交换期权定价中执行约定的最优选择

ATM错误和边界/e排除高| a|)除了我们早期的参数集，非常短的到期时间T=0.05，我们还对研究largerT方法的性能感兴趣。向下移动表1，更长期限的结果显示，即使没有（或排除）更棘手的高| a|, 我们的方法继续保持良好的表现，始终大大超过明a=0，并且经常显著超出a=1，尤其是对于高r |ρ|。有趣的是我们发现，该方法对于大T（甚至T=1）保持了竞争优势。在所有情况下，当T增加时，总体MAE水平都较高，但增加的原因是无排除（无正常情况）a/∈ [-1，2]不包括ρa=0 a=1 a有界ATM a=0 a=1 aATMMAE 0.0982 0.0502 0.022 0.0177 0.01 0.0949 0.0453 0.013 0.01MAPE 4.23%2.76%1.78%1.48%0.14%3.18%1.89%0.62%0.15%RMSE 0.1288 0.0649 0.038 0.0248 0.0121 0.1235 0.058 8 0.016 0.0122MaxAE 0.3616 0.1768 0.2338 0.1041 0.0.245 0.3445 0.1563 0.0408 0.0244MStd 0.1137 0.0567 0.0169 0.0149 n/a 0.1098 0.051 0.0098 n/aMAE 0.1908 0.1029 0.0586 0.0512 0.0381 0.1806 0.0908 0.04 0.0381 MAPE 3.99%2.77%1.93%1.73%0.36%2.53%1.51%0.63%0.37%RMSE 0.2499 0.1307 0.0897 0.0688 0.0 459 0.2356 0.1154 0.0481 0.0455MaxAE 0.7359 0.3678 0.4695 0.274 0.0914 0.689 0.3145 0.1 19 0.0881 mstd 0.2188 0.1067 0.0365 0.0336 n/a 0.2078 0.0928 0.0205 n/a表2：所有结果的比较对于五种不同的误差度量，所有点均包括（左）且不包括< -1，a> 2例（右）。结果显示所有T=0。05个方案（顶部），所有T=0.25个方案s（底部）。价格上涨和ATM错误增加，而ATM错误几乎为零。

由于较大的T显然意味着较大的期权价格，因此这里也可以考虑MAPE。图2显示了所有情况下的平均图（包括ρ的10个值）这次被T分割。从百分比来看，ATM错误g与T稳步增长，但所有罢工惯例的错误实际上都在下降。我们的罢工大会a与a=1相比，在到期日保持0.5%-1.0%的优势，而有界版本略微改善了这一点。此外，如果我们排除更具挑战性的网格点/∈ [-1，2]，该图显示MAPE显著下降，非常接近ATM错误，尤其是对于大r T。我们更关注上述MAE，主要是因为图1中的观察结果表明，相对误差表明ITM和OTM之间存在明显的不对称性，这可能会在不同情况下区分罢工惯例的比较。然而，表2说明了在T=0.1和T=0.25的所有场景中求平均值时，我们的1-STOSC方法如何与其他约定方法进行比较。表的左半部分包括（如表1所示），而右半部分仅排除了< -1个ora> 2，如图2所示。第四列还显示了“有界”a的中间地带在此范围内，而不是排除这些网格点。在整个表中，最优罢工惯例的执行情况非常明显，注意，当从平均误差中排除这些更极端的情况时，a=0、a=1和ATM列也会发生轻微变化（通常会稍微改善）。同样，根据所使用的误差度量，边界可以将与ATM错误的差距缩小一半，而排除可能会给我们带来几乎所有的好处。

然而，特别重要的是已经提供了相对于ATM隐含VOL（a=0）等常用选项的误差，通常减少约3或4.80 90 100 110 1200.050.10.150.2平均绝对误差（MAE）80 90 100 120平均绝对误差。百分比误差（MAPE）a=0a=1最佳a80 90 100 110 1200.050.10.150.2根均方误差（RMSE）80 90 100 110 1200.050.10.150.2最大绝对误差（最大AE）图3：使用四种不同的误差测量，对所有T=0.1情况下的平均误差与货币性进行比较最后，在结束之前，我们返回到货币性一致性问题，该方法的一个关键优势是，令人印象深刻的表格最后一行“MStd”（最大标准偏差）很好地体现了这一点，但在图3中也很引人注目。在这里，我们绘制了所有T=0.1网格上的货币平均误差（与Syreach相比）。为了支持早期研究中得出的理论，货币误差的稳定性非常显著，尤其是与常用的替代值a=0或a=1相比。事实上，据我们所知，没有任何其他方法可以将打击公约应用于不同的场景，以实现如此明显的切割误差减少。6结论在随机波动率模型的背景下，我们提出了一种新的系统方法来构建差价期权定价的最优执行约定。尽管其推导过程相当技术化，但该方法使用简单，并且基于相应的香草隐含可用性级别和偏差的计算。因此，可以将市场观测值作为独立于模型的设置中的输入，从而增强该技术的吸引力。第5节中获得的数值结果证实了其强大的性能，尤其是与行业中常用的有限替代品相比。

在这个方向上还有更有趣的工作要做，例如将fro mexchange期权扩展到任何价差期权或三个资产价差。数据分析和进一步的数值研究也很有用，包括适应更随机的波动过程，如分数模型。因此，我们将本文视为一个广泛适用且有价值的新定价工具的起点，该工具旨在很好地补充金融市场中的现有实践。参考文献【1】C.Alexander a和a.Venkatramanan（2011年）。排列选项的闭合形式近似值。应用数学金融，18（5），4 47-472。[2] Al\'os，E.，Ewald，C.（2008年）。赫斯顿波动率的差异性及其在期权定价中的应用。应用概率的进展，40（1），144-162。[3] E。Al\'os，J.A.Le\'on（2016年）。随机行使期权隐含效用偏差的短期成熟度行为及其在期权定价近似中的应用。《定量金融》，16（1）31-42。[4] E。Al\'os、J.A.Le\'on和J.Vives。(2007). 关于随机波动率跳变扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11.4571-589。[5] E lisa Al\'os和T horsten Rheinl¨ander（2015）。随机波动率模型中的Margrabe期权。万国邮联工作文件1475。[6] Antonelli，F.、A.Ramponi和S.Scarlati。(2010). 交换期权pricingunder随机波动率：相关展开。导数研究综述，13.1，45-73。[7] Bakshi，G.和Madan，D.，《跨越和衍生证券估值》（2000年）。《金融经济学杂志》，55，205-2 38。[8] Borovkova，S.、F.Permana和H.van der Weide。(2007). 一篮子和差价期权的估值和套期保值的封闭式地图方法《衍生工具杂志》，14（4），8-24。[9] Ca rmona，R.和Durrleman，V.（200 3）。

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