经济泡沫模型及其首次通过时间

（47）对于β∈ C和实数（β）≥ 0，考虑▄qτ（t）L{▄qτ（t）}（β）=Z∞e-βtExZt公司∧τh（Xu）η（t- u、 徐）杜dt。基于（46）和支配收敛定理，我们改变了积分的阶，期望l{qτ（t）}（β）=前任Z∞Zt公司∧τe-βth（Xu）η（t- u、 Xu）dudt. （48）此外，（46）还给出了Fubini定理soZ∞Zt公司∧τe-βth（Xu）η（t- u、 Xu）dudt=Z∞Zτ{u≤t} e类-βth（Xu）η（t- u、 Xu）dudt=ZτZ∞{u≤t} e类-βth（Xu）η（t- u、 Xu）dtdu=ZτL{u≤t} η（t- u、 徐）（β） h（徐）杜。注1{u≤t} 是指示器功能，也可以写为Heaviside阶跃函数Hu（t）。考虑这样一个事实，即l{Hu（t）η（t- u、 x）}（β）=e-βuL{η（t，x）}（β），其中用我们的符号L{η（t，x）}（β）=LL-1.xf（β，x）（t）(β) =xf（β，x）。因此，（48）可以重新表示为l{qτ（t）}（β）=前任Zτe-βuh（Xu）xf（β，Xu）du. （49）在下一步中，我们将证明L{qτ（t）}（β）确实是误差函数qτ（t）的LT。然后，逆LT的唯一性总结了我们的证明。要看到这一点，letQ（β，x）：=f（β，x）- f（β，x），（50），其中遵循类似约定f（β，x）：=f（x），f（x）如（34）中所述。注意f（β，x）=L{Px{τ∈ dt}}（β）和f（β，x）=LPx{τ*∈ dt}(β). 因此，根据LT的线性，我们有q（β，x）=L{qτ（t）}（β）。（51）作为f，f∈ C、 Q（β，x）也是如此∈ C、 将微型生成器A应用于Q（β，x）。然后通过（23），（30）和（31），i=1，经过标准计算，我们得到aq- βQ=-hf，x∈ 杜。（52）注（52）是关于x和fis的方程式xf（β，x）。由于f和f具有相同的边界条件，因此ODE（52）的边界条件由Q给出(Du）=（0，0）T.（53）根据[34]，边值问题（52）和（53）具有以下唯一解q（β，x）=前任Zτe-βuh（Xu）xf（β，Xu）du.ODE解的唯一性和LT逆解的唯一性表示SQτ（t）=qτ（t）。备注4.11命题4.10表明误差界在t上一致有效≥ 0

什么时候 ↓ 0+，则误差收敛到0。当Xt→ WT顺时针，参考命题4.5，我们有px（τ*∈ dt）→ p（t），t型≥ 备注4.12另一方面，命题4.10中的结论并不限制对 > 1、事实上，给出了一个精确的误差函数，我们可以通过仿真来估计误差水平。即使在这种情况下 > 1、有可能前任Zt公司∧τe-2αXu- cη（t- u、 徐）杜<<, t型∈ (0, +∞).5模型实施5.1具有恒定波动性的扩展SDE出于实际目的，考虑波动性更有趣。我们通过添加常数波动率σ>0来扩展SDE（1）：dXt=（e）-2αXt- c） dt+σdWt，X=X∈ R、 （54）介绍{Xt}t的缩放版本≥0和definenXtot≥0as▄Xt：=Xtσ。然后通过设置 :=σ、 α：=ασ和▄x=xσ，我们看到▄Xot≥0确实是DE（1）描述的扩散过程：dXt=~e-2▄α▄Xt- cdt+dWt，￠X=￠X∈ R、 此外，对于≤ x、 通过让▄a=aσ，推论4.9中运行最小值的结果可以相应地扩展。5.2模型校准在本节中，我们提供了扩展SDE的校准方案（54）。表示资产价格的观察值{Pt}t=0,1，。。。，NbyPt=Pe^Xt，t=0，1。。。，N、 （55）N^Xtot=0，。。。，n表示^X=0的标准化原木价格。设{rt}t=1，。。。，为{Pt}t=0,1，…，的日志返回值，。。。，N、 根据定义，我们有^rt=^Xt-^Xt-1，t=1。。。，N、 （56）考虑基于{rt}t=1，…，的校准，。。。，N、 从数学上讲，有4个参数需要确定。因此，应提供至少4个不同的统计数量。自然候选者是{rt}t=1，…，的前四个矩，。。。，N、 然而，一方面，正如我们在第2节中所讨论的，不同制度下的泡沫动力学可能具有完全不同的统计行为。因此，整个时间系列的全局时刻可能并不具有代表性。

另一方面，根据命题3.4，{Xt}t≥0具有非常复杂的概率密度。按照这个命题，我们无法轻易地得到明确的表达，即使是在第一时刻。我们提供了一种在不同泡沫状态下使用分段时间序列的替代方案，而不是使用传统的矩校准。回想一下{Xt}t的这三种状态≥0在泡沫周期中，根据泡沫周期，我们作出以下假设：o状态I），位移。在此期间，我们假设Xt≈ 0.SDE（54）则可以简化为SDEXT≈ (1 - c） dt+σdWt。（57）o工况II），动臂。在此阶段，动态遵循SDE（54），但将访问平衡水平。用XR表示级别，我们有-2αXR=c.（58）o制度III）欣快感（和利益接受）。在这两个步骤中，XT达到了创纪录的高水平。假设e-2αXt≈ 0则SDE（54）退化为XT≈ -cdt+σdWt。（59）此外，我们进一步假设可以从数据中识别每种制度。设{0，1，…，t}，{t，…，t}，{t，…，t}为区域I、II和III的时间段。然后用^XI表示每个区域中的分段时间序列：=n^Xtot=0，。。。，t、 ^XII：=n^Xtot=t，。。。，t、 ^XIII：=n^Xtot=t，。。。，t、 日志返回的相应时间序列由^rI：={rt}t=1，。。。，t、 ^rII：={rt}t=t+1，。。。，t、 ^rIII：={rt}t=t+1，。。。，t、 还假设平衡水平是可观测的，并用^XR表示观测值。我们现在考虑参数估计。从^开始 和^c.总体思路是考虑制度I和III的预期对数回报。Let’rI：=平均值^rI和'rIII：=平均值^rIII为回报的年化样本平均值。通过将样本平均值与dXtin（57）和（59）的理论期望值进行匹配，我们得到以下方程式^(1 - ^c）=rI-^^c=(R)rIII。求解我们得到的方程^ = ？rI- \'rIII^c=-“rIII”rI-？rIII。

（60）备注5.1注意，根据我们的假设，制度I应提供积极趋势（(R)rI≥ 0）而制度III产生负面影响（(R)rIII≤ 0). 因此^ 和^c保证为正。此外，自0≤ -？rIII≤ ？rI- ？rIII，so 0≤ ^c≤ 1、备注5.2为了进行更有效的校准，在RIA和RIII估计中，我们可以（*）只取制度I中正回报的平均值，而只取制度III中负回报的平均值。此外，我们更感兴趣的是长期趋势，而不是每日趋势。因此（**）使用月度滚动回报将有助于增强估计的稳定性。我们在算法中添加（*）和（**）作为特殊的数据清理处理。考虑^σ。通过观察（57）和（59），我们看到^rian和^riii中的波动性仅由布朗运动部分提供。Let^rI&III：=^rI∪ ^rIII。然后我们可以通过^σ=StdDev来计算^σ^rI和III.作为替代方案，请注意，通常情况下，制度III的时间序列更不稳定。因此，为了获得更显著的波动性，我们选择使用^riiiiOnly：^σ=STDEV^rIII. （61）给定^c，最后一个参数^α易于计算。根据（58），我们立即得到^α=-ln（^c）^XR。（62）我们总结了算法1中的校准算法。算法1{Xt}t≥0参数校准1。确定制度I-III的时间范围，并相应地计算流动原木价格^XI、^XII、^XIIIby（55）。确定平衡水平^XR。2、分别计算^rim和^rIIImfrom^XIand^xiii的月度滚动日志收益。计算“rIand”rIIIvia？rI=平均值^轮辋^轮辋≥ 0×12'rIII=平均值^rIIIm^rIIIm≤ 0×12，并使用方程式（60）校准^, ^c.3。计算从^XIII开始的每日日志返回时间序列^riiidf。计算年化收益率^rIIIvia^rIII=^rIIId×√260，并使用方程式（61）校准^σ。4.

将步骤1中的^xrf和步骤2中的^c代入方程式（62），以校准^α。备注5.3我们需要强调算法1依赖于两个判断决策，即1）不同制度的时间范围和2）平衡水平。在资产价格上涨期间（流离失所、繁荣、兴奋），从经济角度来看，区分这三种制度并不困难。即使没有明确的经济信号，我们仍然可以将时间序列等分为三部分。然而，对于^XR来说，如果没有显著的价格下跌，从数学上来说，决定均衡水平是非常有挑战性的。因此，可能需要从经济学角度进行基本分析。算法1的增强将保留在未来的工作中。5.3数值示例我们提供了三个数值示例。前两个练习性质相似，根据历史数据，我们验证了{Xt}t的有效性≥0捕捉气泡动力学。在第三个练习中，我们预测了比特币的下拉概率。5.3.1 1997年1月2日至2003年12月30日纳斯达克综合指数从以科技为主的纳斯达克综合指数（美国股票代码^IXIC）可以观察到美国网络泡沫。从90年代中期开始，^IXIC从1000美元以下呈指数级增长至5000美元左右。该指数在2000-03-10年达到历史最高水平，当日交易总额超过10万亿美元（根据雅虎财经）。此后，市场迅速崩溃，2002年又回落到1000美元左右。在本练习中，我们使用了1997年1月2日至2003年12月30日调整后的^IXIC每日收盘价。数据是从雅虎财经下载的。注意，为了预测突发时间，没有必要使用全周期数据校准模型。因此，在模型校准中仅使用截断的时间序列。

为了更具体，我们选择了以下校准制度^XI：1997-01-02（P=1280）至1997-06-26（Pt=1436）；^XII:1997-06-26（Pt=1436）至1999-02-10（Pt=2309）；^XIII:1999-02-10（Pt=2309）至2000-10-18（Pt=3171）。（63）图3中的红色曲线绘制了n^Xtot=0,1，。。。，N、 通过观察，我们将平衡水平设置为^XR=0.67（PR=2502）。为了与现有模型进行比较，我们还引入了OU过程和漂移布朗运动（DBM）。用于校准这两个模型的时间序列与{Xt}t中的时间序列相同≥0校准，即从1997年1月2日至2000年10月18日。对于MLE OU校准算法，参见【41】。我们直接在DBM中估计平均值和波动率。1997-01-02和2003-12-30之间的1000条路径由三种不同的模型模拟。在图3中，除了^IXIC的历史价格外，我们还展示了每个模型1000个模拟中的最佳路径。从图中可以清楚地看出，我们的新模型比现有模型提供更好的fit。为了定量地观察不同路径与历史动态的接近程度，计算了每个模型的相关性：{Xt}t≥0:91.20%，OU:81.01%，DBM:72.03%。正如所料，{Xt}t≥0的相关性最高，而DBM的相关性最差。为了进一步解释我们的算法，我们在图4中绘制了校准区域。我们还显示了{Xt}t的10000条向前模拟路径≥0，X=^Xt。从图中我们可以看到，模拟路径完全覆盖了历史价格。这表明我们的模型是有效的。图3:1997年1月2日至2003年12月30日纳斯达克指数（美国股票代码^IXIC）的模型校准比较。红色曲线：历史调整原木价格；蓝色曲线{Xt}t的1000个模拟中的最佳≥0; 橙色曲线：OU流程1000个模拟中的最佳；绿色曲线：DBM 1000个模拟中的最佳。

校准参数，{Xt}t≥0: (^, ^α，^σ，^c）=（0.39，0.23，0.43，0.73）；OU：（κ、u、σ）=（0.47、1.09、0.31）；BM：（u，σ）=（0.25，0.31）。数据来源于雅虎财经。图4：基于^IXIC和从X=^Xt开始的10000条路径模拟的算法1说明。绿色区域表示工况I，位移阶段；黄色区域表示工况II，即动臂阶段；红色区域表示第三种状态，即欣快感和幸福感阶段。蓝色曲线显示用于校准的历史数据。被阴影区域覆盖的红色曲线显示了t之后的历史数据。阴影区域绘制了10000条模拟路径。5.3.2 2006年1月4日至2008年12月31日上海证券交易所综合指数我们使用第二个例子来证实我们在第5.3.1节中的观察结果。2007年中国股市崩盘发生在2008年全球金融危机之前。从2006年初开始，上海证券交易所综合指数（美国股票代码SSEC，中国股票代码000001.SS）从约1000元人民币上涨至2007年10月中旬的6092元人民币。在2007年10月至2008年10月的一年时间内，价格跌至1800元人民币以下。与^IXIC的模式类似，SSEC的历史价格在突然达到峰值后迅速下降，在此之前出现了大幅上涨。练习设置与第5.3.1节中的设置相同。我们只提及政权设置，并在必要时发表评论。^XI：2006-01-04（P=1180）至2006-03-06（Pt=1288）；^XII:2006-03-06（Pt=1288）至2007-05-30（Pt=4053）；平衡水平^XR=1.23（PR=4040）；^XIII:2007-05-30（Pt=4053）至2008-04-21（Pt=3116）。（64）图5展示了最佳模拟路径和历史原木价格之间的比较。我们可以立即看到，OU过程提供了比价格动态所反映的更快的平均回归率。

这表明OU过程无法在校准气泡动力学方面提供足够的自由度。不同模型与实际数据的相关性如下：{Xt}t≥0:96.11%，OU:88.00%，DBM:84.42%。图6给出了算法说明和10000条模拟路径的类似图。通过这一练习，我们进一步确认，我们的新模型是描述经济泡沫的一个很好的候选者。图5:2006年1月4日至2008年12月31日上海证券交易所综合指数（美国股票代码SEC，中国股票代码000001.SS）的模型校准比较。红色曲线：历史调整对数价格；蓝色曲线{Xt}t的1000个模拟中的最佳≥0; 橙色曲线：OU过程1000次模拟中的最佳曲线；绿色曲线：DBM 1000个模拟中的最佳。校准参数，{Xt}t≥0:(^, ^α，^σ，^c）=（0.32，0.14，0.56，0.70）；OU：（κ、u、σ）=（3.30、0.97、1.20）；BM：（u，σ）=（0.44，0.33）。数据来源于雅虎财经。图6：基于000001的算法1说明。SS和10000路径模拟，从X=^Xt开始。绿色区域表示工况I，位移阶段；黄色区域表示第二阶段，即繁荣期；红色区域表示第三种状态，即欣快感和幸福感阶段。蓝色曲线显示用于校准的历史数据。被阴影区域覆盖的红色曲线显示了t之后的以下历史数据。阴影区域绘制了10000条模拟路径。5.3.3比特币下行概率估计2017年是比特币的一年。2017年第一个交易日，1比特币的价格为995.44美元。虽然花费1000美元购买一种加密货币让人难以置信，但在一年内，价格达到了19345.49美元。图7显示了2016年1月1日至2017年12月10日期间的价格和交易量模式。

推动近20倍增长的潜在原因有很多，例如，机构投资者的投资不断增加，立法者的思维更加开放等等。。我们想知道在不久的将来价格是否会下降。在此练习中，我们进行了分析，预测了下个月比特币的最低价格，有效期为2017年12月10日至2018年1月12日。图7:2016年1月1日至2017年12月10日比特币历史日价格和交易量。数据源来自Yahoo Finance。模型校准基于2016年1月1日至2017年12月10日之间的时间序列：^XI：2016-01-01（P=433）至2016-05-30（P=528）；^XII：2016-05-30（Pt=528）至2017-08-13（Pt=4327）；平衡水平^XR=2.30（PR=4327）；^XIII:2017-08-13（Pt=4327）至2017-12-10（Pt=14371）。（65）在不提及太多细节的情况下，我们总结了以下算法1的输出 = 0.51; ^α = 0.08; ^σ = 0.91; ^c=0.69。（66）预测时间为2017年12月10日，价格为Pt=14371。我们认为Pt下降了0%-60%。要转换{Pt}t=0,1，…，的下降百分比，。。。，到对数价格空间，{Xt}t=0,1，。。。，N、 请注意，我们记录中的数据与2017年12月10日的收盘价不一致。事实上，这些数据是在市场仍在交易时下载的。我们通过（55）计算了命中等级a。参考第5.1节，我们将（66）中的参数以及a从扩展SDE（54）转移到标准SDE（1）中的参数。根据推论4.9，最终我们能够在一个月内得到最低价格的概率分布。另一方面，应给出扰动FPTD的误差评估。请参阅位置4.10。相对误差由（t）给出：=P（τ*∈ dt）P（τ*∈ dt）+qτ（t）.利用概率表示，我们通过10000条路径的模拟来估计qτ（t）。

应该注意的是，当实际密度收敛到0时，尾部的相对误差通常很高。因此，无需计算每个点的相对误差。事实上，我们更关心的是，扰动是否会改变分布的峰值。因此，只计算了densitypeak上的相对误差。表1总结了结果。降价百分比Pl（美元）概率P（P*t型≤ Pl）峰值相对误差0%14371.62 100.00%0.00%5%13653.05 84.85%4.97%10%12934.47 69.38%1.48%15%12215.89 54.25%0.90%20%11497.30 40.19%0.04%25%10778.72 27.88%0.59%30%10060.14 17.87%0.86%35%9341.56 10.38%0.88%40%8622.98 5.35%0.68%45%7904.40 2.37%1.69%50%717 85.81 0.86%1.45%55%6467.23 0.25%2.40%60%5748.65 0.05%1.78%2017年12月10日和2018年1月12日。第1-4列对应价格下跌百分比、下跌价格Pl、最低价格概率P*t低于Pl，密度峰值的相对误差。首先，通过检查最后一列（相对误差），我们发现扰动模型通常是准确的。最大的误差是下降了5%。在这种情况下，命中水平非常接近初始价格Pt。因此，密度曲线将收缩到y轴。因此，预计误差较大。类似地，如果达到的价格与初始价格相差甚远，也可能存在较大的错误。通过排除10%-50%范围内的极端下降，我们看到估计误差保持在2%以下。我们现在考虑市场崩溃的可能性。参考^IXIC和000001中的场景。SS，我们发现他们一个月内最大的降幅约为30%，分别发生在2000年春季和2008年12月。然后检查比特币下降30%的概率。从表1中我们只看到约17.87%。