基于深度学习的伦敦银行同业拆借利率市场模型BSDE求解器及其应用

对于这种情况，我们可以明确地写出漂移项：un（t）=nXj=q（t）τjξn（t，Ln（t））ξj（t，Lj（t））ρn，j1+τjLj（t）dtdWBn（t）dWBj（t）=ρn，jdt（2.7），在点测量下，数字是b（t）=P（t，Tq（t））q（t）-1Yn=0（1+τnLn（Tn））（2.8），这是简单的复合离散货币市场账户。2.2可分离确定性波动函数为了使伦敦银行同业拆借利率市场模型成为马尔可夫模型，我们必须指定向量波动函数σn（t）n=1，2。。。，N- 1，采用以下形式（见Andersen-Piterbarg【11】）：σn（t，Ln（t））=λn（t）Д（Ln（t））（2.9），其中λn（t）是确定性函数的有界行向量，且→ R是时间齐次局部波动函数。下表显示了一些标准参数：NameД（x）Log normal xCEV xp，0<p<1LCEV x minεp-1，xp-1., 0<p<1，ε>0置换对数正态bx+a，b>0，a 6=0表1：局部波动函数的规格2.3相关结构一般来说，LMM可以捕捉非平凡曲线运动，不仅包括平行位移，还包括“旋转变陡”和“驼峰”，这是通过使用具有相关性的向量值布朗运动驱动程序实现的。在随后的模拟中，我们使用了简单的相关结构，例如Libor利率Li（t），i=1，2，···，N- 1由correlationfunction控制：ρij=exp(-β| i- j |）。这是一个简单的假设，但对于我们目前的工作来说，足以证明后向深层神经网络的有效性。对于后续章节，我们将fix d=N- 1，即每个Li（t）由一个布朗运动WNi（t）驱动∈ R、 根据这个假设，我们现在可以写出布朗运动dWN（t）=%dW（t），%=（ρij），i，j=1，2。。。，N- 1.

这里，W（t）是RN中的标准布朗运动-1.3深度神经网络实施在本节中，我们将首先说明LMM设置的欧洲/百慕大定价的PDE/BSDE公式，然后讨论衍生PDE/BSDE问题的神经网络解算器。3.1欧式期权定价的PDE推导以其支付函数G为特征，该函数确定期权到期时支付的金额G（L（T）），T=T。然后，期权相对于数值ea（t）（贴现期权价格）的无风险贴现价值函数由以下公式得出：u（t，L（t））=a（t）EQAG（L（T））A（T）| Ft（3.1）式中L（t）∈ 注册护士-1是所有远期伦敦银行同业拆借利率Li（t）的向量，i=1，2，···，N-1、使用It"ioe的公式，u（t，L（t））的随机微分方程为：du（t，L（t））=utdt+N-1Xi=1uidLi（t）+N-xi，j=1Ijdli（t）dLj（t）（3.2），其中ui=uli，uij=uLiLj。将式（3.2）中终端测量QTNor下的式（2.4）（或点测量QB下的类似式（2.6）），替换为du（t，L（t））=ut+N-1Xi=1ui（t）ui+N-1Xi，j=1ξi（t）ξj（t）uijdt+N-1Xi=1ξi（t）uidWNi（t）（3.3）为了符合无套利条件，过程u（t，L（t））必须是测度qa下的鞅，该测度对应于数字过程a（t）。因此，为了满足这一要求，漂移项必须等于零。

然后，我们获得如下PDE：ut+N-1Xi=1ui（t）ui+N-1Xi，j=1ρi，jξi（t）ξj（t）uij=0（3.4）我们也可以在矩阵中写入PDE（3.4），如下所示：du（t，L（t））=utdt+u dL（t）+dL（t）t（HessLu）dL（t）=ut+uu+T r∑T∑HessLudt+u∑dW（t）（3.5）因此，PDE为：ut+uu+T r∑T∑HessLu= 0（3.6），其中u为（N- 1） -维向量，∑是（N- 1） ×（N- 1） 矩阵（ξiξjρij），i，j=1，2。。。，N- 1.3.2欧式期权定价的等效BSDE根据基本BSDE理论，抛物线型PDE（3.6）的解连接到以下解耦FBSDEdL（t）=u（t，L（t））dt+∑（t，L（t））dW（t），（dY（t）=Z（t）∑（t，L（t））dW（t），Y（t）=G（L（t））A（t），G（L（t）），（3.7），其中我们定义了函数G（t），G（L（t））A（t）。一个标准的广义费曼-卡福公式表示：Y（t）=u（t，L（t）），Z（t）=Lu（t，L（t））。（3.8）请注意，渐变是一个行向量。实际上，我们问题的BSDE可以作为一般BSDE的一个特例得到：du（t，L（t））=Lu∑dW（t）（3.9）有关BSDE在金融中应用的更多详细信息，请参阅[12，13]。3.3从欧洲期权到百慕大期权在本节中，我们首先陈述了Libormarket模型设置中百慕大互换期权的基础。然后，我们将使用第3.1节和第3.2节的结果解释如何构建aBermudan swaption的PDE/BSDE。百慕大期权是一种早期行使的衍生证券，可以在一组离散的日期进行。其特征是一个适应性支付过程U（t，L（t）），在停止时间（行使日期）τ支付给期权持有人≤ T、 由期权持有人选择。让大于或等于t的允许（和确定）行使日期集用D（t）表示；假设我们在时间0给出了一个特定的行使政策τ，取D（0）中的值，以及对应于唯一鞅测度QA的定价数字a（t）。

设Vτ（0）为衍生证券的时间0值，该衍生证券在行权时支付U（τ，L（τ））。在U（t，L（t））的某些技术条件下，我们可以将衍生证券的值写为：Vτ（0）=A（0）EQAU（τ，L（τ））A（τ）,设T（T）为（未来）停止时间的时间T集，取D（T）中的值。在没有套利的情况下，提前行使到U的证券的时间t值由最优停止问题给出：V（t，L（t））=supτ∈T（T）Vτ（T）=supτ∈T（T）A（T）EQAU（τ，L（τ））A（τ）.假设D（0）=tk，tk，tkp，其中tkp=T。（此处使用不寻常的符号是为了方便后面3.4.4中的离散化）。Fort<tki+1，将Hi（t，L（t））定义为百慕大期权的时间t值，当ERCISE限制为日期D（tki+1）=tki+1，tki+2，tkp。isHi（t，L（t））=A（t）·EQAtV（tki+1，L（tki+1））A（tki+1）, i=1，p- 1、在时间tki时，Hi（tki，L（tki））可解释为百慕大期权的持有价值，即如果在时间tki时未行使百慕大期权，则百慕大期权的价值。如果遵循最佳运动策略，显然我们必须在时间tkiV（tki，L（tki））=max（U（tki，L（tki）），Hi（tki，L（tki）），i=1，p- 1，对于i=1，p- 1，Hi（t，L（t））=A（t）EQAt（max（U（tki+1，L（tki）），Hi（tki+1，L（tki+1））A（tki+1）））。（3.10）从终端条件HP（T，L（T））A（T）=g（L（T））开始，等式3.10定义了一个有用的时间向后迭代，用于值V（0）=H（0）。更详细地说∈ 1.p- 1，我们可以为t定价hi（t，L（t））A（t）∈ [tki-1，tki]与式3.1中的u（t，L（t））类似，假设hi+1（t，L（t））A（t）已经预先定价。因此，第3.1节和第3.2节中讨论的过程可以在时间上对子区间进行反向迭代[tki-1，tki]。

稍后，我们将看到我们的反向神经网络解算器的优点是利用这种反向迭代特性，参数化和学习/近似所有hi（t，L（t））A（t），i=1，2。。。，p- 1完全在一个向后离散化中运行，而不是逐个学习它们。很明显，这种方法完全遵循著名的Bellman动态规划原则，并且确定了最佳锻炼策略。3.4基于深度神经网络的BSDE前向/后向解算器对于LMMIn本节，我们主要包括（1）前向解算器；（2）使用DNN反向求解。正向解算器主要由Weinan E等人开发。前馈DNN适合为欧洲风格的期权定价，但它给百慕大风格的期权定价带来了困难，如下所述：o对于百慕大风格的期权，有多个行使日期。根据最优性动态规划原则，在行权日的任何未来时间，必须清楚了解期权的连续值。给定一个数字定价方案，对连续价值的预测可能非常困难。例如，蒙特卡罗模拟方案通常是前瞻性的，需要使用回归或基函数近似等特殊方法来估计预期的连续值。因此，使用远期解算器对百慕大掉期期权进行定价通常是不可行或无效的。对于神经网络的实现，它遇到了类似的问题，比如那些模拟方法（见[1，6，7]）。我们工作的主要贡献是探索一种新方法：反向dnsolver。

根据我们有限的知识，本文是DNN应用于衍生品定价领域的文献中的第一篇工作，以表明反向DNN对百慕大期权的定价是有效的。我们将在接下来的两小节中提供这两个解算器的详细信息。3.4.1伦敦银行同业拆借利率SDE和期权价格BSDE的离散化为了推导基于深度神经网络的BSDE解算器，我们首先需要离散伦敦银行同业拆借利率SDE和期权价格BSDE。离散化之前，时间离散化设置为：0=t<t<····<tm=TN-1（3.11），其中m是网格点的总数，终点时间/最后一个网格点为T=TN-1、我们主要在伦敦银行同业拆借利率Ln（t）：Ln（ti+1）的期末计量或即期计量下，将公式（2.4或2.6）中的伦敦银行同业拆借利率SDE离散化≈ Ln（ti）+Zti+1tiun（t，L（t））dt+Zti+1tiξn（t，L（t））dWn（t）（3.12）对于0≤ 我≤ N- 1、对libor-SDEs进行离散的方案有很多，其中有Euler方案和预测-校正方案。对于贴现期权价格的BSDE的离散化，前向解算器和后向解算器之间存在轻微差异。它们的分类如下：正向解算器：u（ti+1，L（ti+1））≈ u（ti，L（ti））+u（ti，L（ti））σ（ti，L（ti））（W（tn+1）- W（tn））（3.13）表示0≤ 我≤ N- 1.o反向解算器：u（ti，L（ti））≈ u（ti+1，L（ti+1））- u（ti，L（ti））σ（ti，L（ti））（W（tn+1）- W（tn））（3.14）表示0≤ 我≤ N- 1，通过对等式（3.13）中的术语重新排序获得。3.4.2基于多层前馈神经网络的算法L（t）0≤t型≤田纳西州-1.可使用公式（3.12）轻松取样。接下来的关键步骤是近似函数l（t）→ u（t，L（t））σ（t，L（t）），在每个时间步t=t，通过多层前馈神经网络，i=1，2。

N- 1.u（ti，L（ti））σ（ti，L（ti））=(uσ）（ti，L（ti））≈ (uσ）（ti，L（ti）|θi），（3.15），其中θide表示逼近L（t）的神经网络参数→t=ti时的u（t，L（t））σ（t，L（t））。此后，我们将方程（3.15）中的所有子网络堆叠在一起，形成一个基于onEq的深度神经网络作为一个整体。（3.13）或等式（3.14）。具体而言，该网络采用伦敦银行同业拆借利率路径{L（ti）0≤我≤m} 布朗运动路径{W（ti）0≤我≤m} 作为输入数据，并提供最终输出。正向和反向解算器在逼近目标函数时有所不同。对于正向解算器，输出为近似终端支付；而对于反向解算器，初始值和梯度是输出。有关详细信息，我们参考以下两个小节。3.4.3远期DNN解算器的随机优化算法首先，我们将远期解算器方法[2，3]应用于Libor市场模型设置中的欧式期权定价。我们基本上使用等式。（3.12，3.13）预测伦敦银行同业拆借利率和贴现期权价格样本从（t，L（t），u（t，L（t）））到（TN-1，L（TN-1） ，u（TN-1，L（TN-1))). 式（3.13）中BSDE的最终输出为^u（TN-1，L（TN-1） ，作为最终实际折扣支付的近似值（L（TN-1)). 整个网络流程如下：o输入：布朗运动路径{W（ti）0≤我≤N-1} 伦敦银行同业拆借利率路径{L（ti）0≤我≤N-1} 根据公式（3.12）。o参数：θ={θu，θLu，θ，θN-1}. 第一个参数是初始贴现期权价格，第二个参数是梯度SW。r、 t初始点的基础伦敦银行同业拆借利率，以及θ的其余分量是用于近似期权价格梯度w.r.t伦敦银行同业拆借利率L（t）的参数。所有模拟libor样本的参数都是相同的正向投影迭代：对于i=1。

N- 1，^u（ti+1，L（ti+1））=^u（ti，L（ti））+(uσ）（ti，L（ti）|θi）（W（ti+1）- W（ti））（3.16），其中初始价格参数^u（t，L（t））=θu，最终产量为^u（TN-1，L（TN-1)).在获得神经网络近似的最终贴现支付和实际贴现支付后，我们需要最小化以下预期损失函数：l（θ）=E|^u（TN-1，L（TN-1)) - g（L（TN-1))|（3.17）当使用蒙特卡罗模拟的S样本时，l（θ）也可以重写为：l（θ）=E|^u（TN-1，L（TN-1)) - g（L（TN-1))|=不锈钢-1Xi=0（^ui（TN-1，L（TN-1)) - gi（L（TN-1） ）（3.18）我们现在可以使用随机梯度下降（SGD）算法来优化参数，就像在深层神经网络的训练中一样。优化后，可以得到初始期权价格和Delta。在我们的numericalexamples中，我们使用Adam优化器。有关方法的详细信息，请参考文献[2，3]。如上所述，此正向解算器仅适用于定价Europeanstyle选项。该解算器的主要优点如下：oDelta是该解算器的直接输出；而在蒙特卡罗模拟中，三角洲的计算通常采用冲击重估法。因此，这种方法可以节省大量计算时间，这对于交易台来说至关重要，尤其是在金融市场非常动荡的时期该解算器可以处理高维问题，这是有限差分法或有限元法等传统PDE数值方法无法处理的。因此，这种新方法使得一些复杂的高维金融模型（如伦敦银行同业拆借利率市场模型）可以在可接受的时间间隔内求解成为可能。3.4.4反向DNN解算器的随机优化算法在本小节中，我们提出了新的反向解算器算法来解决欧式期权定价问题，主要遵循以下步骤。

稍后，我们将讨论如何轻松调整第二步，以满足百慕大期权定价的需要首先，使用公式（3.12）预测伦敦银行同业拆借利率从（t，L（t））到（TN-1，L（TN-1)).第二，使用（TN-1，L（TN-1） ）在上一步中获得，以计算最终贴现期权支付（TN-1，L（TN-1） ）=g（L（TN-1） ，然后我们使用公式（3.14）从（TN）反向预测贴现期权价格-1，u（TN-1，L（TN-1） ）至（t，u（t，L（t）））通过^u（ti，L（ti））=^u（ti+1，L（ti+1））- (^uσ）（ti，L（ti）|θi）（W（ti+1）- 对于i=N，W（ti））（3.19）- 1.第三，理论上，所有反向模拟样本的^u（t，L（t））应相同。因此，我们的主要想法是，在获得神经网络近似样本初始期权价格^u（t，L（t））后，我们应该最小化预期损失函数：L（θ）=E|^u（t，L（t））- E（^u（t，L（t）））|（3.20）这也是^u（t，L（t））的方差。当生成蒙特卡罗的S样本时，l（θ）也可以重写为：l（θ）=E|^u（t，L（t））- E（^u（t，L（t）））|=不锈钢-1Xi=0^ui（t，L（t））-不锈钢-1Xi=0^ui（t，L（t））！（3.21）在最小化损失函数后，SPS-1i=0^ui（t，L（t））定义为初始贴现期权价格；和神经网络近似(^u（t，L（t）））可用作初始Libor增量。参数θ={θ，…，θN的完备集-1} 在近似期权价格梯度的过程中进行调整。本质区别在于，对于反向DNN解算器，初始选项价格和梯度不包括在此参数集中。除了反向投影，我们的反向解算器在离散化和参数化方面与前两小节中讨论的正向解算器具有类似的结构。我们还可以参考论文【2】第4.1节了解更多详细信息。

我们使用随机梯度下降（SGD）算法来优化参数，这与前向前馈神经网络的训练方法相同。在我们的数值示例中，我们继续使用Adam优化器。图3.1说明了M=N的深度BSDE向后解算器的体系结构- 1、图3.1：反向BSDE解算器流程图此网络中有三种类型的连接：1。（L（ti），W（ti+1）-W（ti））→ L（ti+1）的特征为（3.12），使用Euler/Predictor-Corrector格式。此类型的连接中没有要优化的参数。2、L（ti）→ 你好→ 你好→ · · · → hHi公司→ u（ti，L（ti））是多层前馈神经网络，逼近时间t=ti时的空间梯度。这里有H个隐藏层hi，hHIF每个时间点。该子网络的权重θiof是我们要优化的参数。基本上，θ确定了从输入层到隐藏层、隐藏层之间以及从最后一个隐藏层到梯度输出的线性/非线性变换，并包括该过程中涉及的所有潜在批量归一化参数。我们将在模拟中进一步说明。有关更多详细信息，请参阅论文【2】第4.1节。3.（u（ti+1，L（ti+1）），u（ti，L（ti）），W（ti+1）-W（ti））→ u（ti，L（ti））是反向迭代，最终输出u（t，L（t））的近似值，其完全特征为（3.19）。此类连接中没有要优化的参数。后向解算器与前向解算器具有许多相同的优点，我们在前面的部分中讨论了这一点。此外，此反向解算器不仅可以为欧洲期权定价，还可以为百慕大掉期期权定价，我们将在第4节中讨论。期权价格BSDE（3.9）反向预测。