局部控制回归：对最小二乘蒙特卡罗方法的改进

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英文标题：
《Local Control Regression: Improving the Least Squares Monte Carlo Method
  for Portfolio Optimization》
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作者：
Rongju Zhang, Nicolas Langren\\\'e, Yu Tian, Zili Zhu, Fima Klebaner,
  Kais Hamza
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The least squares Monte Carlo algorithm has become popular for solving portfolio optimization problems. A simple approach is to approximate the value functions on a discrete grid of portfolio weights, then use control regression to generalize the discrete estimates. However, the classical global control regression can be expensive and inaccurate. To overcome this difficulty, we introduce a local control regression technique, combined with adaptive grids. We show that choosing a coarse grid for local regression can produce sufficiently accurate results.
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中文摘要：
最小二乘蒙特卡罗算法已成为解决投资组合优化问题的流行算法。一种简单的方法是在投资组合权重的离散网格上近似值函数，然后使用控制回归来推广离散估计。然而，经典的全局控制回归可能代价高昂且不准确。为了克服这个困难，我们引入了一种结合自适应网格的局部控制回归技术。我们表明，为局部回归选择粗网格可以产生足够精确的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：蒙特卡罗方法 最小二乘 蒙特卡罗 蒙特卡 Optimization

局部控制回归：改进投资组合优化的最小二乘蒙特卡罗方法张荣菊*, Nicolas Langrené+、Yu Tian+、Zili Zhu+、Fima Klebaner+和Kais Hamza+摘要最小二乘蒙特卡罗算法已成为解决投资组合优化问题的流行算法。一种简单的方法是在投资组合权重的离散网格上近似值函数，然后使用控制回归来推广离散估计。然而，经典的全局控制回归可能代价高昂且不准确。为了克服这一困难，我们引入了一种结合自适应网格的局部控制回归技术。我们表明，为局部回归选择一个粗网格可以产生非常精确的结果。关键词：最小二乘蒙特卡罗；局部控制回归；自适应网格；控制离散化；对照随机化；多期投资组合管理1简介最小二乘蒙特卡罗（LSMC）算法最初由[3]、[15]和[18]引入用于美式期权定价，现已成为解决许多领域随机控制问题的流行工具，如奇异期权定价、库存管理、项目估值、投资组合优化等。LSMC算法的主要优势在于其处理多元随机状态变量的能力，通过将状态变量的蒙特卡罗模拟与动态规划方程中条件期望的回归估计相结合。本文的目的是改进LSMC算法的控制离散化方法，以解决一般的投资目标函数、一般中介成本和一般资产动力学等投资组合优化问题。

在描述该方法的细节之前，我们简要回顾了应用于投资组合优化的LSMC算法的文献，重点介绍了如何处理投资组合权重以及如何实现投资组合权重的最大化。[1]中的泰勒展开法是首次尝试使用LSMC算法解决投资组合优化问题。作者通过推导投资者未来价值函数泰勒级数展开的一阶条件来确定半封闭形式的解决方案，参见其他示例，[19]、[10]和[6]。推导和求解一阶条件的另一种方法是使用[11]的后回归技术，例如参见[4]和[5]。然而，这两种依赖于分析推导的一阶条件方法在应用范围内受到限制。在theLSMC算法中，处理投资组合权重的最简单、最直接和最普遍的方法是对它们进行离散化，对每个离散化的投资组合权重进行一次回归，并通过朴素的穷举搜索计算每个蒙特卡罗路径的最佳分配，例如，参见[14]、[6]和[20]。虽然这种方法稳定且准确，但如果使用细网格，计算成本非常高，尤其是对于多维问题。为了提高控制离散化方法的计算效率，控制回归是一种可能的解决方案。最简单的方法是立即回归状态变量和投资组合权重。例如，在[7]和[8]中，价值函数在模拟的外部状态变量、离散的财富水平和离散的投资组合权重上回归，然后导出并求解一阶条件。

在【20】中，通过【12】中的控制随机化方法实现了控制回归方法：投资组合权重为*通讯作者，电子邮件：henry。zhang@data61.csiro.au.CSIRO Data61，RiskLab Australia+CSIRO Data61，RiskLab Australia澳大利亚莫纳什大学数学科学学院，在正向模拟中相应计算财富变量，然后在外部状态变量、随机投资组合权重和财富上递归回归值函数。然而，如【20】所示，这种方法可能不如网格搜索方法准确，尤其是当时间范围很长或Payoff函数高度非线性时。此外，如【13】所述，立即对状态变量和投资组合权重进行回归需要一个非常大的回归，这会导致计算困难。[13]中介绍了另一种控制回归方法。作者首先在粗网格上回归一阶条件中给出的每个投资组合权重的条件期望，然后回归这些投资组合权重的回归系数，在保持投资组合权重粗网格大小可控的情况下，获得以投资组合权重和状态变量表示的混合广义条件期望估计。这种方法的回归基础通常选择为多项式（在[13]中为线性，在[16]和[9]中为二次），以保持投资组合权重的最大化简单（在[13]中为约束优化解算器，在[16]和[9]中为解析解）。[2]中有一个这样的尝试。

他们的方法是使用低差异Sobol序列对投资组合权重和资产价格进行抽样，然后使用全局回归来获得每个可能的投资组合权重的条件期望估计值，最后通过梯度优化来求解最优投资组合权重。在上述方法的基础上，我们提出了一个混合框架，该框架采用了[20]的控制离散化和控制随机化相结合的方法，以纳入[2]的控制回归方法。我们的控制回归方法与[2]在两个主要方面有所不同，即使用局部回归代替全局回归，以及使用自适应网格来确定最佳权重区域，而不是梯度优化。我们的数值实验表明，局部控制回归比全局控制回归更精确、更有效，并且使用非常粗糙的网格进行局部控制回归可以产生更精确的结果。2问题描述我们考虑一个无限期投资组合分配问题，其中有一个无风险资产和d个风险资产可用。让T成为投资领域。我们假设投资组合可以从等距时间网格∏={t=0，t，…，tN=t}在任意离散时间tN重新平衡。用RF0表示单个时期内无风险资产的回报，用{rtn}0表示≤n≤N={ritn}1≤我≤d0≤n≤n资产返回，按{Rtn}0≤n≤N={1+ritn}1≤我≤d0≤n≤n资产收益的复合因子，并乘以{Stn}0≤n≤N={Sitn}1≤我≤d0≤n≤n资产价格。Letqtn=（qitn）1≤我≤d0≤n≤N-1描述每个风险资产中持有的单位数量，并让{qftn}0≤n≤N-1无风险现金中分配的金额。最后，让{Wtn}0≤n≤n注意投资组合价值（财富）过程。设×和÷表示两个向量之间的元素乘法和除法。

资产价格通常为+1=Stn×Rtn+1，（2.1），财富过程演变为Wtn+1=Wtn+qftnrf+qtn·Stn×rtn+1. （2.2）设F={Ft}0≤t型≤t所有状态变量产生的过滤。在任何再平衡时间tn∈ π，优化问题为vtn（z，w）=sup{αtn∈A} n个≤n≤N-1E[U（WtN）| Ztn=z，WtN=w]。（2.3）这里，{Ztn}0≤n≤Nis是驱动资产价格动态的回报预测向量{Stn}0≤n≤N、 因此，变量{Ztn}0≤n≤n在我们的问题中形成外部状态变量。投资目标是最大化投资者最终财富的预期效用E【U（WtN）】。目标在风险资产中的投资组合分配权重αtn=（αitn）1上最大化≤我≤d0≤n≤N-1，在无风险资产中的分配等于αftn=1-P1级≤我≤dαitn。投资组合权重αtn和投资组合头寸sqtn之间的关系由αtn×Wtn=Stn×qtn给出。集合A 对于每个离散的再平衡时间，Rdof容许策略假定为时间不变量。3最小二乘蒙特卡罗在本节中，我们描述了如何使用LSMC方法来解决动态投资组合优化问题。式（2.3）中的目标函数可以表示为离散时间动态规划原理，vtn（z，w）=sup{αtn∈A} n个≤n≤N-1E级vtn+1Ztn+1，Wtn+1|Ztn=z，Wtn=w. （3.1）传统的LSMC方案向前模拟状态变量，然后通过最小二乘回归在时间上向后近似值函数。这里的困难源于条件财富变量Wtn，因为它需要以前所有投资组合决策的信息{αtn}0≤n≤在反向动态规划循环中还不知道的。为了克服这一困难，一种普遍的方法是近似等式中的条件期望。

（2.3）在财富水平的离散网格上，然后在这些离散财富水平上进行插值，例如参见[1]、[7]和[8]。如果需要一个精确的网格，尤其是当存在多个内生状态变量时，离散化方法在计算上可能会有很大的要求。例如，当考虑到市场影响时，资产价格成为内生状态变量，这可能使离散化方法在计算上不可行。相反，我们使用控制随机化方法模拟随机投资组合权重{αmtn}1≤m级≤M0级≤n≤N-1除返回预测器{Zmtn}1外的前向循环≤m级≤M0级≤n≤N、 资产返回{rmtn}1≤m级≤M0级≤n≤N、 和资产价格{Smtn}1≤m级≤M0级≤n≤N、 财富变量{Wmtn}1的模拟≤m级≤M0级≤n≤随后可以使用随机投资组合权重计算NCA。这些投资组合权重是从允许的集合中统一提取的，以确保模拟样本覆盖可能的投资组合权重的整个空间。在模拟了所有状态变量之后，下一个任务是通过回归来近似等式（3.1）中动态规划公式中的条件期望。一种可能的方法，称为控制回归，是对随机投资组合权重和回报预测值进行回归，然后通过求解一阶条件来计算最优决策。[12]分析了这种控制回归方案，并结合控制随机化，在[20]中给出了这种方法在解决动态组合优化问题中的应用。然而，同时对投资组合权重和状态变量进行回归需要非常大的回归，这可能会导致计算困难，尤其是对于高维投资组合。相反，我们求助于控制离散化，这已被证明比控制回归更精确【20】。

控制空间离散为≈ Adisc={a，…，aJ}。在时间tn，假设映射^vtn+1：（z，w）7→ ^vtn+1（z，w）已估计，式（3.1）中的动态规划原理变为svtn（z，w）=maxaj∈AdiscE公司^vtn+1Ztn+1，Wtn+1|Ztn=z，Wtn=w，αtn=aj=: maxaj公司∈AdiscCVjtn（z，w），其中CVjtndenotes是在时间tn选择投资组合权重的连续值函数，用于评估每个aj的CVjt∈ Adisc，我们首先更新每个蒙特卡罗路径的投资组合权重αmtn=aj m=1。。。，M、 然后，可以根据投资组合权重aj，qm，jtn=aj××Wmtn÷Smtn^Wm，（n，j）tn+1=～Wmtn+qf，M，jtnrf+qm，jtn重新计算tn+1时的财富变量·Smtn×rmtn+1,式中，^Wm，（n，j）tn+1是根据控制网格第jthnode处时间tn的信息，在时间tn+1重新计算的财富。设{ψk（z，w）}1≤k≤Kbe回归状态变量的基函数。对于每个投资组合决策aj∈ Adisc，通过最小二乘法近似的相应CVjtnis：n^βjk，tno1≤k≤K=arg min{βK}1≤k≤KMXm=1^vtn+1Zmtn+1，^Wm，（n，j）tn+1-KXk=1βkψkZmtn，~ Wmtn!.最后，CVjtnis参数化为^CVjtn（z，w）=KXk=1βjk，tnψk（z，w），最优决策策略为^αtn（z，w）=arg maxaj∈Adisc^CVjtn（z，w），^v（z，w）=maxaj∈Adisc^CVjtn（z，w），其中最大化通过穷举网格搜索执行。如【20】中所述，控制离散化方法在数值上非常稳定，即使考虑到交易成本和价格影响。然而，穷举网格搜索在计算上非常昂贵，尤其是对于高维投资组合。

在下一节中，我们将介绍一种局部控制回归方法，以减少控制离散化的计算负担。4控制回归和最大化在离散网格Adisc上估计值函数后，下一步是使用控制回归将这些离散估计投影到连续的控制空间。本节详细描述了如何使用控制回归来改进估计。为了概念上的方便，我们用^CVj=^CVj（z，w）表示在任意时间和任意输入状态变量（z，w）时选择投资组合权重aj的估计连续值。假设我们已经实现了网格搜索方法来估计粗离散网格Adisc中的条件值^CVjon，并通过以下方程^α=arg maxaj估计了最优控制∈Adisc^CVj。（4.1）在离散网格ADISCI上推广这些条件值估计的常用方法是使用全局回归，参见示例【13】和【2】。然而，即使使用高级回归技术，也很难找到能很好地拟合全球网格的回归基础。例如，图4.1说明了具有无风险现金和两种风险资产（d=2）的投资组合的全局回归方法。此外，即使可以找到足够的回归基础，全局回归在计算上也可能非常昂贵。事实上，没有必要将离散值函数投影到整个全局控制空间，因为最大化值函数的标准是在包含最优值的小局部区域上的精度。4.1局部控制回归为了提高控制回归的数值精度和效率，我们建议围绕最优估计^α进行局部回归。

我们构造了一个局部网格Ldisc（^α） 包含以下八个元素的ADISC:Ldisc（α）：=一∈ Adisc:k^α- ak公司∞≤ δ, （4.2）其中δ是离散网格Adisc的网格尺寸。然后，我们将估计的条件值^cvjj回归到局部网格Ldisc（^α）中的点，得到整个连续局部控制超立方体（^α）上的参数条件值估计^Φ（a）：={a∈ A：k^α- ak公司∞≤ δ}. （4.3）局部回归的主要优点是更好的拟合优度，因为局部网格Ldisc（α）仅包含极少数点，因此即使使用简单的基，如局部二阶多项式基，也更容易拟合。此外，一个简单的二阶多项式是这种局部参数回归的合理候选，因为局部网格在每个维度上最多只包含三个点，最大值位于局部粗网格的中点或边界处。此外，为了保证局部回归的鲁棒性，我们使用二阶多项式基进行局部岭回归。图4.2说明了图4.1所示同一示例上的局部控制回归方法。现在已经得到了整个局部超立方体Lcont（α）上的连续值估计，我们转向估计Lcont（α）上的最优控制的问题，即α*= arg最大值∈Lcont（α）Φ（a）。（4.4）图4.1：全局控制回归图4.2：局部控制回归左面板突出显示全局网格（绿色）外的局部控制网格（红色），右面板显示所选局部网格上的填充曲面。4.2自适应网格最大化下一步是通过求解公式（4.4）中的连续方程来改进公式（4.1）中的离散最优控制估计。