。当tod=30时，对于大体积比，即>1%，M2产生非常准确和最快的结果。

最后两个实验表明，当接受采样点的比率很小时，Volestimate可以达到最精确的近似。在表3中，我们对M2和M4使用相同的运行时间（采样点的类似数量），并比较其精度。我们每个维度执行两个实验。首先，对于每个维度，我们计算两个平行超平面之间的体积，这是每个维度的1%，我们计算由4个超平面相交定义的体积，这4个超平面相交。精确计算我们使用了DvincDefault方法，rlass。M2速度快，但对于小体积而言不准确；M4是最精确的，但刻度不应超过d=100。rlassunit单工。vincifails计算ford>31的体积。我们的精确计算即使在d=100时也能工作，但变得非常缓慢。表5比较了M2（s/r）和M4的两种椭球相交变体。唯一显著快于M4的任何一种变体。所有方法都会产生类似的输出值。表6比较了非凸体的s/r与命中和逃逸，如第节所示。体积值非常小意味着该方法无法近似体积。5.2真实数据的财务建模当我们使用真实数据来构建指标时，我们希望比较蓝色区域的投资组合密度与红色区域的投资组合密度。k±指标大于1且持续60天以上的周期。周期应超过60天，以避免检测到持续时间仅为最长的孤立事件，只有最长的事件对应危机。于[]提出。第一次危机（1990年5月至1990年12月）对应90年代初的衰退，第二次危机（2000年5月至2001年5月）对应网络泡沫破裂，第三次危机（2001年10月至2002年4月）对应2002年股市低迷，第四次危机。Calès等人，19:15图3 1999年9月1日的收益/方差关系（左），即。

在dot comstdensity of公文包期间，黄色=公文包的高密度。图4：用于构建指示器的对角线带示意图。其中一个（2005年11月至2006年4月）未列入名单，它要么是一个错误信号，要么可能是错误信号。2008年）到次贷危机。在接下来的60天复合收益中，我们在图6中报告了该指标。我们观察周期。我们指出，它们几乎从未与危机事件重叠，2011年底除外。据作者所知，这是一个新的金融结果。6结论和未来工作由于运行时非常合理，我们计划将我们的研究扩展到由平行超平面族和金融族的交点定义的资产多边形的更大子集：由于可视化变得复杂，一个困难是对结果进行建模。19： 16结构化凸体随机抽样的体积计算遵循蒙特卡罗（MC）方法，依赖于C/C++函数随机拟MC生成器，它需要较少的点来模拟均匀分布。我们的增强是并行化我们的算法，这似乎很简单。然后可以获得更大类别资产的结果，例如整个DJ 600。[]，他们提出了一种近似gammarandom变量中二次型分布的方法，这与[]中的问题类似（见第3节）。它包含一个degreek多项式的fittingffan近似，该方法需要前2k个矩。DMMDD即使对于d也具有挑战性的力矩计算≥ 5.参考文献1 Y.Abbasi Yadkori、P.L.Bartlett、V.Gabillon和A.Malek。非凸空间中采样和规划的点击和运行。过程中。第20名实习生。Conf.Arti ficial Intelligence&Stat.（AISTATS），第888–8952017年4月。M.Maswood Ali。截锥体的内容为单纯形。Paci fic J.数学。，48（2）：313–3221973.3 A.Banerjee和C-H.Hung。

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VolestErrorTimeVolestTimeVincitime·1464 4 39.3877 225859 1638.14 1653.29 0.0092 1551.9610.0761.189 0.0·8269 5 240.261 31545.7 1287.54 1304.26 0.0130 1104.2140.0722.474 0.010 3·7 31.17861.14352e+09 4.22648e+084.2317e+08 0.00124.399476e+080.1568.290 0.010 3·9 752.5942.21485e+07 1.208 556E+06 1.20185e+060.00310.023537e+060.16419.980 0.015 3·112.7562.87936e+10 1.62617e+081.62684e+080.00041.284843e+080.20443.547 0.015 3·168639 1051.9497 1.8289e+111.02984e+11 1.02808e+110.00171.018419e+110.22431.848 0.020 4·50.3512.47765e+17 3.24630e+16 3.26163e+160.00473.201464e+160.416 135.6850.020 4·140.0946.762E+15 2.38561e+142.3603e+14 0.01062.334992e+140.42181.0580.025 4·135.8041.37457e+18 1.70146e+16 1.71202e+160.00621.119995e+160.52333.0520.025 4·89.81124.17323e+184.03833e+16 3.97396e+160.01595.017313e+18123.20.508 384.3460.030 4·118304 224164.11.28638e+17 4.12910e+16 4.10773e+160.0052 5.02297e+160.64863.05611.430 4·177.6134.08094e+18 2.80038e+17 2.80799e+170.00271.891857e+170.616 622.9957.310 3·61.39362.99231e+08 1.17756e+06 1.14805e+060.02511.185146e+060.15210.367 0.018 4·57.06418.58015e+11 2.96758e+09 2.82716e+090.04732.908083e+090.37693.74500.0表2 kis单位单纯形中采样的点数，k=10log d，m交点中的点数，n交点中的顶点数。R/ris单纯形最大内接球上最小包围半径的比值；s/r为拒收抽样；error表示相对误差（V- v） 精确体积v上计算值v的/v。