竞争激烈的经销商市场的流动性

在本研究中，我们模拟并解决了经销商库存管理问题的动态版本，即风险资产可以在公开市场上随时交易，但交易摩擦会对大额头寸的快速清算造成处罚。也就是说，除了交易商市场之外，我们还考虑了风险资产的第二个市场，其中其未受影响的价格过程由其预期股息Dt得出：=Et[Dt]，0≤ t型≤ T、 为了简单起见，假设该鞅价格，因为它消除了开放市场中的投机行为。相应的执行价格依次由交易方ua的Dt+λ′u+λAUA给出∈ Lof代理a∈ A、 也就是说，她目前在公开市场的位置Uat=RTUASDS的调整速度。（位置Uathen自动属于S。）此处，’u：=Pa∈Am（a）ua和常数λ≥ 0描述了总订单流量对市场价格的影响。相比之下，参数λamodels表示代理a的特殊交易摩擦，例如搜索成本，它不依赖于其他代理的交易活动。如果公开市场模拟交易商之间的交易，那么个人摩擦自然会对交易商产生影响，但对其客户而言则是有限的。总之，代理a在公开市场的交易产生了预期的损益ofEDTUaT公司-ZT（Dt+λ′ut）uatdt-ZTλa（uat）dt= -EZT公司λu-atuat公司+λm（a）+λa（uat）dt公司. （2.2）此处，\'u-a： =(R)u- m（a）ua表示其他代理的总交易率。2.3目标函数我们现在制定代理的目标函数。

与【15、16、35、6、12】类似，这些被选择为线性二次型，以实现最大可跟踪性。交易目标和库存成本由于外部风险敞口，代理商有进行交易的动机。对此建模的一种特别方便的方法是确定目标位置ξA∈ 各代理人的稳定部队a∈ A、 然后依次惩罚代理人总风险头寸的均方距离（从经销商处或在公开市场中累积）：EZT（ξat- 凯特- Uat）dt. （2.3）库存罚款（2.3）相对于预期交易损益（2.1）、（2.2）的重要性由代理人的风险容忍度ρa>0，a∈ A、 这将导致线性二次目标函数ja（Ka，ua；’u-a、 S）：=EZTKatdAt公司-ZT公司λu-atuat公司+λm（a）+λa（uat）dt公司(2.4)- EZT2ρa（ξat- 凯特- Uat）dt.这在精神上类似于允许代理支付二次成本以缩短其搜索时间。[28]研究了由于对基本面的异质信念而导致的流动性不足对交易的影响。考虑到其他代理的合计交易-a公开市场和价格过程∈ 在经销商市场中，代理商a将此最大化超过Ka∈ 砂ua∈ 五十、 我们现在的目标是确定经销商市场结算的均衡价格。3均衡代理商通过经销商市场的均衡价格和他们在公开市场的共同价格影响相互作用。有额外的外部需求kN∈ 从经销商市场的噪声交易者那里，这导致了以下平衡概念：定义3.1。

A价格过程S∈ Hin经销商市场和交易策略（Ka）a∈a和（ua）a∈如果（i）交易商市场在KN+Pa的情况下清空，则交易商和公开市场分别形成均衡∈Am（a）Ka=0；（ii）交易策略形成（开环）纳什均衡，即策略（Ka、ua）最大化代理a的目标功能Ja（·，·；’u-a、 S）超过S×L。备注3.2。正如【14】中所述，我们研究了经销商市场中的竞争均衡，这也是因为连续时间内的非竞争均衡价格必然会引入额外的自由度（参见【35，12】）。竞争均衡中的价格接受假设对于大量的小代理人来说是合理的。然而，在这种制度下，以一致和非平凡的方式对公开市场中的贸易摩擦进行建模是一个挑战。例如，如果每个（小型）代理机构都忽略了自己对执行价格的贡献，这将导致线性交易成本，进而导致即使是小型代理机构也无法忽略的大交易率。为了解决这个问题，我们从众多代理之间的纳什竞争开始，然后在第二步确定许多小代理的竞争极限，参见定理3.4之后的讨论。现在我们给出了关于经销商市场均衡价格存在唯一性的主要结果。为了简洁地表述这一点，可以方便地回忆一下[6][定理A.4]的以下结果：引理3.3。修复X∈ 土地 > 0

然后，唯一的解决方案（u，u）∈ L×Hof下列线性正倒向随机微分方程（FBSDE）dut= （Ut- Xt）dt+dMt，uT=0，U=0，dUt=utdt，（3.1）由U给出t（X）：=EtZTtk公司（t，s）Xsds- F（t） U型t（X），0≤ t型≤ T、 （3.2）Ut（X）：=Ztk公司（s，t）EsZTsk公司（s，r）Xrdrds，0≤ t型≤ T、 这里，平方可积鞅M是解的一部分。对于内核和函数k（t，s）= cosh公司(√（T- s） ）cosh(√（T- t） ），F（t）=√ tanh公司√（T- t）, 0≤ s、 t型≤ T、 为了排除公开市场中的无摩擦交易，我们假设λ+λa>0，a∈ A、 这允许我们引入价格弹性ηA=1/（m（A）λ+λA），(R)η=Xa∈Am（a）ηa，η=1/λ。（在λ=0的情况下，让η=+∞ 和 = η/ρ.) 我们还确定了代理人的总风险承受能力和目标头寸：(R)ρ=Xa∈Am（a）ρa，’ξ=Xa∈Am（a）ξa。利用这些成分，我们现在可以得出我们的主要结果，它表征了经销商市场中的非均衡价格以及代理商在经销商市场和公开市场中的最优交易策略。定理3.4。（i） 存在唯一平衡（S，（Ka，ua）a∈（A）∈ H×（S×L）A.（ii）代理人的总头寸'U=Pa∈公开市场中的Am（a）UAU为“Ut=U”t型KN+’ξ, 0≤ t型≤ T、 （3.3）对于U引理3.3 =ρηηη + η.代理人a的“Utis Uat”份额=ηa“η”Ut。（iii）交易商市场中风险资产的均衡价格isSt=EtDT公司-ZTtusds, 其中ut=(R)ρ“”Ut- KNt公司-ξt, 0≤ t型≤ T、 （3.4）代理商a在经销商市场的最佳位置isKat=ξat-ηa？η？Ut+ρa？ρ“”Ut- KNt公司-ξt, 0≤ t型≤ T、 （3.5）证明。

参见附录A。因此，经销商市场的风险溢价ut由代理商的总敞口KN+(R)ξ确定-“U在任何时候，以其总风险承受能力的单位来衡量”。鉴于（3.5），风险溢价激励代理人a按照其个人风险承受能力ρa的比例接受其在该风险敞口中的份额，按照其有效弹性ηa的比例，促成了向公开市场的总风险转移。交易商市场的资产价格波动（即资产价格（3.4）的鞅部分）反过来取决于清算股息dt和未来风险溢价的不确定性随着时间的推移而呈现的程度。或者，公开市场中最优交易率的一阶条件表明，定理3.4中的均衡价格允许以下简明表述：St=Dt+η+η“”ut。这意味着，与预期股息相比，均衡价格的调整是由代理人在公开市场上的总交易率决定的，以总价格弹性1/（η）为单位计量-1+ η-1） 这是由于代理人的特质和他们对公开市场价格的共同影响的结合。也就是说，假设代理在公开市场上进行总购买（\'ut>0），因为他们想增加他们的互联网头寸。然后，他们还将愿意以溢价在交易市场上购买更多的风险资产。

尽管有这种看似简单的解释，但均衡价格对模型参数的依赖通常相当复杂，因为它通常依赖于过去、现在和（预期的）未来需求。3.1噪音交易的大流动性渐近为了更好地理解均衡价格（3.4）及其影响，我们首先考虑最简单的经销商市场，其中M∈ N“经销商”（即没有特殊交易目标的代理商，ξd=0），普通质量m（a）=1/m，风险容忍度ρa=ρd>0，个人交易成本λa=0吸收需求KN∈ Sofnoise交易员。我们的第一个结果表明，随着λ的公开市场流动性越来越强，均衡价格（3.4）接近预期分割→ 0：提案3.5。对于任何噪音交易者需求KN∈ S、 定理3.4中的均衡价格S收敛到预期股息Dt=Et【Dt】，具有特别强的敏感性-1.≤H≤1可预测“sup0≤t型≤TZtHsd（Ds- Ss）#→ 0，为λ→ 特别是S在Emery拓扑中收敛为λ→ 此外，噪声交易者需求满足度zttkntdst=ZTKNtdDt+o（1）产生的相应财富过程，单位为Lasλ→ 提案3.5声称，随着公开市场的流动性越来越强，较低的价格接近风险资产的预期收益。这是很直观的，因为随着公开市场上交易摩擦的消失，经销商可以立即以这个价格出售他们的存货。考虑到噪声交易者需求的其他结构，我们还可以确定噪声交易者财富过程的引导顺序修正项，即交易者非平凡但有限的风险承受能力所隐含的流动性成本。这个领先的订单修正术语的形式取决于客户需求的可变性。

为了说明这一点，我们讨论了应用中经常出现的两个示例：平滑需求KNt=RtuNSD和与It的差异需求^o dynamics KNt=RtuNSD+RtσNsdWs。平滑需求我们首先讨论以固定、绝对连续的速度累积的需求。在这种情况下，交易商可以通过将其头寸立即转移到公开市场，并根据相应交易利率施加的二次成本λ，完美对冲其风险敞口。因此，交易商可以使用此策略实现盈亏平衡，执行价格等于基本价值加上公开市场的交易成本。然而，由于交易成本的二次性，在这种情况下，他们可以通过只吸收客户需求的一小部分来实现严格的正利润。因此，在与众多经销商的均衡中，需要向经销商支付额外溢价，但后者在许多小型经销商的限制下消失。更具体地说，随后的结果明确确定了流动性成本的主要订单期限为（M+1）/公开市场交易成本的M倍。这一术语与经销商的库存成本无关，因为在公开市场交易可以有效地对冲客户的平稳需求。引理3.6。假设连续过程uN的KNt=RtuNsds∈ S、 那么，K产生的流动性成本是-ZTKNtdSt=λM+1MZTuNtdt+o（λ），单位为Lasλ→ 0。（3.6）特别是，引理3.6意味着，与许多小型交易商竞争的交易市场中的均衡交易成本与公开市场中的交易成本大致相同。分歧需求下一步，我们转向具有非平凡布朗函数的交易策略。这些不能直接在公开市场上实施，但可以通过经销商以固定成本进行交易。

由于经销商对这些更不规则的订单流进行对冲的效率低于上述平滑的订单流，因此相应的交易成本为更高的渐近订单，即(√λ） 将O（λ）替换为λ→ 此外，经销商的库存成本现在在主要订单项中可见。客户需求的渐进性本质特征是其二次变化，这也出现在[11]的简化模型中，例如：如果在交易率具有二次成本的市场中以最佳方式跟踪此类不同的目标头寸，则也会出现相同的标度和目标策略的二次变化，参见[27]及其参考文献。引理3.7。假设基础过滤是由布朗运动棒生成的，假设噪声交易者的需求具有动态性，KNt=ZtuNsds+ZtσNsdWs，0≤ t型≤ T、 此处，| KN |，|uN |，|σN|∈ 这些过程在[30，第27页]：KNt、uNt、σNt的意义上是Malliavin可区分的∈ D1,2，连续Malliavin导数为7→Dt公司KNs公司, Dt公司uNs, Dt公司σNs, 0≤ t型≤ s≤ T、 最后，假设sup0≤t型≤TE[支持≤s≤T（|（Dt（KNs））|+（Dt（uNs））|）]]∞. 然后，需求KNareZTKNtdDt产生的流动性成本-ZTKNtdSt=sλρdM+1MZT（σNt）dt+o(√λ） ，单位：Lasλ→ 0、备注3.8。命题3.7的正则性条件得到满足，特别是当需求是标量随机微分方程的解时，该方程的漂移和扩散系数是连续两次可微分的，且有界导数为0、1、2阶。在这种情况下，Malliavin导数的所需边界来自【30，定理2.2.1】。3.2竞争性经销商市场下一步，我们应用定理3.4研究由大量小型同质经销商和客户建模的竞争性经销商市场的流动性。

为了简单起见，假设没有噪声交易者（KN=0），但有mdM∈ N个具有共同风险承受能力ρ的经销商和具有共同风险承受能力ρc>0的mcM客户，所有客户的质量均为1/（（md+mc）M）。也就是说，经销商和客户构成了代理商总数（md+mc）M的分数SQD=mdmd+MCA和qc=mcmc+MDM。这使我们能够研究均衡价格和交易策略的限制行为，因为M→ ∞,而经销商和客户的比例保持不变。客户有一个共同的交易目标ξc∈ S、 然而，交易商没有交易目标（ξd=0），因此只有交易才能获得提供流动性的溢价。对于描述交易商间交易的公开市场来说，这是很自然的，我们假设所有交易商的个别交易摩擦为零（λa=0），客户的个别交易摩擦为零（λa=∞). 总之，我们得到了ρ=qcρc+qdρd，η=mdMλ，ξ=qcξc， =（qcρc+qdρd）λ（1+mdM）。我们非常感谢一位匿名仲裁人，他促使我们与同等比例的经销商和客户一起进行延期。随着M的经销商和客户数量越来越多→ ∞ （经销商和客户的QD和QCO比例保持不变）， 因此会收敛到非零且不确定的极限，∞=（qcρc+qdρd）λ。现在让我们将其与具有相同比例的QCO客户和QDOF经销商的市场进行比较，但mdM小型经销商被具有相同总质量QD和风险承受能力ρd的单一经销商所取代。

那么上述的ρ，ξ表达式保持不变，但η=1/λ，反过来=（qcρc+qdρd）2λ。由于定理3.4中的均衡价格仅取决于总交易目标ξ（在两种情况下都相同）和参数, 我们看到，如果将竞争市场中的流动性成本重新调整为两倍，那么由许多小经销商组成的市场相当于一个只有一个代表性经销商的市场。因此，竞争（对客户）的积极影响（降低每个经销商的利润）超过了公开市场中不协调交易的负面影响（这导致了过度交易，因为代理商不会将其对其他人造成的价格影响成本内部化）。为了说明这些结果对最优交易策略和均衡价格的影响，我们现在专门讨论两个具体例子：如[5，1，32]中的最优执行和如[26，35，12]中的不同交易目标。示例3.9（最佳清算）。我们首先考虑一个最简单的例子，客户的目标是出售一定数量的股份，即ξct≡ ξc<0，0≤ t型≤ T在这种情况下，两个初等积分表明'Ut=Ut（(R)ξ）=Ztk公司（s，t）ZTsk（s，r）qcξcdrds=√ cosh公司√（T- t）Ztsinh公司(√（T- s） ）cosh(√（T- s） ）ds qcξc=1-cosh公司(√（T- t） ）cosh(√T）！qcξc。因此，（3.5）中的最佳客户位置是kct=ξc+ρcqcρc+qdρd“”Ut- qcξc= ξc1-qcρcqcρc+qdρdcosh(√（T- t） ）cosh(√T）！。如【5、1、32】所述的完全清算可以使用如【10、4】所述的二次清算罚款来促进，或通过如【3】所述的硬终端约束来强制执行。