非线性市场中博弈期权的无套利定价

如果等式f，h（x）=最大Kf，h（x）满足（即，如果pf，h（x）∈ Kf，h（x）），然后pf，h（x）表示为BPF，h（x），称为套期保值者对Cg的最大公平价格。假设2.1。财富的正向单调性意味着对于所有x，p∈ R、 ^1∈ψ（x+p，A）和p′>p（p′<p），存在交易策略Д′∈ ψ（x+p′，A）如Vt（x+p′，Д′）≥ Vt（x+p，Д）（分别为Vt（x+p′，Д′）≤ Vt（x+p，Д））每t∈ [0，T]。在财富正向单调性的假设下，我们得到了公平价格集的区间结构。引理2。假设2.1满足，如果p∈ Kf，h（x）那么对于任何p′＜p的，我们都有p′∈ Kf，h（x）。因此，如果Kf，h（x）6=, 那么Kf，h（x）=(-∞,pf，h]=(-∞, bpf，h]orKf，h（x）=(-∞, pf，h）。证据我们用矛盾来争论。如果Kf，h（x）=, thenpf，h=-∞. 现在让我们考虑一下Kf，h（x）6=. 假设p∈ Kf，h（x）和一个数p′，使得p′<p不是安希杰的公平价格。那么就有了Д′∈ ψ（x+p′，A），使得（p′，Д′，τ）满足（AO）对于每个τ∈ T因此，根据假设2.1，存在∈ ψ（x+p，A），使得（p，Д，τ）满足每个τ的（AO）∈ T这显然与t p属于Kf、h（x）的假设相矛盾，因此我们得出结论，断言的属性是有效的。2.2套期保值者的追加成本下一步，我们将分析套期保值者在博弈合约中的追加成本。定义2.6。

套期保值者严格超边际成本的下界等于pa，h（x）=pa，h（x，Xh，Xc，Xb）：=inf Ka，h（x），其中Ka，h（x）：=p∈ R | (φ, σ) ∈ ψ（x+p，A）×T：（p，Д，σ）∈ （AO）.如果等式pa，h（x）：=min Ka，h（x）成立，则pa，h（x）表示为pa，h（x）a，并称为对冲者对Cg的最小严格超边际成本。为了简洁起见，在处理套期保值者的估值问题时，变量（x，Xh，Xc，Xb）或x将经常被抑制，因此我们将用pa，hin代替pa，h（x，Xh，Xc，Xb）或h（x）等。请注意，Ka，h（x）是Kf，h（x）的补码，因此Kf，h（x）=(-∞, bpf，h]和Ka，h（x）=（pa，h，∞) （2） orKf，h（x）=(-∞,pf，h）和Ka，h（x）=[pa，h，∞). （3） 6 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义2.7。套期保值者超边缘cos ts equalsps的下界，h（x）=ps，h（x，Xh，Xc，Xb）：=inf Ks，h（x），其中Ks，h（x）：=p∈ R | (φ, σ) ∈ ψ（x+p，A）×T：（p，Д，σ）∈ （上海）.如果等式ps，h（x）：=最小Ks，h（x）成立，则ps，h（x）表示为ps，h（x），并称为套期保值者对Cg的最小超边际成本。自Ka起，h（x） Ks，h（x），我们总是有ps，h≤ pa，hbut，原则上，它可能发生在tps，h<pa，h=pf，h。为了避免这种尴尬的情况，我们引入假设2.2，它确保ps，h=pa，hand，因此也是ps，h=pf，h。假设2.2。财富的严格正向单调性意味着对于所有x，p∈R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和p′>p（分别为p′<p），存在一个交易策略ν′∈ ψ（x+p′，A），使得每t∈ [0，T]。显然，财富的严格前向单调性假设2.2比财富的前向单调性假设2.1强，因此前者包含后者。引理2.2。如果满足假设2.2，则证明PF、h=ps、h=pa、h。首先假设Ks，h（x）6= 所以ps，h<∞.

由于假设2.2成立，很明显，对于任何p∈ Ks，h（x）和任意ε>0，存在一个策略ν′∈ ψ（x+p+ε，A），使得条件（AO）由对（p+ε，Д′）满足。这意味着p+ε长于toKa，h（x）a，因此p+ε≥ p的任意性∈ Ks，h（x）a和ε>0，我们得到了中等质量的ps，h≥ pa，h.自ps，h起≤ 很明显，ps，h=pa，h。同时使用（2）和（3），特别是ka，h（x）是Kf，h（x）的补码，我们得到了等式pf，h=pa，hand，因此我们得出了pf，h=ps，h=pa，h。现在我们假设Ks，h（x）=. 然后ps，h=pa，h=∞ 因为kf，h（x）是Ka，h（x）的补码，我们看到pf，h=∞ 也2.3 Hedger的复制成本下一步是引入复制成本的概念。设（p，Д，σ）为套期保值者的超边缘策略，使其在σ上收支平衡∧ τ当行使时间τ由其交易对手巧合地选择时。然后我们说（p，Д，σ）是套期保值者对游戏合约的复制策略。定义2.8。CGI套期保值者复制成本的下界由等式R给出，h（x）=pr，h（x，Xh，Xc，Xb）：=inf Kr，h（x），其中Kr，h（x）：=p∈ R | (φ, σ, τ) ∈ ψ（x+p，A）×T×T：（p，Д，σ）∈ （SH）&（p，Д，σ，τ）∈ （BE）.如果等式pr，h（x）：=min Kr，h（x）成立，则pr，h（x）表示为pr，h（x），并称为Cg的Hedger最小复制成本。定义2.9。

CGI套期保值者公平复制成本的下界由等式F，r，h（x）=pf，r，h（x，Xh，Xc，Xb）：=inf Kf，r，h（x），其中Kf，r，h（x）：=p∈ R | (φ, σ, τ) ∈ ψ（x+p，A）×T×T：（p，Д，σ）∈ （SH）&（p，Д，σ，τ）∈ （BE）； (φ′, σ′) ∈ ψ（x+p，A）×T， τ′∈ T：（p，Д′，σ′，τ′）∈ （不适用）.如果pf，r，h（x）：=最小Kf，r，h（x），则pf，r，h（x）表示为pf，r，h（x），并表示Cg的套期保值者的最小公平复制成本。博弈期权的非线性定价7显而易见，Ks，h（x） Kr，h（x） Kf，r，h（x）=Kf，h（x）∩ Kr，h（x），因此ps，h≤pr，h≤ pf，r，h引理2.3。假设2.2满足：（i）如果Kf，r，h（x）6=, 然后-∞ < bpf，h=pr，h=pf，r，h=ps，h<+∞.（ii）如果Kr，h（x）6=, thenpf，h=ps，h≤ pr，h<∞.（iii）如果Kr，h（x）=, thenpf，h=ps，h≤ pr，h=∞.证据我们首先证明第（i）部分。很明显，它足够显示pf、r、h≤ ps，h。为此，我们注意到Kf，r，h（x） Kf，h（x）。因为Kf，r，h（x）6=, 因此，pf、r、h<+∞ andpf、r、h≤ 因此，等式pf，h=pr，h=pf，r，h=ps，hare有效。此外，从夹杂物Kf，r，h（x） Kf，h（x）和等式sup Kf，h（x）=pf，h=pf，r，h=inf Kf，r，h（x），我们推导出对于任意y p，p∈ Kf、r、h（x）和p∈ Kf，h（x）我们有p=p≥ p、 这意味着Kf，r，h（x）是单元素，其唯一元素不小于Kf，h（x）的任何元素。因此，bpf、handpf、r、hare定义良好并满足-∞ < bpf，h=pf，r，h<+∞.此外，Kf，r，h（x） Kr，h（x）和等式pf，r，h=pr，himplies，thepr，his well defined and is equal topf，r，h。我们得出结论，bpf，h=pr，h=pf，r，h=ps，h。这特别意味着Kf，h（x）=(-∞, bpf，h]=(-∞, pr，h]=(-∞, pf，r，h]。声明（ii）和（iii）是L emma 2.2的明显后果。2.4套期保值者的可接受价格此后，我们将在交易策略的（向后）比较属性的以下情况下工作。假设2.3。

交易策略的比较性质意味着对于所有τ∈T，x，p，p′∈ R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和Д′∈ ψ（x+p′，A），如果不等式Vτ（x+p′，Д′）≥ Vτ（x+p，ν）保持不变，然后是p′≥ p、 在假设2.3下，对于某些G-适应过程X和给定的停止时间θ∈ 它们存在一对（x，ν）∈ R×ψ（x，A）满足Vθ（x，ν）=xθ，那么x是唯一的，用eh（xθ）表示。我们设置Xlt：=Vbt（x）- Xct，Xut：=Vbt（x）- Xhtand Xmt：=Vbt（x）- xbt每t∈ [0，T]表示j（x，Xl，Xu，Xm，σ，τ）：=Vbσ∧τ（x）- I（σ，τ）=Xlτ{τ<σ}+Xuσ{σ<τ}+Xmσ{τ=σ}。（4） 套期保值者的相对报酬J（x，Xl，Xu，Xm，σ，τ）从此将被表示为Jh（σ，τ）。注意，第2节tha t Xl中没有假设≤ Xm公司≤ Xu，尽管我们需要在稍后使用第3节中的BSDE a方法研究来解决套期保值者的估价pr问题时做出这一假设。以下假设用于确保所有停车时间σ，τ的数量Eh（Jh（σ，τ））得到很好的定义∈ T假设2.4。我们假设这个过程对于套期保值者是可复制的，在这个意义上，对于给定的x∈ R和每个σ，τ∈ T存在一对（p，ν）∈ R×ψ（x+p，A）使得vσ∧τ（x+p，ν）=Jh（σ，τ）。下面的引理很明显，因此省略了它的证明。引理2.4。如果满足假设2.3和2.4，则套期保值者的非线性评估（σ，τ）7→ Eh（Jh（σ，τ））对于所有σ，τ都有很好的定义∈ 并且是唯一的。定义2.10。我们说一个三重态（vh（x），σ*,h、 τ*,h）∈ R×T×T解决了hedger的最优复制问题：R Cgif vh（x）=Eh（Jh（σ*,h、 τ*,h） （）- X其中停止时间σ*,手τ*,应确保EH（Jh（σ*,h、 τ*,h） ）=最小σ∈Tmaxτ∈TEh（Jh（σ，τ））。（5） 8 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski假设2.5。

CG的hedger最优复制问题有一个解（vh（x），σ*,h、 τ*,h） 。此外，对于p*,h=vh（x）存在交易策略*∈ ψ（x+p*,h、 A）使Triplet（p*,h、 ^1*, σ*,h） 满足条件（SH）和四胞胎（p*,h、 ^1*, σ*,h、 τ*,h） 符合条件（BE），因此集合Kr，h（x）为非空。备注2。请注意，套期保值者的最优应用程序表m并不取决于与Ehand Jh相关的非线性Dynkin对策鞍点的存在性。更具体地说，我们不假设相应的非线性Dynkin博弈有值，即infσ∈Tsupτ∈TEh（Jh（σ，τ））=supτ∈Tinfσ∈TEh（Jh（σ，τ））。引理2.5。如果满足假设2.3–2.5，则ps，h（x）≥ vh（x）。证据当Ks，h（x）= sinc e然后ps，h（x）=∞. 因此p属于toKs，h（x）6=. 然后存在一对（Д，σ）∈ ψ（x+p，A）×T，使（p，Д，σ）满足（SH），使Vσ∧t（x+p，ν）≥ 所有t的Jh（σ，t）∈ [0，T]。因此，对于所有τ∈ T，我们有vσ∧τ（x+p，ν）≥ Jh（σ，τ），并且由于假设2.3，这意味着对于所有τ∈ T，我们有x+p≥ Eh（Jh（σ，τ））。现在很容易看到X+p≥ supτ∈TEh（Jh（σ，τ））≥ infσ∈Tsupτ∈TEh（Jh（σ，τ））。利用方程（5）和假设2.5，我们得出以下结论：≥ vh（x）。自p起∈ Ks，h（x）是任意的，这产生了期望的不等式。引理2.6。如果满足假设2.2–2.5，则PF，h（x）≤ vh（x）。证据我们用矛盾来争论。假设pf，h（x）>vh（x）。根据假设2.5，fo rp*,h=vh（x）存在交易策略*∈ ψ（x+p*,h、 A）使Vσ*,h类∧τ*,h（x+p*,h、 ^1*) =J（σ*,h、 τ*,h） 和三重t（p*,h、 ^1*, σ*,h） 满意度（SH）。因此，根据假设2.2，对于任何p′>vh（x），都存在ν′∈ ψ（x+p′，A），使得（p′，Д′，σ*,h） 是对冲者严格的对冲策略。

这与pf，h（x，Xc，Xh，Xb）>vh（x）的假设相矛盾，因为我们已经证明，如果p属于区间（vh（x），pf，h（x）），那么p′∈ Kf，h（x）∩ Ka，h（x）=（回想一下，Ka，h（x）是Kf，h（x）的补码）。下一个假设明显强于假设2.3，对于确保套期保值者最优复制问题的解决方案vh（x）产生套期保值者的最大公平价格bpf h（x）至关重要。假设2.6。对于所有τ∈ T，x，p，p′∈ R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和Д′∈ ψ（x+p′，A），如果不等式vτ（x+p′，ν′）≥ Vτ（x+p，ν）保持不变，然后是p′≥ p、 此外，如果Vτ（x+p′，Д′）6=Vτ（x+p，Д），则p′>p。下一个结果表明，在假设2.2和2.4–2.6下，套期保值者的最大公平价格与套期保值者在定义2.10中引入的最优复制问题的解vh（x）一致。观察tha tEh（Jh（σ，τ））是有用的- x个=p∈ R | φ ∈ ψ（x+p，A）：Vσ∧τ（x+p，ν）=Jh（σ，τ）, （6） 其中，根据假设2.6，右侧的集合只有一个元素。定理2.1。假设2.2和2.4–2.6有效。如果p∈ Ka，h（x），然后不等式p>vh（x）成立，因此bpf，h（x）=vh（x）。此外，Kf，r，h（x）6= andvh（x）=bpf，h（x）=pf，r，h（x）=ps，h（x）。（7） 停车时间τ*,his a套期保值者三连胜的盈亏平衡时间（pf，r，h（x），Дf，r，h，σ*,h） 式中，编码策略Д=Дf，r，his由方程（6）隐式给出，其中（p，σ，τ）=（pf，r，h（x），σ*,h、 τ*,h） 。更明确地说，交易策略Дf，r，hbelongs toψ（x+pf，r，h（x），a），并且vσ*,h类∧τ*,h类x+pf，r，h（x），Дf，r，h= Jh公司σ*,h、 τ*,h类.博弈期权的非线性定价9Proof。我们表示（注意假设2.3，以下等式的右侧为单数n）pr，h（x，σ，τ*,h） :=p∈ R | φ ∈ ψ（x+p，A）：（p，Д，σ，τ*,h）∈ （BE）. （8） 设p b e是Ka，h（x）的任意数。

然后存在一对（Д，σ）∈ ψ（x+p，A）×T，因此对于每个τ∈ T我们有Vσ∧τ（x+p，ν）≥ Jh（σ，τ）和PVσ∧τ（x+p，ν）>Jh（σ，τ）> 因此，我们得到τ=τ*,hVσ∧τ*,h（x+p，Д）≥ Jh（σ，τ*,h） ，PVσ∧τ*,h（x+p，ν）>Jh（σ，τ*,h）> 从方程（8）和假设2.6中，我们得到v（x+p，ν）=x+p>x+pr，h（x，σ，τ*,h） 但是，考虑到假设2.5，我们还可以得到x+vh（x）=Eh（Jh（σ*,h、 τ*,h） （）≤ Eh（Jh（σ，τ*,h） ）=x+pr，h（x，σ，τ*,h） 因此p>vh（x）。根据方程（2）和引理2.6，我们推导出vh（x）=bpf，h（x）。此外，考虑到第2.5节，我们还有vh（x）∈ Kf，r，h（x），因此Kf，r，h（x）6=.因此，建立h（7）需要利用引理2.3。声明的最后一部分是定义2.2和2.10的间接后果。以下定义取决于定理2.1。定义2。如果集合Kf，r，h（x）是一个单态，则其唯一元素表示为ph（x），并称为套期保值者对Cg的可接受价格。备注2.2。从定理2.1和引理2.3的证明中，我们知道，在假设2.2和2.4–2.6下，套期保值者对CGI的可接受价格定义良好。2.5计算一方的可接受价格由于同一合同的对称特性，为了解决交易对手的定价问题，需要对第2.4节的结果报表进行适当修改。请特别注意，套期保值者收到的是初始价格p，当然，如果p为非负，他认为交易对手支付的是提供的价格。更正式地说，在套期保值者的初始捐赠中加上一个数字p，但从交易对手的初始捐赠中减去。因此，交易对手寻求最大的超边际和复制成本以及最低公平价格，分别表示为bps、c（x）、bpr、c（x）和pf、c（x）。定义2.12。

四重态（p，ψ，σ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×T×T表示满足（AO′）<==> Vσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）≥ Vbσ∧τ（x）和PVσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）>Vbσ∧τ（x）> 0，（SH′）<==> Vσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）≥ Vbσ∧τ（x），（BE′）<==> Vσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）=Vbσ∧τ（x），（NA′）<==> Vσ之一∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）=Vbσ∧τ（x）或PVσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）<Vbσ∧τ（x）> 0.当然，第2.1-2.4节中为套期保值者制定和确立的所有其他定义和结果对于交易对手都有类似（尽管不完全相同）的版本。由于无需在此处预先发送所有信息，我们仅陈述以下重要定义。定义2.13。如果条件（BE′）满足（p，ψ，σ，τ），则停止时间σ∈ T为交易对手的盈亏平衡时间（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） 。10 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义2.14。我们说一个三重态（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） 如果不等式Vτ∧t（x- p、 ψ）- I（τ，t）≥ Vbτ∧t（x）适用于所有t∈ [0，T]。在这种情况下，交易对手t（p，ψ，τ）在扩张市场Mp（Cg）中被称为交易对手的超边缘策略。我们将确定交易对手的最大公平复制成本（表示为bpf、r、c（x））已明确定义的条件，并与定义2.15给出的国家最佳复制问题的解决方案一致。可以方便地为每个t定义xut：=Xct+Vbt（x），xlt：=Xht+Vbt（x）和xmt：=Xbt+Vbt（x∈ [0，T]表示ej（x，xl，xu，xm，σ，τ）：=I（σ，τ）+Vbσ∧τ（x）=J（x，xu，xl，xm，σ，τ）=xlσ{σ<τ}+xuτ{τ<σ}+xmσ{τ=σ}。（9） 为简洁起见，交易对手的相对报酬j（x，xl，xu，xm，σ，τ）也表示为Jc（σ，τ）。为了制定交易对手的最优复制问题，我们假设假设2.2和2.3成立，但流程A替换为-A.

对于给定过程Y和a fixed stoppingtimeθ∈ T，我们用Ec（Yθ）表示唯一的Y∈ 从而存在一个策略ψ∈ ψ（y，-A） 满足Vθ（y，ψ）=yθ。检查thatx也很容易- Ec（Yτ）=p∈ R | ψ ∈ ψ（x- p-A） ：Vτ（x- p、 ψ）=Yτ. （10） 至于套期保值者（见假设2.4），我们假设博弈合同对于缔约方是可复制的。假设2.7。我们假设流程jc对于交易对手是可复制的，从某种意义上讲，对于给定的x∈ R和每个σ，τ∈ T存在一对（q，ψ）∈ R×ψ（x+q，-A） 使得vθ（x+q，ψ）=Jc（σ，τ）。对于交易对手，我们对最佳复制的定义如下，对应于套期保值者的定义2.10。定义2.15。我们说一个三重态（vc（x），σ*,c、 τ*,c）∈ R×T×T是博弈契约Cgif vc（x）=x的对手最优复制问题的一个解- Ec（Jc（σ*,c、 τ*,c） ）其中停车时间σ*,坎德τ*,注意EC（Jc（σ*,c、 τ*,c） ）=最小τ∈Tmaxσ∈TEc（Jc（σ，τ））。（11） 假设2.8。博弈合约的对手最优复制问题Cghas解（vc（x），σ*,c、 τ*,c） 。此外，对于p*,c=vc（x）存在ψ*∈ ψ（x- p*,c-A） 因此，三联体（p*,c、 ψ*, τ*,c） satis（SH′）和四倍体（p*,s、 ψ*, σ*,c、 τ*,c） 满足度（BE′），因此Kr，c（x）6=.根据定义2.14，三联体（p*,c、 ψ*, σ*,c） 满足不等式Vσ*,c∧t（x-p*,c、 ψ*) ≥Jc（σ*,c、 t）对于所有t∈ [0，T]。省略了艾玛2.7的证明，因为它类似于艾玛2.5和2.6的证明。引理2.7。如果满足2.2–2.3和2.7–2.8的求和，那么我们有ps，c（x）≤ vc（x）和PF，c（x）≥ vc（x）。我们能够证明对方对定理2.1的版本。定理2.2的证明基于与定理2.1的证明类似的论点，因此此处不作介绍。定理2.2。