不良贷款治愈率的马尔可夫链模型

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英文标题：
《A Markov Chain Model for the Cure Rate of Non-Performing Loans》
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作者：
Vilislav Boutchaktchiev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A Markov-chain model is developed for the purpose estimation of the cure rate of non-performing loans. The technique is performed collectively, on portfolios and it can be applicable in the process of calculation of credit impairment. It is efficient in terms of data manipulation costs which makes it accessible even to smaller financial institutions. In addition, several other applications to portfolio optimization are suggested.
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中文摘要：
为了估计不良贷款的治愈率，建立了马尔可夫链模型。该技术是在投资组合上集体实施的，可以应用于信用减值的计算过程。就数据操作成本而言，它是高效的，这使得小型金融机构也可以访问它。此外，还提出了投资组合优化的其他一些应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> A_Markov_Chain_Model_for_the_Cure_Rate_of_Non-Performing_Loans.pdf (133.59 KB)

2022-6-10 03:20:08 上传

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关键词：马尔可夫链 不良贷款 马尔可夫 Applications Quantitative

不良贷款治愈率的马尔可夫链模型Vilislav Boutchaktchiev 2018年5月摘要为了估计不良贷款的治愈率，开发了马尔可夫链模型。该技术是在投资组合上集体形成的，可以应用于信用减值的计算过程。它在数据操作成本方面非常有效，即使是较小的金融机构也可以使用它。此外，还提出了投资组合优化的其他一些应用。关键词：治愈率估计、马尔可夫链、生存分析、IFRS 9准备金。2010年数学科目分类：62M05、62N02、91B70JEL分类：G21、M41简介在计算信贷减值时，IFRS 9标准允许在某些条件下使用补救率，以减少银行准备金的金额。这项准备金背后的逻辑是，如果减值金额最终将恢复正常状态，银行无需计算准备金。银行界可获得多个方法手册（参见例[2]），这些手册通常没有对模型的假设作出规定，为治愈率的计算提供了依据。以这种方式进行的估计往往过于保守，有时甚至不可靠，因为模型的基本假设无法验证。目前的技术允许以任何期望的精度和任何期望的频率进行计算。（例如，每月、每季度等）模型仅使用过去12个月的数据，以提供治愈率的最新测量值。有时，监管机构要求对集体计量的金融量进行监管。

这正是为什么在低违约投资组合中，这类方法的结果甚至不能满足治愈率的基本假设的原因。低违约投资组合通常是在小银行中发现的。为此，我们采用了生存分析中的平滑方法。这种方法是第3节的主题。在gene ral中，马尔可夫链模型的使用是银行管理层可以使用的一种技术，也是他们日常处理信贷风险和预期信贷损失的一部分，一些研究记录了这一做法，并对其作出了贡献，包括[3]、[4]和[5]。看来蒙特卡罗技术与ine演示的技术相似。g、 [6]适用于治愈率的研究，我相信未来对这一课题的兴趣将朝着这个方向发展。在第4节中，我们使用三家小型保加利亚银行的数据制作了两个数值示例。此外，在第5节中，我们展示了该方法如何提供几种工具来确定治愈率不适用的一些投资组合，但不同的管理方法将更为成功。我要感谢我的同事雅娜·科斯托娃（Jana Kostova）和亚历山德罗·梅里尼（Alessandro Merlini），他们来自阿斯特英国咨询公司（ASTOR BG Consulting），让我注意到了这个问题，并为实际计算提供了数据。1补救率补救率旨在衡量贷款在被发现拖欠后恢复正常状态的倾向。在一个投资组合中，总的来说，治愈率估计了最终将偿还的未履行贷款的比例。考虑到一笔贷款一旦治愈，就有可能复发或在不同类别之间来回移动，因此，简单地衡量一段时间内的比例是不够的。出于本研究的目的，我们假设一笔贷款被发现延迟了90天以上，即视为未履行。我们做出以下假设1。

该贷款在到期时间不到一个月后最终得到偿还。2、逾期N个月或以上的贷款将被视为e d损失，并进行重新冲销。3、我们应该区分已被授予延期的履约贷款。根据【1】的规定，这些贷款将是向在履行义务过程中经历财务困难的一方提供的贷款，银行已同意为其提供特殊合同条款。如果这样的贷款将其正常状态保持一年，我们认为它已治愈，否则我们认为它已失去。4、将状态分配给投资组合中的所有贷款，以m为基础，t=0时过期的总月数。m=0的状态是吸收状态，以及具有m的状态≥ Nforborne贷款在单独的州进行分配。因此，状态数为N+2.5。我们假设观测的时间周期为每年一次。我们衡量了自2018年1月1日起，保加利亚银行之间的过渡概率，这些银行必须报告预期的信贷损失，并根据IFRS 9计算准备金。一般来说，他们是在计算他们的尾部贷款组合和其他标准化产品组合的治愈率。通过观察t=0.6之前一年内各州之间的迁移情况。我们假设前几年的迁移与投资组合的进一步发展无关。此外，我们假设转移率不会随时间变化。假设1-3是一个银行政策问题，虽然它们满足IFRS 9的要求，但可能会存在另一种配置。

假设5并不重要，但应注意的是，sma llbanks通常拥有浅层、低违约组合，高频观察导致治愈率波动。2马尔可夫过程对于所考虑的投资组合的典型贷款，我们因此构建了随机变量{Xt：t=0，1，…}的有限马尔可夫链，它以t年的贷款状态作为价值。它有N+2个状态{Si：i=0，…，N+1}，描述贷款的状态。通过适当的排序，我们可以假设Sdenotes的状态为m=0，Sdenotes为m≥ N、 Sis为forborne状态，对于任意i>=3，状态Si以M=i表示- 因此，Sis是第一个不良状态，对应于M=3第1节中的假设6表示时间一致性假设1和2意味着沙子是吸收状态，因此，它们各自形成了两个经常性的通信类别如果状态集的任何部分T={Si:i=2，…，N+2}形成一个经常性clas，这意味着这个特定投资组合的贷款合同可以优化。我们在第4节中举例说明这一点。因此，我们假设这是传递状态的集合假设3暗示Sis是传递的。事实上，P[Xn=S | Xn-1=S=p，p[Xn=S | Xn-1=S]=q，P[Xn=Si | Xn-1=S]=0，对于i≥ 1，其中满足p+q=1的p和q分别是生存概率和失败概率。我们将转移矩阵A=（p（i，j）=p[X=Sj | X=Si]，因此如下所示：A=1 00 10 . . . 00 . . . 0T秒.此外，对于极限矩阵A∞= 画→∞我们有：A∞=1 00 10 . . . 00 . . . 0吨∞O,其中O是零矩阵。

对于矩阵T∞我们没有∞=p qpq。。。。。。pN编号-1qN-1.,其中，piand qi满足pi+qi=1，分别是贷款延迟1个月后得到纠正或损失的概率。因此，在寻找治愈率时，我们的目标是研究向量（p，…pN）。提案1。在上面定义的符号中，在t=0时逾期i个月的贷款的补救概率可在矩阵文本第一列的第i行中找到∞= （一）- S）-1吨。证据由于S是一个亚随机矩阵，表示传递状态的传递率，我们知道Sn→ O作为n→ ∞. 因此，矩阵I- S、 与I-S iz e N的单位矩阵- 1确实是可逆的。表示初始状态为X=Sitoreach最终状态为Sj，j=0，1的贷款概率。（在上面的符号中，这些是矩阵T的条目，ti0=pi，ti1=qi。）对于某些n | X=Si，我们有tij=P[Xn=Sj]=P[X=Sj | X=Si]+NXk=0P[Xn=Sj对于某些n | X=Sk]P[X=Sk | X=Si]=P（i，j）+NXk=2tkjp（i，k）。也就是说，T∞= T+T∞申塞特∞= （一）- S）-1吨。3生存模型S（x）是初始状态至少逾期x个月的贷款被治愈的概率。对于非预成型状态，i≥ 3，S（x）=P（Xn=sfo对于某些n | x=Si，i≥ x+2）。此函数需要满足以下条件：1。S（0）=12。S（x）=0表示x≥ N3.S（x）不增加。此外，有人预计，失败的几率将随着x的函数而增加，即逾期数月。这部分是由于两个原因。首先，拖延时间越长，经济状况就越糟糕。第二，投资组合经理将加大力度，增加这些贷款的生存机会，因为这些贷款的延期更少，因为它们有更好的机会。

这给了我们一个额外的条件4对数导数（x）dSdx（x）正在减小。通常，马尔可夫链的计算结果不需要满足这些条件。为了平滑结果，我们应用了生存分析工具。（参见例[7]。）生存函数的一个常见选择是最佳拟合威布尔曲线：S（x）=e-（xλ）k，对应于威布尔分布，CDF F（x）=1- S（X）。条件4仅仅意味着危险率是一个递增函数，这意味着曲线的形状参数k满足sk>1。必须通过将该分布的CDF拟合到点（0，1），（1，p），（2，p），…，来选择参数k和λ，（N）- 1，pN-1） ，（N，0）。在此之后，por tfolio的治愈率等于S（3）。4数字示例示例4.1。信用卡投资组合现在可以考虑2007年3月底从一家小银行选择信用卡的投资组合。投资组合的总规模为3289000 E3，包括1185笔贷款。银行管理层假设8个月或8个月以上未偿还的贷款为服务水平t，N=8。

根据上述符号，转换矩阵A为：A=1 00 0 0 0 0 0 0 00 10 0 0 0 0 0 0 00.37 0.63 0 0 0 0 0 0 0 00.39 0.110.1 0.157 0.008 0.015 0.11 0.06 0.02 0.030.37 0.120.02 0.003 0.012 0.045 0.09 0.04 0 0.30.05 0.320.09 0.004 0.107 0.113 0.141 0.102 0.073 00 0.450 0 0 0.19 0.119 0.149 0.012 0.080 0.40 0 0 0.08 0.01 0.31 0 0.20 0.210 0 0 0.05 0.009 0.111 0.41 0.210 0.470.004 0 0 0 0 0.037 0.27 0.219接下来，我们计算矩阵（I- S）-1： 可使用适当选择的小参数δ值将点（δ，p）添加到序列中。（一）-S）-1=1 0 0 0 0 0 0 00.127 1.187 0.018 0.08 0.166 0.179 0.121 0.1480.033 0.004 1.024 0.109 0.127 0.172 0.254 0.5190.114 0.006 0.132 1.221 0.216 0.288 0.254 0.2150.029 0.002 0.032 0.299 1.192 0.348 0.187 0.2740.017 0.001 0.018 0.164 0.048 1.549 0.237 0.4720.018 0.001 0.018 0.162 0.053 0.396 2.016 0.6560.012 0 0.007 0.064 0.021 0.21 0.708 1.529和T∞:T∞=0.37 0.630.52 0.480.398 0.6020.155 0.8450.038 0.9620.021 0.9790.021 0.9790.01 0.99.接下来，我们使用线性回归在十个点上绘制威布尔曲线：（0，1），（0.5，0.37），（1，0.52），（2，0.398），（3，0.155），（4，0.038），（5，0.021），（6，0.021），（7，0.01），（8，0）。结果如表1所示。表1：信用卡组合的威布尔曲线拟合。括号中显示了线性回归的t统计量值*表示达到99%水平的重要性。λk R1.51*1.14*0.96（2.91）（15.03）形状系数k=1.14在99%显著水平下与0不同。k的单边假设≤ 1在95%的水平上被拒绝。预期治愈率的计算asS（3）=11.26%。图1显示了根据生存函数计算的治愈率与原始马尔可夫链结果的比较。示例4.2。

国有企业投资组合对国有企业的选择性企业贷款组合进行了治愈率测试。投资组合包括97笔贷款，总价值为89.28万欧元。所有测量均于2017年3月底进行。单侧Wald检验的p值为0.049.0 2 4 6 8mpdcure\\u比率cr\\u mc图1：威布尔曲线拟合的影响。标记为cr MC的曲线表示马尔可夫链模型的结果；最终结果标记为治愈率。两者都是作为过期月份mpd的函数提取的。过渡矩阵A如下所示：A=1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00.37 0.63 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0.25 0 0.6 0.15 0 0 00 0.45 0 0 0.12 0 0.19 0.15 0.01 0.080 0 0 0.3 0 0.25 0.45 0 0 00 0 0 0.4 0 0.37 0.23 0 0 00 0.4 0 0 0.01 0 0.08 0.31 0 0.20 0.21 0 0 0.01 0 0.05 0.11 0.41 0.210 0.47 0.01 0 0 0 0 0.03 0.27 0.22请注意，状态S、Sand构成一个单独的recurrentcommunication类，而状态Sis不是传递状态。目前的治愈率模型不适用于该投资组合。事实上，我们得出结论，这是一种贷款在这三个州之间循环的模式，从未丢失或修复。5投资组合优化5.1周期性如例4.2所示，可以找到一个重复出现的类别，其中既包含表现良好的状态，也包含表现不佳的状态。这表明，具有这种风险比例的贷款可能会在绩效之间波动。保加利亚的大多数银行都在回避公司投资组合的使用补救率。在没有治愈或消失的情况下，没有n性能。管理层不应试图用治愈率来补救这种情况，而应寻求优化这类贷款的合同。5.2危险率示例4.1显示了危险率如何保持不变。

事实上，这种类型的测试投资组合中有很大一部分显示k与1在统计学上无法区分。这可能仅仅是由于投资组合的肤浅，然而，这可能表明年轻的贷款死得不必要地快。因此，银行管理层有必要考虑合同变更，以便更好地引导客户的行为模式。5.3故障或恢复时间该模型允许计算贷款分期偿还情况得到解决所需的预期时间Liit，即故障或补救。提案2。传递态i，i的时间Lito吸收≥ 2，可通过对相应行（即（i- 1） 矩阵（I）的strow）- S）-1.证明。可以看到，li是s umLi=NXj=2L（i，j），其中L（i，j）是一个状态在状态sj开始初始状态Si中所花费的预期时间。此外，考虑到（I）- S）-1=I+S+S+··一个简单的计算表明，L（I，j）是矩阵的元素，它位于（I）中- 1） strow和（j- 1） ST列。提案2产生了一个用于估计贷款预期不确定期的l。此外，通过计算时间L（3，5）和L（4，5）等，可以以类似的方式开发一个预测潜在不良贷款的预警系统。6结论我建议建立一个马尔可夫链模型，该模型与生存模型一起可用于估计具有同质风险的贷款组合的治愈率。此外，我们还表明，这种技术可以产生以下工具，用于更有效地制作这些投资组合。随后，通过计算2015-2016年期间零售产品线的各种精选子组合的治愈率，对该模型进行了测试。数据来自三家保加利亚小银行。分析得出的治愈率在3-22%之间。