政体下最优资源开采问题的显式解

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英文标题：
《Explicit Solutions for Optimal Resource Extraction Problems under Regime
  Switching L\\\'evy Models》
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作者：
Moustapha Pemy
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies the problem of optimally extracting nonrenewable natural resources. Taking into account the fact that the market values of the main natural resources i.e. oil, natural gas, copper,..., etc, fluctuate randomly following global and seasonal macroeconomic parameters, the prices of natural resources are modeled using Markov switching L\\\'evy processes. We formulate this optimal extraction problem as an infinite-time horizon optimal control problem. We derive closed-form solutions for the value function as well as the optimal extraction policy. Numerical examples are presented to illustrate these results.
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中文摘要：
本文研究了不可再生自然资源的最优开采问题。考虑到石油、天然气、铜等主要自然资源的市场价值，。。。，等，随着全球和季节性宏观经济参数的随机波动，自然资源的价格使用马尔可夫切换L拞evy过程建模。我们将这个最优提取问题描述为一个无限时间范围的最优控制问题。我们推导了值函数的闭式解以及最优提取策略。数值算例说明了这些结果。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Explicit_Solutions_for_Optimal_Resource_Extraction_Problems_under_Regime_Switchi.pdf (434.11 KB)

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关键词：Contribution Quantitative QUANTITATIV Internation Extraction

体制转换下资源最优开采问题的显式解L'evy模型Mustapha Pemy*摘要本文研究了不可再生自然资源的最优开采问题。考虑到石油、天然气、铜等主要自然资源的市场价值，。。。，等，根据全球和季节性宏观经济参数，使用马尔可夫切换L'evy过程对自然资源价格进行建模。我们将此最优提取问题描述为一个有限时间范围内的最优控制问题。我们推导了价值函数的闭式解以及最优提取策略。文中给出了数值例子来说明这些结果。关键词：L'evy过程，最优控制，状态切换，闭式解。1引言自三十年代初以来，不可再生自然资源的最佳开采受到了文献界的极大关注。霍特林（Hotelling）[6]对这个问题做出了第一个重大贡献，他提出了一个开采模型，其中商品价格是确定性的，并且能够得出最优的开采政策。许多经济学家通过考虑战略商品供需的不确定性，扩展了霍特林模型。在许多其他研究中，可以引用Hanson（4，5）、Solow和Wan（18）、Pindyck（16，17）、Sweeney（19）、Lin和Wagner（7）对基本霍特林模型的各种扩展。不言而喻，石油、天然气、铜和黄金等大宗商品的价格具有很大的不确定性，并且随着各种宏观经济和全球地缘政治力量的变化而变化。因此，在解决最优提取问题时，考虑商品价值的随机动态至关重要。在本文中，我们使用制度转换L'evy过程来模拟自然资源价格。

这些过程将帮助我们捕捉到石油和天然气等自然资源市场价格的季节性和峰值。此外，鉴于矿业公司与资源丰富国家之间的绝大多数采矿合同都是长期合同，我们将把这个问题作为一个有限时间范围的最优控制问题来研究。有限时间和有限时间范围内的最优控制问题在文献中产生了很大的兴趣，在科学、工程和金融的许多领域都有各种应用。为了解决这些问题，已经使用了各种各样的技术。众所周知，由于生产国的政治不稳定和全球能源需求不断增长，能源商品等自然资源的价格通常会出现各种高峰和震荡。我们使用L'evy过程和隐马尔可夫链来捕捉商品*数学系的跳跃和季节性，Towson大学，Towson，MD 21252-0001，mpemy@towson.eduprices.文献中也广泛研究了L'evy过程和跳跃扩散。许多作者已经研究了这些过程的最优控制，可以参考Oksendal和Sulem【9】、Hanson【4，5】和Pemy【12，14，15】。粗略地说，状态切换L'evy过程由L'evy过程组成，该过程具有额外的随机性源，即连续时间内的隐马尔可夫过程（α（t））或离散时间内的隐马尔可夫过程（αn）。过程（α（t））是一个有限状态马尔可夫链，它捕获了L'evy过程状态的不同变化。自Hamilton[3]在时间序列分析中引入区域切换模型以来，该模型已在许多领域得到广泛应用。

许多作者已经使用隐马尔可夫链研究了涉及政权切换的系统的控制，可以引用Zhang和Yin【21】、Pemyand Zhang【13】、Pemy【10，11】等。在本文中，我们将寻找提取自然资源的最优策略的问题视为有限时间范围内马尔可夫切换L'evy过程的最优控制问题。本文的主要贡献在于，我们完全求解了相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，在这种情况下，该方程是一个非线性偏积分微分方程组，并推导了值函数的闭合形式表示和最优控制策略。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将阐述正在考虑的问题。第3节，我们求解HJB方程，并推导出值函数和最优提取策略。在第4节中，我们给出了两个数值例子。2问题公式考虑拥有长期采矿租约以开采战略性自然资源的公司。设m为整数m≥ 2和α（t）∈ M={1，2，…，M}是一个马尔可夫链，其生成器Q=（qij）M，M，即qij≥ 0表示i 6=j，∑mj=1qij=0表示i∈ M、 事实上，马尔可夫链（α（t））描述了商品市场的各种状态。设（ηt）t为L'evy过程，N为（ηt）t的泊松随机测度，对于任何Borel集B R、 N（t，B）=X0<s≤tB（ηs- ηs-). N的微分形式用N（dt，dz）表示。设ν为（ηt）t的L'evy测度，对于任何Borel集B，我们有ν（B）=E[N（1，B）] R、 我们将微分形式‘N（dt，dz）定义如下，’N（dt，dz）=N（dt，dz）- ν（dz）dt if | z |<1N（dt，dz）if | z |≥ 1、根据L’evy Khintchine公式，我们得到ZRmin（| z |，1）ν（dz）<∞. （2.1）X（t）表示时间t时一单位自然资源的价格，Y（t）表示时间t时剩余资源的大小。

我们假设矿业公司的开采活动可以通过过程u（t）来建模，该过程取一个封闭且有界的区间u中的值，u（t）实际上是相关资源的开采率。过程X（t）和Y（t）满足以下随机微分方程。dX（t）=[X（t）u（α（t））- λu（t）dt+σ（α（t））X（t）dW（t）+γ（α（t））X（t）ZRz'N（dt，dz），dY（t）=-u（t）dt，X（0）=X，Y（0）=Y≥ 0, 0 ≤ t型≤ ∞.（2.2）其中x和y是初始值，λ∈ [0，1）.W（t）是R上的标准维纳过程，我们假设（W（t））t，（ηt）tand（α（t））tar定义在概率空间上(Ohm, F、 P），并且是独立的。在这个模型中，过程u（t）被称为控制过程。此外，对于每个i∈ M、 假设数量u（i）、σ（i）和γ（i）为已知常数。备注2.1。我们的商品定价模型（2.2）包含了广泛的可能性。下面是我们一般模型的一些特殊情况。1、如果矿山规模不足以影响商品价格，则λ=0。因此，对于商品价格dx（t）=X（t），我们有经典的指数L'evy模型u（α（t））dt+σ（α（t））dW（t）+γ（α（t））ZRz？N（dt，dz）. （2.3）该模型适用于大多数采矿问题以及衍生品定价问题。2、如果矿山规模足够大，或者矿山所在国是相关商品的主要生产国之一，如沙特阿拉伯是石油生产国，则该国的开采政策将对该商品的世界价格产生决定性影响。在这种情况下，我们可以假设价格过程的漂移将取决于提取率。然而，可以预见，即使扩散系数和跳跃系数也会受到萃取率的影响。

在这种情况下，典型的定价模型的形式为dx（t）=（X（t）u（α（t））- λu（t））dt+σ（α（t））X（t）dW（t）+γ（α（t））X（t）ZRz'N（dt，dz），（2.4），其中λ∈ （0，1）捕获提取活动的相对影响。总之，我们将以（2.2）中所述的更广义的形式研究这个有趣的问题。可以证明，对于任何Lebesgue可测控制u（·），方程（2.2）有唯一的解。更多信息，请参阅Oksendal和Sulem（2004）。对于每个初始数据（x，y，i），我们用U（x，y，i）表示可容许控制的集合，它是{Ft}t的所有控制U（·）的集合≥0-其中ft=σ{α（ξ），W（ξ），η（ξ）；ξ≤ t} 方程（2.2）有一个初始数据为X（0）=X，Y（0）=Y，α（0）=i的解。假设C（u，Y）是提取成本函数，我们假设该函数取决于剩余储量Y（t）的大小以及提取率u（t）。给定贴现因子r>0，标准提取成本函数C（u，y）应在u中增加，特别是我们假设C（u，y）是u的二次函数和y的线性函数。假设y（0）=M是初始储备的大小，在不损失一般性的情况下，我们将假设成本函数C（u，y）由C（u，y）=βu+θu+rθy+K，β>0，θ>0，K给出≥ 0。（2.5）我们将支付函数定义为以下j（x，y，i；u）=EZ∞e-r（t）X（t）u（t）- C（u（t），Y（t））dt公司X（0）=X，Y（0）=Y，α（0）=i. （2.6）我们的目标是找到控制u*∈ U（x，y，i）使得v（x，y，i）=supu∈UJ（x，y，i；u）=J（x，y，i；u*).

（2.7）函数V（x，y，i）称为最优控制问题的值函数。过程（X（t），Y（t），α（t））是一个带有生成器Lw的马尔可夫过程，定义如下（Lwf）（X，Y，k）=σ（k）Xf（x，y，k）x+（xu（k）- λw）f（x，y，k）x+ZRf（x+γ（k）xz，y，k）-f（x，y，k）- 1{| z{1}（z）f（x，y，k）x·γ（k）xzν（dz）-wf（x，y，k）y+Qf（x，y，·）（k），（2.8）表示所有x∈ R、 y型∈ R+，w∈ U、 k级∈ M、 f（·，·，k）∈ C2,1（R×R+），qf（x，y，·）（i）=Xj6=iqij（f（x，y，j）- f（x，y，i）），（2.9）马尔可夫链（αt）t的生成器。为了简化表示法，我们将运算符H定义为followsh（x，y，i，V（·），Vx（·），Vy（·），Vxx（·））=rV（x，y，i）- supu公司∈U（LuV）（x，y，i）+（xu- C（u，y））！。（2.10）众所周知，值函数V（x，y，i）必须形式上满足以下HJB方程H（x，y，i，V（x，y，i），Vx（x，y，i），Vy（x，y，i），Vxx（x，y，i））=0，对于（x，y，i）∈ R×R+×M.（2.11）方程（2.11）是一个完全非线性的积分微分方程组。3闭式解在本节中，我们证明了最优提取策略实际上是一种反馈策略。利用运行成本函数是控制变量的二次函数这一事实，我们寻求也是状态变量二次函数的非线性积分微分方程的解。我们有以下定理。定理3.1。最优提取策略是U给出的反馈策略*（s，i）=β- λA（i）X（s），s∈ [0, ∞), 我∈ {1，…，m}，（3.1），值函数由v（x，y，i）=A（i）x给出- θy-Kr，（3.2），其中A（i），i=1。。。，m、 下列方程组的解-rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+A（i）ZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）+Xj6=iqij（A（i）- A（j））+β- λA（i）= 0，i=1。。。，m、 （3.3）证明。

我们将寻求（2.11）的解，其形式为v（s，x，y，i）=a（i）x+B（i）y+C（i），（3.4），其中每个i=1。。。，m、 A（i）、B（i）、C（i）是实常数。使用V（x，y，i）必须满足方程0=supu的事实∈Uσ（i）xV（x，y，i）x个- rV（x，y，i）+（xu（i）- λu）V（x，y，i）x+ZRV（x+γ（i）xz，y，i）-V（x，y，i）- 1{| z{1}（z）V（x，y，i）x·γ（i）xzν（dz）-uV（x，y，i）y+QV（x，y，·）（i）+（xu- C（u，y））！。因此，我们有0=supu∈Uσ（i）x2A（i）+（xu（i）- λu）2A（i）x- rA（i）x- rB（i）y- rC（一）-uB（i）+ZRA（i）（x+γ（i）xz）- A（i）x- 1{z{1}（z）2A（i）xγ（i）zν（dz）+Xj6=iqij[（A（j）- A（i））x+（B（j）- B（i））y+（C（j）- C（i））]+（xu- βu- θu- rθy- K） ！。（3.5）在这种情况下，优化的必要条件是-2λA（i）x- B（i）+x- θ - 2uβ=0，u*=2β- 2λA（i）x+x- （θ+B（i））. （3.6）We set，B（i）=-θ、 对于所有i=1。。。，m、 （3.7）因此，我们应该有C（i）=-Kr，对于所有i=1。。。，m、 （3.8）因此（3.5）中的最佳值应在u*=2β1.- 2λA（i）x、 因此，我们应该有0=-rA（i）x+σ（i）xA（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）x+ZRA（i）x（1+γ（i）z）- A（i）x- 1{z{1}（z）2A（i）xγ（i）zν（dz）+Xj6=iqij（A（j）- A（i））x+2β1.- 2λA（i）x个- β4β1.- 2λA（i）x0=-rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+A（i）ZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+β1.- 2λA（i）+λA（i）0 = -rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+A（i）ZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+β- λA（i）, i=1。。。，m、 （3.9）很明显，方程（3.9）与变量x无关。事实上，我们有一个由m个非线性方程组成的系统。需要对该系统进行求解，以得出值A（i），i=1。。。m、 这就结束了对这个结果的证明。tu3.1最佳提取策略当L'evy过程具有有限的活性在本小节中，我们研究了L'evy度量具有更精确的有限强度的情况，跳跃大小遵循指数分布。

我们假设L'evy测度的形式为ν（dz）=ηe-ηzdz z≥ 00 z<0。在这种特殊情况下，（3.3）变为0=-rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+A（i）ηZ∞（2γ（i）z+γ（i）z）e-ηzdz- 2γ（i）A（i）ηZze-ηzdz+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+β- λA（i）- λA（i）= -rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+2γ（i）A（i）1.-1.- （1+η）e-ηη+γ（i）η+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+β- λA（i）0=λβA（i）+A（i）- r+σ（i）+2u（i）-λβ-Xj6=iqij+2γ（i）γ（i）+（1+η）ηe-ηη!+Xj6=iqijA（j）+4β，i=1。。。，m、 （3.10）很明显，（3.10）是一个可以以闭合形式求解的二次方程组。我们有以下推论。推论3.2。当L'evy测度是形式为ν（dz）=ηe的指数时-ηzdz，z>0值函数定义如下v（x，y，i）=A（i）x- θy-Kr，其中常数A（i）求解以下二次方程组λβA（i）+A（i）- r+σ（i）+2u（i）-λβ-Xj6=iqij+2γ（i）γ（i）+（1+η）ηe-ηη!+Xj6=iqijA（j）+4β=0，i=1。。。，m、 （3.11）3.2当L'evy过程具有特定活动时的最佳提取策略经验证据表明，当通过L'evy模型建模商品价格时，L'evy度量在大多数情况下具有特定的强度。有关这一观察结果的更多信息，请参阅[1]。因此，我们必须涵盖问题的这一方面，并且仍然表明我们的最优提取策略可以以封闭形式导出。在这方面，我们假设L'evy测度的形式为ν（dz）=e-|z | | z | dz z 6=00 z=0。（3.12）很明显，（3.12）中定义的列维度量满足条件（2.1）。

从（3.3）中，我们将得到0=-rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+A（i）ZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）ze-|z | zdz+Xj6=iqij（A（i）- A（j））+β- λA（i）,= -rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+A（i）ZR2γ（i）z+γ（i）zze-|z | dz- A（i）Z-12γ（i）ze-|z | zdz+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+β- λA（i）,= -rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+A（i）Z-12γ（i）zze-|z | dz- A（i）Z-12γ（i）ze-|z | zdz+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+β- λA（i）+ 2A（i）Z∞γ（i）zze-|z | dz=-rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+β- λA（i）+ 2A（i）Z∞γ（i）e-zdz=-rA（i）+σ（i）A（i）+u（i）-λβ- λA（i）2A（i）+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+β- λA（i）+ 2A（i）γ（i）e=λβA（i）+A（i）- r+σ（i）+2u（i）-λβ-Xj6=iqij+2γ（i）+Xj6=iqijA（j）+4β，i=1。。。，m、 因此，当跳跃活动不确定且L'evy测度定义为asin（3.12）时，我们有以下推论，澄清了定理3.1中给出的值函数和最优提取率的表达式。推论3.3。当L'evy度量的形式为ν（dz）=e时-|z | | z | dz，对于z 6=0，定理3.1中定义的值函数和最佳提取率为常数A（i），i=1。。。，m、 求解下列二次方程组λβA（i）+A（i）- r+σ（i）+2u（i）-λβ-Xj6=iqij+2γ（i）+Xj6=iqijA（j）+4β=0，i=1。。。，m、 （3.13）4数值示例4.1示例1：具有有限活性的模型在该示例中，我们给出了已知储量为Y（0）=m=100亿桶的油田的最佳开采量。我们假设石油市场有两个主要的走势：上升趋势和下降趋势。