关于等价凸集的鞅和超鞅

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英文标题：
《Martingales and Super-martingales Relative to a Convex Set of Equivalent
  Measures》
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作者：
Nicholas S. Gonchar
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In the paper, the martingales and super-martingales relative to a convex set of equivalent measures are systematically studied. The notion of local regular super-martingale relative to a convex set of equivalent measures is introduced and the necessary and sufficient conditions of the local regularity of it in the discrete case are founded. The description of all local regular super-martingales relative to a convex set of equivalent measures is presented. The notion of the complete set of equivalent measures is introduced. We prove that every bounded in some sense super-martingale relative to the complete set of equivalent measures is local regular. A new definition of the fair price of contingent claim in an incomplete market is given and the formula for the fair price of Standard Option of European type is found. The proved Theorems are the generalization of the famous Doob decomposition for super-martingale onto the case of super-martingales relative to a convex set of equivalent measures.
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中文摘要：
本文系统地研究了与等价测度凸集相关的鞅和超鞅。引入了局部正则超鞅相对于等价测度凸集的概念，建立了离散情形下局部正则超鞅的充要条件。给出了与等价测度凸集相关的所有局部正则超鞅的描述。引入了全套等价测度的概念。证明了在某种意义上相对于等价测度完备集的每个有界超鞅都是局部正则的。给出了不完全市场中未定权益公平价格的新定义，并给出了欧式标准期权公平价格的计算公式。所证明的定理是著名的超鞅Doob分解在超鞅相对于等价测度凸集的情况下的推广。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Martingales_and_Super-martingales_Relative_to_a_Convex_Set_of_Equivalent_Measures.pdf (281.03 KB)

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关键词：Applications Differential Econophysics Quantitative martingales

鞅和超鞅相对于等价测度的对流集Nicholas S.GoncharBogolyubov NAS理论物理研究所，基辅，UkraineEmail：mhonchar@i.uaAbstractIn本文系统地研究了与等价测度凸集相关的鞅和超鞅。引入了相对于等价测度凸集的局部正则超鞅的概念，建立了离散情形下局部正则超鞅的充要条件。给出了所有局部正则超鞅相对于等价测度凸集的描述。引入了等价测度完全集的概念。证明了在某种意义上相对于等价测度完备集的每个有界超鞅都是局部正则的。给出了不完全市场中或有期权公平价格的新定义，并给出了欧式标准期权公平价格的计算公式。所证明的定理是著名的超鞅Doob分解在超鞅相对于等价测度凸集的情形下的推广。关键词随机过程；等价测度凸集；可选Doob分解；局部正则超鞅；鞅；未定权益的公平价格。1、本文介绍了一种研究与等价测度凸集相关的鞅和超鞅的新方法。

给出了由一个非负随机值和一个等价测度凸集生成的正则鞅集上的本质上确界是关于该测度集的超鞅的一个新证明。引入了局部正则超鞅的概念，得到了上述定义的超鞅为局部正则超鞅的充要条件。最后一个事实允许我们描述局部正则超鞅。证明了相对于等价测度凸集的非平凡鞅的存在性，一般来说，不保证非负超鞅是局部正则鞅。引入了等价测度完备凸集的一个重要概念。证明了在具有有限元事件集的可测空间上，相对于等价测度完备凸集的任何超鞅都是局部正则的。将等价测度完备凸集的概念推广到任意基本事件空间。证明了非负上鞅和从下至上鞅的优上鞅是局部正则上鞅。引入了未定权益公允价格的定义。给出了未定权益空中价格存在的充分条件。给出了引入的概念与经典概念重合的条件。所有这些概念都用于这种情况，因为等价测度凸集是风险资产和非风险资产演化的一组等价鞅测度。建立了不完全市场中欧式期权标准合同的公平价格公式。等价测度完备凸集的概念允许我们给出非负超鞅的optionaldecomposition的一个新证明。

这个证明没有使用无套利论证和可测选择[1]、[2]、[3]、[4]。首先，El Karoui N.andQuenez M.C.[5]提出了扩散过程超鞅的可选分解。之后，Kramkov D.O.和Follmer H.[1]，[2]证明了非负有界超鞅的可选分解。Folmer H.和Kabanov Yu。M、 [3]，[4]证明了任意超鞅的类似结果。最近，Bouchard B.和Nutz M【6】考虑了一类离散模型，并证明了可选分解有效性的必要和充分条件。超鞅的可选分解在不完全市场的风险评估中起着基础性作用[1]、[2]、[5]、[7]、[8]、[9]、[10]。本文所考虑的问题是在数学金融中出现的关于超鞅的可选分解的对应关系的推广，它与不完全金融市场中超边缘策略的构造有关。与上述问题不同，我们对该问题的陈述更为一般：给出了与等价测度凸集相关的超鞅，并且有必要在存在可选分解的情况下找到超鞅和测度集的条件。我们对该问题的陈述的一般性在于，我们不要求所考虑的测度集由随机过程生成，该随机过程是一个局部鞅，正如文献[1，4，5，6]中所做的那样，这对于证明这些文献中的可选分解很重要。2、相对于等价测度凸集的Lo ca l正则超鞅。我们假设在可测空间上{Ohm, F}过滤格式 Fm+1 F，m=0，∞, 给出了F上等价测度M的凸集族。

此外，我们假设F={/0，Ohm} σ-代数F=σ(∞Wn=1Fn）是由代数生成的最小σ-代数∞Wn=1Fn。一个随机过程ψ={ψm}∞m=0被认为与过滤{Fm}相关∞m=0如果ψmis是fm可测量的随机值，m=0，∞.定义1。自适应随机过程f={fm}∞m=0被认为是相对于filtrationfm的超鞅，m=0，∞, 如果EP | fm |<∞, m=1，∞, P∈ M、 和不等式ep{fm | Fk}≤ fk，0≤ k≤ m、 m=1，∞, P∈ M、 （1）有效。此外，对于自适应过程f，我们同时使用表示{fm，fm}∞m=0，表示{fm}∞m=0。定义2。一个超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度凸集m是局部正则集如果支持∈MEP | fm |<∞, m=1，∞, 存在一个自适应的非负增长随机过程{gm，Fm}∞m=0，g=0，支持∈MEP | gm |<∞, m=1，∞, 这样{fm+gm，fm}∞m=0是相对于m的每个度量的鞅。下一个基本定理1将在以后非常有用。定理1。设一个超鞅{fm，fm}∞m=0，相对于等价测度m的凸集，应满足∈MEP | fm |<∞, m=1，∞. 它是局部正则过程的充要条件是存在一个适应的非负随机过程{gm，Fm}∞m=0，支持∈MEP | gm |<∞, m=1，∞, 这样的FM-1.- EP{fm | fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、 （2）证明。必然性如果{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅，则存在一个鞅{Mm，Fm}∞m=0和一个非递减非负随机过程{gm，Fm}∞m=0，g=0，这样Fm=(R)Mm- gm，m=1，∞. （3） 从这里我们得到等式ep{fm-1.- fm | fm-1} ==EP{gm- 克-1 | Fm-1} =EP{gm | Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、 （4）我们引入了“gm=gm”的表示- 克-1.≥ 0.很明显，EP'gm≤ 支持∈MEPgm+支持∈MEPgm公司-1< ∞.足够的能力。

假设存在一个适应的非负随机过程'g={gm}∞m=0，g=0，EP？gm<∞, m=1，∞, 使等式（2）保持不变。让我们考虑随机过程{Mm，Fm}∞m=0，其中m=f，(R)Mm=fm+m∑i=1？gm，m=1，∞. （5） 很明显，EP | Mm |<∞ andEP{毫米-1.-毫米调频-1} =EP{fm-1.- fm公司- \'gm | Fm-1} = 0. （6） 证明了定理1。引理1。任意超鞅{fm，fm}∞m=0相对于一系列度量值m，对于这些度量值m，存在等式epfm=f，m=1，∞, P∈ M、 是一个鞅，关于这个测度族和过滤Fm，M=1，∞.证据引理1的证明见[11]。3、关于由有限等价测度集生成的等价测度凸集的局部正则超鞅的描述。下面，我们描述了相对于由有限等价测度集生成的等价测度凸集M的局部正则超鞅。为此，我们需要一些辅助语句。引理2。关于可测空间{Ohm, F}基于过滤Fmon，设G是σ-代数F的子σ-代数，设fs，s∈ S、 是非负有界随机值的有限族。然后对于MEP{maxs中的每个测度P∈Sfs | G}≥ 最大值∈SEP{fs | G}，P∈ M、 （7）证明。我们有不等式Maxs∈Sfs公司≥ 英尺，吨∈ S、 （8）因此，EP{maxs∈Sfs | G}≥ EP{ft | G}，t∈ S、 P∈ M、 （9）最后一个表示EP{maxs∈Sfs | G}≥ 最大值∈SEP{fs | G}，P∈ M、 （10）在下一个引理中，我们给出了与M.引理3中的anothermeasure相关的条件期望的计算公式。关于可测空间{Ohm, F}有过滤fn，设M为等价测度的凸集，ξ为有界随机值。那么下面的公式sep{ξ| Fn}=EPξИPn | Fn, n=1，∞, （11） 有效，式中ДPn=dPdPEP公司dPdP | Fn-1，P，P∈ M、 （12）证明。引理3的证明是显而易见的。设P。

，Pkbe可测空间上的一类等价测度{Ohm, F}并引入等价测度凸集的表示m m=（Q，Q=k∑i=1αiPi，αi≥ 0，i=1，k，k∑i=1αi=1）。（13） 引理4。如果ξ是相对于等价测度集P，…，的可积随机值，Pk，然后是公式化supQ∈MEQ{ξ| Fn}=max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}（14）相对于测度P.Proof几乎处处有效。不可数随机变量族的esssup定义见【13】。使用公式eq{ξ| Fn}=k∑i=1αiEP{Дi | Fn}EPi{ξ| Fn}k∑i=1αiEP{Дi | Fn}，Q∈ M、 （15）式中，Дi=dPidP，Q=k∑i=1αiPi，我们得到不等式eq{ξ| Fn}≤ 最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fn}，Q∈ M、 （16）或ess supQ∈MEQ{ξ| Fn}≤ 最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fn}。（17） 另一方面，EPi{ξ| Fn}≤ ess supQ∈MEQ{ξ| Fn}，i=1，k.（18），因此，max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}≤ ess supQ∈MEQ{ξ| Fn}。（19） 证明了引理4。引理5。关于可测空间{Ohm, F}如果过滤系数为fn，则ξ为非负有界随机值。如果dPidPl，i，l=1，k是可测量的，且P（dPidPl>0）=1，i，l=1，k，则不等式epl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fm}，l=1，k，n>m，（20）是有效的。证据根据引理3和引理5条件，相对于一个测度相对于另一个测度的密度，wehavemax1≤我≤kEPi{ξ| Fn}=EPl{ξ| Fn}，l=1，k.（21）从等式（21）得到不等式EPl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤证明了kEPi{ξ| Fm}，l=1，k.（22）引理5。在这一节中，我们假设引理5相对于一个测度相对于另一个测度的密度的条件为真。引理6。关于可测空间{Ohm, F}如果过滤系数为fn，则ξ为非负随机值，相对于等价测度集P，…，可积分，主键。然后不等式eq{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fm}，n>m，Q∈ M、 （23）有效。证据

用引理5不等式求非负有界ξ和公式eq{Φ| Fm}=k∑i=1αiEP{Дi | Fm}EPi{Φ| Fm}k∑i=1αiEP{Дi | Fm}，Q∈ M、 （24）其中Φ=max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}，νi=dPidP，i=1，k，我们证明了引理6不等式。让我们考虑这种情况，如max1≤我≤kEPiξ<∞. 设ξs，s=1，∞, 是单调收敛于ξ的有界随机值序列。ThenEQ{max1≤我≤kEPi{ξs | Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤kEQ{ξs | Fm}，l=1，k.（25），由于ξstoξ的单调收敛，as s→ ∞, 在证明引理6的不等式（25）中，我们可以在左右两侧的条件期望下达到极限。引理7。关于可测空间{Ohm, F}在过滤fn的情况下，对于相对于一组等价测度{P，…，Pk}的每个非负可积随机值ξ，不等式eq{ess supplier∈MEP{ξ| Fn}| Fm}≤ ess支持∈MEP{ξ| Fm}，Q∈ M、 n>M，（26）有效。引理7是引理6的结果。引理8。关于可测空间{Ohm, F}对于过滤Fmon，设ξ是关于一组等价测度{P，…，Pk}的非负可积随机值，使得epiξ=M，i=1，k，（27），然后随机过程{Mm=ess支持∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于等价测度凸集的鞅m证明。由于引理7，一个随机过程{Mm=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是一个超鞅，即EP{Mm | Fm-1} ≤ 毫米-1，m=1，∞, P∈ M、 （28）或，EPMm≤ M、 从另一侧看，EPs[最大值1≤我≤kEPi{ξ| Fm}]≥ 最大值1≤我≤kEPsEPi{ξ| Fm}≥ M、 s=1，k.（29）上述不等式意味着EPsMm=M，M=1，∞, s=1，k。最后的等式导致等式EPMm=M，M=1，∞, P∈ M、 由于引理1的条件是有效的，因此Mmis是相对于测度集M的超鞅以及上述等式证明了引理8。在下一个定理中，我们表示F=σ(∞Wi=1Fi）由代数生成的最小σ-代数∞Wi=1Fi。定理2。

让{Ohm, F}是一个可测空间，其上有一个过滤函数，且ξ是关于一组等价测度P，…，的非负可积随机值，主键。超鞅{fm，fm}局部正则性的充要条件∞m=0，其中FM=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，m=1，∞, 最大值1≤我≤kEPiξ<∞, （30）是其相对于度量集P的一致可积性，pk和等式的完整性epiξ=f，i=1，k.（31）证明。必要性。设{fm，fm}∞m=0是局部正则超鞅。然后fn=Mn- gn，n=0，∞, g=0，f=EPiMn，i=1，k.（32）从这里我们得到EPign≤ f、 i=1，k。由于fn和gnwe的一致可积性，我们得到了epi（f∞+ g∞) = f、 i=1，k，（33），其中f∞=ξ、 g级∞= 画→∞gn，因为F=σ(∞Wi=1Fi）。但f=最大值1≤我≤kEPiξ=EPiξ。从（33）开始，我们有EPig∞= 最后一个等式为g∞= 0，orEPiξ=EPiξ，i=1，k.（34）效率。如果满足定理2的条件，则{Mm，Fm}∞m=0是一个m artingale，其中“Mm=supP”∈MEP{ξ| Fm}。最后一个意味着{fm，fm}的局部正则性∞m=0。证明了定理2。4、关于等价测度的任意凸集的局部正则超鞅的描述。下面，在本文中，我们假设在可测空间上有一个等价测度M的任意凸集{Ohm, F}和过滤F，则满足以下条件：密度dpdqis为可测量值，P（dPdQ>0）=1，对于所有P，Q∈ M、 其中，固定度量值P∈ M、 这样一类等效度量是足够广泛的。它包含一类由局部鞅生成的等价鞅测度。引入一个关于满足条件Sepξ=1，P的等价测度凸集M的所有可积非负随机值ξ的集合Ao∈ M、 （35）很明显，集合Ais不是空的，因为包含随机值ξ=1。

更有趣的情况是包含一个以上的元素。引理9。关于可测空间{Ohm, F}和过滤fn在此基础上，设M是等价测度的任意凸集。如果非负随机值ξ等于∈MEPξ<∞, 然后{fm=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于等价测度凸集m的asuper鞅。从ess sup的定义[13]开始，对于每个ess sup∈MEP{ξ| Fm}存在一个可数集Dmsuch thaess supP∈MEP{ξ| Fm}=支持∈DmEP{ξ| Fm}，m=0，∞. （36）集合D=∞Sm=0Dmis也是可数的一，且等式supP∈MEP{ξ| Fm}=支持∈DEP{ξ| Fm}（37）为真。真的，sincesupP∈DEP{ξ| Fm}≥ 支持∈DmEP{ξ| Fm}=ess支持∈MEP{ξ| Fm}。（38）从另一侧，ess supP∈MEP{ξ| Fm}≥ 公式{ξ| Fm}，Q∈ M、 （39）最后给出的支持∈MEP{ξ| Fm}≥ 支持∈DEP{ξ| Fm}。（40）不等式（38），（40）证明了所需的陈述。因此，对于所有m，我们可以选择公共集D。设D={P，\'Pn，…}。由于引理7，对于每个Q∈Mk，我们有eq{max1≤我≤kE'Pi{ξ| Fn}| Fm}≤ 最大值1≤我≤kE'Pi{ξ'Fm}，n>m，Q∈\'Mk，（41），其中\'Mk={P∈ M、 P=k∑i=1αi'Pi，αi≥ 0，k∑i=1αi=1}。（42）很明显，max1≤我≤kE'Pi{ξ'Fn}倾向于支持∈DEP{ξ| Fn}单调递增，如k→ ∞. 固定Q∈(R)Mk当k趋于不等式（41）中的统一时，我们得到了∈DEP{ξ| Fn}| Fm}≤ 支持∈DEP{ξ| Fm}，n>m，Q∈Mk.（43）最后的不等式意味着，对于集D上构造的属于凸跨度的每个度量Q，{fm=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于集合D生成的等价测度凸集的超鞅。现在，如果测度Q不属于在集合D上构造的凸跨度，那么我们可以将其添加到集合D中，并重复上面的证明。因此，我们证明了{fm=ess supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0也是相对于测度Q的超鞅。Zorn引理[14]完成了引理9的证明。定理3。