有限域上具有注资的最优股利问题

实际上，如果我们考虑资本注入的最优股利问题bv（t，x）：=supD∈D（t，x）EZT公司-te公司-Rt+strαdαbf（t+s）dDs-ZT公司-te公司-Rt+strαdαbm（t+s）dIDs+e-RTtrαdαbg（T，XDT-t（x））,然后，对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+我们可以设置f（T）：=e-Rtrαdαbf（t），m（t）：=e-Rtrαdαbm（t），g（t，x）：=e-Rtrαdαbg（t，x）和V（t，x）：=e-RtrαdαbV（t，x）的形式为（2.6）。在第5节中，我们将考虑一个固定边际利润和成本折扣率为r>0的问题（见第5节（5.1）、（5.2）和（5.3））。备注2.4。请注意，在我们的模型中，当盈余过程试图变为负值时，股东被迫注入资本；也就是说，注资过程不是他们的控制变量，股东不会选择何时以及如何投资公司。在不允许破产的情况下，在源头注入资本可以在第5节最优股息问题的规范公式中显示为最优，其中边际成本和利润以恒定利率贴现为常数。事实上，在这种情况下，由于贴现，股东将尽可能晚地注资，以尽量减少注资的总成本。参见Kulenko和Schmidli【24】和Schmidli【33】，了解平稳问题的类似结果。更一般地说，当m减少且为零时，“从源头注入资本”的政策是最优的∈[0，T]m（T）>所有x的gx（T，x）∈ R+。

在这种情况下，股东推迟注资，只注入必要的资本，因为任何额外的注资都无法在最终时间通过奖励来补偿。V的动态规划方程采用带梯度约束的抛物线偏微分方程（PDE）形式，在x=0时具有Neumann边界条件（后者是由于状态过程x通过6法拉利、Schumanna资本注入过程在原点反射）。事实上，它的读数为maxntV+σxxV+u十五、六- xVo=0，在[0，T）×（0，∞),带边界条件xV（0，t）=所有t的m（t）∈ [0，T]，对于anyx，V（T，x）=g（T，x）∈ (0, ∞). 证明这样一个偏微分方程问题的解具有足够的正则性来刻画最优控制，这远不是一件小事。为了解决最优红利问题（2.6），我们采用不同的方法，将（2.6）与吸收条件为x=0的最优停止问题联系起来。这是通过引用El Karoui和Karatzas在[14]中关于反射跟随问题与最优停止问题之间关系的研究中的论点得出的（另见Sobaldurson[4]和Karatzas和Shreve[21]）。然而，与[14]不同的是，在我们的绩效报告（2.5）中，我们也有反思的成本，这需要仔细而不是立即地适应[14]的想法和结果。特别是，引入一个原点吸收的最优停止问题，说明后者的值函数的适当积分会导致最优控制问题的值函数（2.6）。该结果将在下一节中说明，然后在第4.3节中验证。

主结果集S（x）：=inf{S≥ 0:x+us+σWs=0}，x≥ 0，对于任何s≥ 0，将吸收漂移布朗运动（3.1）引入为（x）：=（x+us+σWs，s<s（x），, s≥ S（x），其中 公墓状态是否与R+隔离（即。 < 0).介绍公约gx（T，) := 0，对于（t，x）∈ [0，T]×R+，考虑最优停止问题（3.2）u（T，x）：=supτ∈[0，T-t] Ehf（t+τ）{τ<（t-t）∧S（x）}+m（t+S（x））{τ≥S（x）}+gxT、 x+u（T- t） +σWT-t型{τ=T-t<S（x）}i=supτ∈∧（T-t） Ehf（t+τ）{Aτ（x）>0}{τ<t-t} +m（t+S（x））{Aτ（x）≤0}+gxT、 在-t（x）{τ=T-t} i，其中∧（t- t） 用[0，t]中的值表示所有F停止时间的集合- t] a.s.问题（3.2）是吸收过程a的最优停止问题。为了建立（2.6）和（3.2）之间的关系，我们需要以下结构假设，这些假设将在本节和第4节中给出。其有效性必须根据具体情况进行验证。特别是，它适用于考虑第5条的最优红利问题。假设3.1。假设停止问题（3.2）的连续区域由（3.3）C给出：{（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : u（t，x）>f（t）}={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : x<b（t）}，其停止区域byS：={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : u（t，x）≤ f（t）}∪{T}×（0，∞)= {（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : x个≥ b（t）}∪{T}×（0，∞),（3.4）对于连续函数b:[0，T]，具有注资7的最佳股息→ (0, ∞). 我们将f函数b称为问题（3.2）的最优停止边界。

此外，假设停止时间（3.5）τ（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t） ：As（x）≥ b（t+s）}∧ （T- t） （使用常规inf = +∞) 是最优的；也就是说，u（t，x）=Ehf（t+τ（t，x））{τ（t，x）<（t-t）∧S（x）}+m（t+S（x））{τ（t，x）≥S（x）}+gx（T，x+u（T- t） +σWT-t） {τ（t，x）=t-t<S（x）}i.（3.6）对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+，并以b为问题（3.2）的最优停止边界（参见假设3.1），我们定义了过程I（t，x）和D（t，x）通过系统Ds（t，x）：=最大值0，最大值0≤θ≤ sx+uθ+σWθ+Iθ（t，x）- b（t+θ）,我s（t，x）：=最大值0，最大值0≤θ≤ s- x个- uθ - σWθ+Dθ（t，x）,（3.7）对于任何∈ [0，T- t] ，并具有初始值D（t，x）=I（t，x）=0 a.s.系统（3.7）解的存在性和唯一性可通过应用Tarski的fix edpoint定理来证明，该定理遵循Karatzas在[20]第8节命题7证明中使用的参数。从（3.7）和b的正性可以很容易地看出，D满足（2.2），因此具有连续路径。I的后一个属性意味着T 7→ Dt在振幅（x）的时间零点处，持续间隔可能的初始跳变- b（t））+。我们现在可以陈述以下结果。定理3.2。Le t Assumption3.1保持。然后，过程D通过（3.7）定义，提供了最佳股息分配政策，（2.6）的值函数V为（3.8）V（t，x）=V（t，b（t））-Zb（t）xu（t，y）dy，（t，x）∈ [0，T]×R+。进一步假设极限↑Tb（t）=：b（t）<∞.

ThenV（t，b（t））=-uZT-tf′（t+s）s ds+ZT-tf′（t+s）b（t+s）ds+g（t，b（t））+f（t）u（t- t） +f（t）b（t）- f（T）b（T）。（3.9）与El Karoui和Karatzas在[14]中的结果一致（另见Karatzas和Shreve[21]），我们发现，在原点有代价反射的问题中，最优停止问题（即问题（3.2））的值给出了值函数（2.6）的边际值。因此，最优停止边界b触发了最佳支付额外股息单位的时机。此外，一旦知道最优停止值函数u及其相应的自由边界b，（3.8）和（3.9）就可以完整地描述最优红利问题的值函数V。注意，条件b（T）<∞ 在第5节的案例研究中，我们证明了b（T）=0。第3.2条的证明非常冗长，技术性很强，它被归入第4.4条。关于定理em3.2的证明，本节完全致力于定理3.2的证明。这是通过一系列中间结果来实现的，这些中间结果由emp-loying大多数概率参数证明。假设3.1将贯穿本节。8法拉利，舒曼4.1。关于最优停止值函数的一种表示。在这里，我们借鉴El Karoui和Karatzas【14】第3节的思想，导出了最优停止问题（3.2）的值函数的替代表示。下面我们设置gx（T，) = 我们在这里采用的想法是根据假设3.1的函数b重写最优停止问题（3.2）。

为了实现这一点，对于给定的（t，x）∈ [0，T]×R+，将与可接受的停止规则“从不停止”相关的支付定义为（4.1）G（T，x）：=Em（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））,我们使用gx（T，AT-t（x））{t-t<S（x）}=gx（t，AT-t（x）），因为（3.1）和gx（t，) = 此外，还引入了函数g:[0，T]×R+×R+→ R（参数取决于t）as（4.2）~g（α，q，y；t）：=（gx（t，y），α<q，m（t+q），α≥ q、 注意v：=u- G允许表示（4.3）v（t，x）=supτ∈∧（T-t） E类（f（t+τ）- g（T- t、 S（x），在-t（x）；t） ）{τ<S（x）∧T-t} }.显然，停止时间τ（3.5）定义的值也是v的最佳值，因为G与τ无关∈ ∧（T- t） 。因此，我们可以预期v可以用最佳停止边界b来表示。在【14】之后，我们通过双重预测理论（“balay'ee pr'evisible”）获得了v的这种表示，如下所示。从现在开始，（t，x）∈ 将给出并确定[0，T]×R+。我们定义了过程（Cα）α∈[0，T]对于任何α∈ [0，T- t] Cα（t，x）：=-Zα∧S（x）∧T-tf′（t+θ）dθ+f（T∧ （t+S（x）））- g（T- t，S（x），在-t（x）；t）{0<T-t型∧S（x）≤α} ，（4.4）以及停止时间（4.5）σα（t，x）：=inf{θ∈ [α，T- t） ：Aθ（x）≥ b（t+θ）}∧ （T- t） ，使用约定inf = +∞. 过程C·（t，x）在[0，t]上是绝对连续的-t）∧ S（x），可能在（T）处跳跃-t）∧ S（x）和α7→ σα（t，x）是a.s。

不减损连续驾驶。由于根据假设3.1，停车时间σ（t，x）对于u（t，x）是最优的，因此，对于v（t，x）=（u- G） （t，x），通过使用（4.4），我们可以从（4.3）（4.6）v（t，x）=E计算机断层扫描-t（t，x）- Cσ（t，x）（t，x）= EheCT公司-t（t，x）i，其中我们引入了（4.7）eCα（t，x）：=Cσα（t，x）（t，x）- Cσ（t，x）（t，x），α∈ [0，T- t] 。过程C·（t，x）是有界变差的，因为它是有界变差过程C·（t，x）和非减量过程σ·（t，x）的组合，但它不是F自适应的。然而，由于v是一个过度函数，它也是一个经过调整的非减量过程Θ·（t，x）的潜力（参见Blumenthal和Getoor书中的第IV.4节[6]），这是C·（t，x）的双可预测（或可预测）投影（有关双可预测投影的更多详细信息，请参见Rogers和d Williams书第六章中的定理21.1）。在下文中，我们提供了Θ·（t，x）的显式表示。这是通过在第7节【15】中采用El Karoui和Karatzas的方法获得的。注资最优股息9定理4.1。双可预测投影Θ（t，x）of ec（t，x）存在，是非减量的，由Θα（t，x）=Zα给出-f′（t+θ）{Aθ（x）>b（t+θ）}dθ+hf（t∧ （t+S（x）））- g（T- t、 S（x），在-t（x）；t） i{在-t（x）>b（t）}{0<t-t型∧S（x）≤α} （4.8）=Zα∧S（x）-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ>b（t+θ）}dθ+hf（t∧ （t+S（x）））- g（T- t、 S（x），在-t（x）；t） i{在-t（x）>b（t）}{0<t-t型∧S（x）≤α} 对于任何α∈ [0，T- t] 。理论4.1可以通过仔细地将[15]第7节中提出的技术与我们的案例相适应来证明（另请参见[14]第3节）。特别是，与[15]第7节不同，这里我们将吸收漂移布朗运动作为最优停止问题（3.2）的状态变量来处理（而不是布朗运动）。

然而，文献[15]第7节的所有论据和证明也适用于具有随机时间范围（T- t）∧ S（x）（其中过程A实际上是一个漂移的布朗运动）在使用v的表示（4.3）时（其中函数g负责随机时间范围（T-t）∧ S（x））与（4.5）和（4.7）一起。定理4.1的结果是下一个结果。推论4.2。它认为（i）f（T∧ （t+S（x）））- g（T- t，S（x），在-t（x）；t）{在-t（x）>b（t）}=0 a.s.（ii）{t∈ [0，T）：f′（T）≤ 0}  S证据（i） 在集合{AT-t（x）>b（t）}我们通过定义g（见（4.2））得到thatf（t∧ （t+S（x）））- g（T- t、 S（x），在-t（x）；t） =f（t）- gx（T，AT-t（x））。（4.9）由于Θ·（t，x）是非递减的，所以（4.9）中的最后一项必须是正的，因此意味着f（t）-gx（T，AT-t（x））≥ 0位于{AT-t（x）>b（t）}。然而，根据假设2.1—（i）有f（T）≤所有x的gx（T，x）∈ (0, ∞). 因此，权利要求如下。（ii）自α7以来→ α（t，x）是a.s.非减量的，它从上面的（i）和（4.8）得出f′（t+θ）{aθ（x）>b（t+θ）}≤ a.e.θ为0 a.s∈ [0，T- t] 。但f′（·）、A·（x）和b（t+·）连续到（t-t）∧S（x），在前面，后者实际上对所有θ都保持a.S∈ [0，T-t] 。因此，{t∈ [0，T）：f′（T）≤ 0}  S备注4.3。作为推论4.2-（i）（具体见（4.9））、假设2.1-（i）和以下事实的副产品：-t（x）有一个转移概率，对于R+（参见（a.5））上的勒贝格测度是绝对连续的，一个f（T）- gx（T，y）{y>b（T）}=0表示y≥ 我们现在可以获得问题（3.2）的值函数u的另一种表示形式。定理4.4。对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+一个hasu（T，x）=EZ（T-t）∧S（x）-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}dθ+m（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））.（4.10）10法拉利，Schumannproof。

因为到了第4.1Θ（t，x）是c（t，x）的双重预测投影，从（4.6）我们可以为任何（t，x）写∈ [0，T]×R+（4.11）v（T，x）=EheCT-t（t，x）i=E[Θt-t（t，x）]。由于（4.8）和推论4.2-（i），（4.11）给定sv（t，x）=E“Z（t-t）∧S（x）-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}dθ#。（4.12）在这里，我们还使用了S（x）和漂移布朗运动的联合定律对于R（参见（A.2））中的Lebesgue测度是绝对连续的，以{x+uθ+σWθ>b（t+θ）}替换为{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}在（4.8）中的期望值内。然而，从定义开始v=u- G、 我们从（4.12）和（4.1）中得到了交替变量表示u（t，x）=v（t，x）+G（t，x）=EZ（T-t）∧S（x）-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}dθ+m（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））.备注4.5。注意，表示式（4.10）与应用It^o公式得到的表示式一致，如果u为C1,2（[0，T）×（0，∞)) ∩ C（[0，T]×R+）和自由边界问题（4.13）tu+σxxu+uxu=0，0<x<b（t），t∈ [0，T）u=f，x≥ b（t），t∈ [0，T）u（T，x）=gx（T，x），x>0u（T，0）=m（T），T∈ [0，T]。事实上，在这种情况下，Dynkin公式的应用给出了u（t+（t- t）∧ S（x），Z（T-t）∧S（x）（x））= u（t，x）+E“Z（t-t）∧S（x）f′（t+θ）{Zθ（x）≥b（t+θ）}dθ#，其中我们设置了Zs（x）：=x+us+σWs，s≥ 0，以简化演示。因此，使用（4.13），我们从latteru（t，x）=Em（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，x+u（t- t） +σWT-t） {S（x）>t-t}-Z（T-t）∧S（x）f′（t+θ）{Zθ（x）≥b（t+θ）}dθ= Em（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））{S（x）>t-t}-Z（T-t）∧S（x）f′（t+θ）{Zθ（x）≥b（t+θ）}dθ= Em（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））-Z（T-t）∧S（x）f′（t+θ）{Zθ（x）≥b（t+θ）}dθ,在最后一步中，我们使用了gx（T，AT-t（x））{S（x）>t-t} =gx（t，AT-t（x）），因为（3.1）和gx（t，) = 0、备注4.6。

注意，表示式（4.10）立即给出了最佳停止边界b的积分方程。事实上，因为（4.10）适用于任何（t，x）∈ [0，T]×R+，注资最优股息11取x=b（T），T≤ 在（4.10）的两侧，通过回顾u（T，b（T））=f（T），我们发现b solvesf（T）=EZ（T-t）∧S（b（t））-f′（t+θ）{b（t）+uθ+σWθ≥b（t+θ）}dθ+m（t+S（b（t））{S（b（t））≤T-t} +gx（t，AT-t（b（t）））.（4.14）通过采用Peskir和Shiryaev【28】第25节中的参数，b基于u的超调和特性，可以证明b是（4.14）在一类合适的连续函数和正函数中的唯一解。下一个结果来自（4.10），通过将期望值表示为有关过程和随机变量概率密度的积分。为了完整起见，其证明见附录。推论4.7。函数u（t，·）在（0，∞) 对于所有t∈ [0，T）。在下一节中，我们将适当地整合u（3.6）和（4.10）关于空间变量的两个可选表示，并且我们将证明这种整合给出了最优分红问题的值函数（2.6）。作为一个副产品，我们还将获得最优分红策略D.4.2. 积分最优停止值函数。在接下来的两个命题中，我们就空间变量积分（3.6）和（4.10）给出的u的两个表示。证明将采用路径论证。然而，为了简化说明，我们将不强调所涉及的随机变量和过程的ω依赖性。提案4.8。