修正了KVA和MVA的XVA建模框架和公式

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英文标题：
《Corrected XVA Modelling Framework and Formulae for KVA and MVA》
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作者：
Antti Vauhkonen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We discuss and clarify the XVA modelling framework specified in the paper \"MVA by replication and regression\" (Risk Magazine, May 2015) for including bilateral credit risk and funding costs in derivative pricing, and in doing so we rectify two key errors in the valuation adjustments accounting for costs of capital and initial margin, and present corrected formulae for KVA and MVA.
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中文摘要：
我们讨论并澄清了“复制和回归的MVA”（风险杂志，2015年5月）一文中规定的XVA建模框架，该框架将双边信用风险和融资成本纳入衍生品定价中，在这样做的过程中，我们纠正了估值调整中的两个关键错误，即资本成本和初始保证金，并给出了KVA和MVA的修正公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：MVA XVA Quantitative QUANTITATIV derivatives

KVA和MVA的修正XVA建模框架和公式*Antti K.Vauhkonen+该版本于2018年7月25日首次发布在SSRN上。摘要我们在《复制和回归的MVA》（Risk，2015年5月）一文中讨论并澄清了XVA建模框架spe c i d，以将双边信用风险和融资成本纳入衍生品定价中，在这样做的过程中，我们纠正了估值调整中的两个关键错误，包括资本成本和初始保证金，并给出了KVA和MVA的校正公式。1半复制策略的XVA建模在本文中，我们研究了Burgard和Kjaer在[1]中引入的半复制框架，该框架将交易对手的违约风险和对冲头寸的融资成本纳入衍生品合同的估值中，随后，Green等人在[3]和[2]中进行了扩展，以考虑资本成本和CSD协议下公布的初始保证金。采用与[2]中相同的符号，并在大多数情况下抑制所有变量的显式时间依赖性，我们考虑衍生合同（或衍生合同组合）对银行的价值，该价值取决于潜在资产的价格，我们可能认为该资产是以γS利率连续支付现金股利的资产，也取决于银行及其交易对手的违约状态，即^V=^V（t，S，JB，JC）（1），其中JB和JC分别是银行和交易对手的默认指标。

假设基础资产遵循几何布朗运动：dS=uSdt+σSdW，（2）*本文中表达的观点仅为作者的观点，不一定代表劳埃德银行集团的观点。+联系人：antti。vauhkonen@lloydsbanking.comand默认指标使用泊松过程建模。为了对冲双边信用风险，我们将使用银行发行的两种不同资历的零息票债券（假设第一种债券为次级债券），以及交易对手发行的零息票债券，其价格遵循以下随机过程：dPi=riPidt- (1 - Ri）PidJB（3a）dPC=rCPCdt- PCdJC（3b），其中RIAN和Rifor i∈ {1，2}是银行债券的收益率和回收率，RCI是交易对手债券的收益率。从方程式（3b）中可以看出，交易对手债券的回收率假定为零，即交易对手债券假定为次级债券。因此，债券收益率可以表示为Ri=r+（1- Ri）λB（4a）rC=r+λC（4b），其中r是无风险利率，dλ带λ分别关注银行和交易对手的风险率。使用这些工具，构建了一个投资组合，以对冲衍生头寸，该衍生头寸由基础资产的δ单位、α会计方债券、α次级银行债券、α高级银行债券和现金金额β组成。因此，用∏表示hed ING投资组合的价值，我们得到∏=δS+αCPC+αP+αP+β。

（5） 我们假设股票和交易对手债券的对冲头寸是通过r epo交易获得资金的，并且以下融资条件始终保持不变：^V+αP+αP+IB- 十、- φK=0（6），其中IBis是银行公布的初始保证金，X是银行持有的变动保证金，K是持有衍生品头寸的监管资本要求，φ∈ [0，1]是用于融资目的的募集资金的fr行为。这意味着衍生工具所需的资金、初始保证金和一个优先级别的银行债券的多头头寸（根据对冲策略）与收到的抵押品和其他优先级别的银行发行债券所融资的资本之间的任何差额。因此，我们可以写出β=βS+βC+βX+βK+βib，其中βS=-δS，βC=-αCPC，βX=-十、 βK=-φK和βIB=IB，增长率如下：dβS=（γS- qS）δSdt（7a）dβC=-qCαCPCdt（7b）dβX=-rXXdt（7c）dβK=-γKφKdt（7d）dβIB=rIBIBdt（7e），其中qs和qc分别是股票和交易对手债券的回购利率，rXis是变动保证金抵押品的应付利率，γKis是资本成本，Ribid是初始保证金后获得的利率。备注：1。假设回购利率qs和qCin方程（7a）和（7b）分别针对任何适用的折减进行了调整，即在回购交易中，由于对抵押品资产的价值进行了h利率下调，抵押品资产必须以更高的无担保利率进行部分融资。在等式（7b）中，没有对价债券现金回报的术语，因为它们被假定为零息票债券。此外，它隐含地假设银行和交易对手债券在衍生工具合同到期日之后到期。3、根据φ的定义，与资本金相关的现金账户βk为-φK，非-K

因此，与上述等式（7d）相对应的[2]中等式（11）的右侧缺少φ。尽管衍生工具^V的资本要求K每单位时间会给持有头寸的交易台带来γKK的额外费用（或由更高的业务部门或部门集中承担），但只有为衍生工具、初始保证金和变动保证金抵押品以及标的资产、银行和交易对手债券中的对冲头寸提供资金的成本，如方程式（7a）–（7e）中现金账户的增长率所示，将其纳入了对^V的损益分析中。4、在等式（7e）中，e不是交易对手IC公布的初始保证金的术语，因为根据监管规则，初始保证金抵押品必须持有在一个单独的账户中，并且接收交易对手不能再用于融资目的。

此外，从alegal的角度来看，可变保证金担保品和初始保证金担保品之间存在着基金本质上的差异：因为过账可变保证金涉及担保品所有权的合法转让，这使得接收对方能够自由地重复使用，并且，类似于aloan，接收对方需要支付可变保证金担保品的利息，如方程式（7c）所示；鉴于初始保证金仅质押给收款对手，过账对手仍然是抵押品的合法所有人，并且在第三方托管期间，初始保证金抵押品的任何现金回报-过账为初始保证金抵押品并存入托管银行普通存款账户的现金收益的任何应计利息，或债务证券的任何息票付款或在第三方托管人的集合账户中持有的股票的股息，由托管银行（如果是现金抵押品）或证券发行人（如果是非现金抵押品）支付，而不是由接受初始保证金抵押品的交易对手（担保权益）支付。因此，没有与银行收到的初始保证金相关的现金账户βi，也没有-方程（7e）右侧的rICICdt项，如文献[2]中相应的方程（12）所示。结算净额中已过账和收到的初始保证金的使用正确反映在下面的方程式（9a）和（9b）中。例如，在银行违约的情况下，Ic不会出现在结算价值G的表达式中，因为在这种情况下，交易对手过账并由第三方托管人在独立账户中持有的任何初始保证金将被简单地退还给交易对手，而不会与衍生价值进行净额结算。

类似地，IBis也不在gC的表达式中。现在，将It^o引理应用于^V，并假设对冲组合是自我融资的，我们得到d^V+d∏=^Vt+σS^VS+（γS- qS）δS+（rC- qC）αCPC+rαP+rαP- rXX- γKφK+rIBIB！dt公司+^VS+δ！dS+hdJB+总承包商-^V- αCPCdJC（8），其中h=gB+RαP+RαP- 十、- φK+IBandgB=（V- X+IB）++RB（V- X+IB）-+ 十、- IB（9a）gC=RC（V- 十、- IC）++（V- 十、- IC）-+ X+IC（9b）是在银行或交易对手违约的情况下，银行对担保衍生工具头寸的平仓价值，RBA和RCA分别是银行和交易对手违约时担保衍生工具头寸的回收率，V是衍生工具的无风险价值。如[2]中所述，从现在起，我们将假设qCis等于无风险评级者。因此，通过设置δ=-^V砂αC=（gC-上述公式（8）消除了标的资产价值的市场变动风险和交易对手的违约风险，当dJB=0时，d^V+d∏=0，即。

只要银行没有违约，前提是估值调整u：=^V- 满足以下偏微分方程：Ut+σSUS+（qS- γS）SUS- （r+λB+λC）U=- λB（gB- 五）- λC（gC- V）+λBh+sXX+（γK- r） φK- sIBIB（10），其中sX：=rX- r和sIB：=肋骨- r、 根据终端条件U（T，S）=0表示S的所有值，其中T是衍生合约的到期日。2 XVA公式将费曼-卡茨公式应用于方程式（10），并将U（t）作为其组成元素之和，给出SU（t）=CV A（t）+DV A（t）+F CA（t）+ColV A（t）+KV A（t）+MV A（t）（11），其中CV A（t）=-(1 - RC）ZTtD（t，u）λC（u）Et（V（u）- X（u）- IC（u））+duDV A（t）=- (1 - RB）ZTtD（t，u）λB（u）Et（V（u）- X（u）+IB（u））-duF CA（t）=-ZTtD（t，u）λB（u）Et[gB（u）+Rα（u）P（u）+Rα（u）P（u）]duCol V A（t）=-ZTtD（t，u）{rX（u）- （r（u）+λB（u））}Et[X（u）]duKV A（t）=-ZTtD（t，u）{γK（u）- （r（u）+λB（u））}Et[φK（u）]duMV A（t）=+ZTtD（t，u）{rIB（u）- （r（u）+λB（u））}Et[IB（u）]du其中D（t，u）：=e-车辙（r（v）+λB（v）+λC（v））dv。应注意的是，上述KVA和MVA d f的表达式与[2]中给出的表达式不同，并采用人们直观预期的形式：即分别计算KVA和MVA，作为资本成本（公布的初始保证金回报）与azero recovery次级银行债券收益率之间的利差，综合在预期资本融资（公布的初始保证金）文件中。同样，ColVA也有相同的形式。参考文献【1】Burgard C.和M.Kjaer（2013），“融资策略，融资成本”，风险，26（12）。[2] Green A.和C.Kenyon（2015），“复制和回归的MVA”，风险，28（5）。[3] Green，A.、C.Kenyon和C.Dennis（2014），“千伏安：资本估值复制调整”，风险，27（12）。