基于交替几何过程的保修成本分析

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英文标题：
《Warranty Cost Analysis with an Alternating Geometric Process》
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作者：
Richard Arnold, Stefanka Chukova, Yu Hayakawa, Sarah Marshall
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this study we model the warranty claims process and evaluate the warranty servicing costs under non-renewing and renewing free repair warranties. We assume that the repair time for rectifying the claims is non-zero and the repair cost is a function of the length of the repair time. To accommodate the ageing of the product and repair equipment, we use a decreasing geometric process to model the consecutive operational times and an increasing geometric process to model the consecutive repair times. We identify and study the alternating geometric process (AGP), which is an alternating process with cycles consisting of the item\'s operational time followed by the corresponding repair time. We derive new results for the AGP in finite horizon and use them to evaluate the warranty costs over the warranty period and over the life cycle of the product under a non-renewing free repair warranty (NRFRW), a renewing free repair warranty (RFRW) and a restricted renewing free repair warranty (RRFRW(n)). Properties of the model are demonstrated using a simulation study.
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中文摘要：
在这项研究中，我们对保修索赔过程进行了建模，并评估了非续保和续保免费维修保修下的保修服务成本。我们假设纠正索赔的维修时间为非零，维修成本是维修时间长度的函数。为了适应产品和维修设备的老化，我们使用递减几何过程来模拟连续操作时间，使用递增几何过程来模拟连续维修时间。我们确定并研究了交替几何过程（AGP），这是一个交替过程，其周期由项目的运行时间和相应的维修时间组成。我们在有限期内得出AGP的新结果，并使用这些结果来评估产品在保修期内和生命周期内的保修成本，包括非续约免费维修保修（NRFRW）、续约免费维修保修（RFRW）和限制续约免费维修保修（RRFRW（n））。通过仿真研究，验证了该模型的性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Warranty_Cost_Analysis_with_an_Alternating_Geometric_Process.pdf (813.47 KB)

2022-6-9 23:43:38 上传

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关键词：成本分析 Quantitative Applications Alternating Operational

1采用交替几何过程的保修成本分析Richard Arnold1、Stefanka Chukova1、Yu Hayakawa2、Sarah Marshall3*1。新西兰惠灵顿维多利亚大学数学与统计学院，邮政信箱600，惠灵顿6140 2。早稻田大学国际文科学院，日本东京新宿区西早稻田1-6-1号，邮编：169-8050 3。奥克兰理工大学工程、计算机和数学科学学院私人行李92006，奥克兰1142，新西兰摘要在本研究中，我们对保修索赔过程进行建模，并评估非续约和续约免费维修保修下的保修服务成本。我们假设纠正索赔的维修时间为非零，维修成本是维修时间长度的函数。为了适应产品和维修设备的老化，我们使用递减几何过程来模拟连续操作时间，使用递增几何过程来模拟连续维修时间。我们确定并研究了交替几何过程（AGP），这是一个交替过程，其周期由项目的运行时间和相应的维修时间组成。我们在有限期内得出AGP的新结果，并使用这些结果来评估产品在保修期内和生命周期内的保修成本，包括非续约免费维修保修（NRFRW）、续约免费维修保修（RFRW）和限制续约免费维修保修（RRFRW（n））。通过仿真研究，验证了该模型的性能。

关键词：保修成本分析；几何过程；交替几何过程命名法  – 带参数的随机递减几何过程  代表“开启”时间*通讯作者：sarah。marshall@aut.ac.nz电话：+64-9-921-9999-5414。  – 带参数的随机增长几何过程   表示“关闭”时间；       –  第i个周期的长度，具有累积分布函数;      –  第n个周期结束时，使用累积分布函数;       – 保修期的长度；    – 生命周期的长度；  – 保修期内的保修费用；  – 整个生命周期内的保修成本。在保修成本分析中，通常假设纠正保修索赔所需的时间可以忽略不计。在许多情况下，这一假设是合理的，但在有些情况下，这一假设很难证明是合理的，例如，长时间的维修会带来高额罚款，或者长时间的维修会导致收入的巨大损失。在这些情况下，忽视维修时间将导致低估预期保修成本。Chukova和Hayakawa【1，2】研究了基于交替更新过程的模型（即，假设独立且同分布的（i.i.d.）运行时间和独立且同分布的维修时间），以评估非更新和更新保修下的保修成本。这些模型考虑了非零修复时间和有限时间范围。有关交替更新过程的详细信息，请参见2[3]。有关更新理论在保修成本分析中应用的更多信息，请参见[4]。有关维修时间非零的车型的更多信息，请参见[5]–[12]。

本文的主要目标是研究[1，2]中上述结果的推广，以更真实地解释产品老化，即操作时间随机减少，维修时间随机增加。我们使用几何过程对随机增加和减少的时间进行建模（几何过程概述见[13]）。在本文中，我们建立了一个场景模型，在该场景中，随着产品老化，操作时间减少，将故障产品恢复到正常状态所需的时间增加。因此，新模型将基于交替几何过程（AGP），我们将在第2节中介绍。2、模型2.1。交替几何过程（AGP）考虑一个项目，该项目最初运行一段时间  然后失败了。在此之后，它将进行一段时间的维修 .   维修后，该项目再次运行一段时间, 然后进行一段时间的维修  等等我们假设：（1）   和   是随机变量的独立序列；(2)   是一个带参数的随机递减几何过程; (3)       是一个带参数的随机增长几何过程.  随机过程   被称为带参数的几何过程  如果存在实数  因此  是一个更新过程[13]。几何过程是随机递增的，如果  如果. 如果, 然后这个过程就变成了一个更新过程。有关几何过程的不同参数化，请参见【14】。上述过程称为带参数的交替几何过程（AGP.

如果一段时间由运行（“开启”）时间和相应的维修（“关闭”）时间组成，我们将其称为“周期”。我们假设维修费用在每个周期结束时发生。如果保修范围在维修期内到期，则相应的维修已完成，其费用由保修人全额承担。在这种情况下，我们有一个完整的周期。如果保修在运营期内到期，则保修人不承担以下维修费用，且周期不完整。与[1，2]类似，我们假设第i次维修的成本具有以下形式  ,  哪里   和   是预先指定的常数。产品的生命周期定义为产品仍然可用且处于当代的时间。我们假设，在生命周期内，在最初购买的商品的保修期到期后，在首次保修失败时，消费者购买的商品与最初购买的商品相同，保修期相同。2.2. 有限视界中的AGP考虑具有第i个“开”时间分布的AGP  和第i个“关闭”时间分布. 我们假设“开”和“关”时间过程是几何过程。“开启”时间过程是一个带参数的递减几何过程    .  “关闭”时间过程是一个带参数的递增几何过程    . 表示为 , 第i次循环的长度，即第i次运行和第i次维修时间的总和，以及累积分布函数  .  允许   .

然后，时间t前完成的AGP循环数，, 以及其预期价值，, 分别由  类似于计算更新函数（见[3]），我们可以看到  可以表示为   哪里           （1） 和“” 表示卷积。接下来，我们总结了评估预期保修成本所需的一些结果。大多数结果都是在没有证据的情况下陈述的。首先，通过扩展[13][Thm 2.3.1]的结果，系统在时间上“开启”的概率  可通过以下方式获得        （2） 让   是有限时间段的长度。然后，以下结果成立：定理1。      （3） 3定理2。         （4） 定理3。                (5) 3.  NRFRW下的保修成本分析接下来，我们考虑非续约免费维修保修（NRFRW），即产品保修期为固定时间T，通常在购买后立即开始。在保修期内，所有费用由制造商承担。我们得出保修期T和寿命周期L.3.1内的预期保修成本。

超过（0，T）的预期保修成本保修期内的总成本C（T）可以表示为   然后     （6） 在哪里  由（2）给出。对于, 我们有    ,      (7)        （8） 而且，                    （9） 请注意，当, 修复时间过程是一个更新过程。有关这种情况下的预期保修成本，请参阅[1]。3.2. 预计保修成本超过（0，L）出租  是一个预先指定的时间，在此期间，产品被认为是当代的，并且与市场上的类似产品具有竞争力。允许  之后产品首次保修失败的时间. 然后，我们打电话  产品的生命周期。允许  为正随机变量，表示两次连续购买之间的时间，即。，      然后，预期成本超过  由给出   哪里   是由生成的续订流程的续订功能. 基于的定义, 它的分布可以通过相应的条件分布来表示   和 , 分别在（4）和（5）中给出。4、RFRW和RRFRW（n）下的保修成本分析接下来，我们考虑续订免费维修保修（RFRW），根据该保修，在保修维修后，该项目将重新保修，保修期为T。

如果保修期在运营期内结束，则保修人不承担以下维修费用，保修范围也将到期。这里我们将区分保修范围 ,   这是一个随机变量，保修期是一个预定常数. 我们定义  从购买产品到保修期满的时间。我们还考虑了限制续订免费维修保修（RRFRW（n）），其中保修维修数量限制在某个预定数量n以内。我们定义 作为RRFRW（n）下的保修范围。4.1. RFRW 4.1.1的成本分析。预计保修成本超过   根据续订保修的机制，WT等于：    （10） 那么，保修费用   保修范围内是一个随机变量，其分布如下：              （11） 在哪里, 对于, 在（7）中给出。接下来，我们考虑预期保修成本    结束  经过一些代数运算，我们得到    （12） 可以证明，级数（12）是发散的（基于达朗贝尔检验和斯托尔茨-塞萨罗定理[15]）。因此  转到无穷大。因此，指定一个长度为的保修期  对于产品，其运行/维修时间将与参数一起构成AGP   不是可行的商业选择。

然而，提供有限的免费维修保修可能是可行的，最多   保修维修（RRFRW（n）），我们将在第4.2小节中介绍。4.2. RRFRW（n）的成本分析作为RFRW策略的替代方案，我们将考虑其修改版本，称为带参数n（RRFRW（n））的限制续订免费维修保修，在此情况下，最多   保修范围包括保修维修，其中  是一个已知的固定常数。4.2.1. 预计保修成本超过   根据RRFRW（n），保修范围  可表示如下：        那么，保修费用   保修范围内是一个随机变量，其分布如下：                  很容易得出，在RRFRW（n）下，预期保修成本如下所示： （13） 5这是发散级数（12）的截断版本  部分和。因此，对于带参数的AGP下的RRFRW（n）  预期的保修成本总是有限的，一些生产商可能会将此保修策略视为适当的保修策略。4.2.2. 预计保修成本超过   与第3.2节类似，超过（0，L）的预期保修成本表达式可以在RRFRW（n）下推导得出。考虑正随机变量  作为RRFRW下两次连续购买之间的时间（n）。

根据定义        然后，可以显示  由给出             因此，以下定理成立：定理5。         哪里  由（1）给出。然后，预计保修成本超过 ,  说 ,  表示为   按以下方式   哪里  是否生成续订流程的续订功能.  5、NRFRW的仿真结果在本节中，我们使用仿真研究了在AGP下，NRFRW的预期保修成本，其中包含参数   使用NRFRW下超过500万保修成本的平均成本模拟，估计保修期内以及整个生命周期内的预期保修成本。预计保修成本, 如（6）所示，主要受以下两个因素的影响：一、权利要求的数量和二。这些索赔的成本。索赔成本取决于维修时间的长短（由维修时间分布决定  和 ).  索赔数量取决于运营时间（由运营时间分布决定  和) 以及维修时间。回想一下，第i项索赔的成本为  ,   其中，A可解释为每次维修产生的固定成本，δ可解释为每个时间单位的可变成本。