应用于模型点的无限维投资组合表示

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英文标题：
《Infinite dimensional portfolio representation as applied to model points
  selection in life insurance》
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作者：
Enrico Ferri
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider the problem of seeking an optimal set of model points associated to a fixed portfolio of life insurance policies. Such an optimal set is characterized by minimizing a certain risk functional, which gauges the average discrepancy with the fixed portfolio in terms of the fluctuation of the interest rate term structure within a given time horizon. We prove a representation theorem which provides two alternative formulations of the risk functional and which may be understood in connection with the standard approaches for the portfolio immunization based on sensitivity analysis. For this purpose, a general framework concerning some techniques of stochastic integration in Banach space and Malliavin calculus is introduced. A numerical example is discussed when considering a portfolio of whole life policies.
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中文摘要：
我们考虑的问题是寻找一组与固定寿险保单组合相关的最优模型点。这种最优集的特点是最小化某个风险函数，该函数根据给定时间范围内利率期限结构的波动来衡量与固定投资组合的平均差异。我们证明了一个表示定理，该定理提供了风险函数的两个可选公式，并且可以结合基于敏感性分析的组合免疫的标准方法来理解。为此，介绍了Banach空间和Malliavin演算中一些随机积分技术的一般框架。在考虑终身保单组合时，讨论了一个数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：投资组合 Presentation immunization Differential formulations

无限维投资组合表示在人寿保险模型点选择中的应用。我们考虑寻求与固定人寿保险政策组合相关的一组最优模型点的问题。这种最优集合的特点是最小化某个风险函数，该函数根据给定时间范围内利率期限结构的波动来衡量与固定投资组合的平均差异。我们证明了一个表示理论，该理论提供了风险函数的两种可选公式，并且可能与基于敏感性分析的组合免疫的标准方法相关。为此，本文介绍了Banach空间和Malliavin演算中一些随机积分技术的一般框架。讨论了一个考虑全寿命保险单的数值例子。1引言。本文的动机是有效的投资组合表示问题，在该问题中，当允许某些或有限制时，人们试图用具有类似风险的简单投资者来替代市场证券的投资组合。在确定受政策和预算约束的对冲策略，或为了分析和管理目的而降低特定投资组合的规模和复杂性时，人们会遇到这个问题，同时又不会歪曲其固有的风险结构。作为本文的主要目的，我们通过考虑一小群具有代表性的合同（通常称为相关模型点），建立了替换给定的人寿保险单组合的问题。

监管机构允许寿险公司根据适当的模型点评估任何保单组合的绩效，以减少运营的计算难度，前提是不会导致组合本身的任何重要属性损失。我们通过基于aportfolio比较标准定义合理的最优性概念来解决这个问题。特别是，我们提出了一种方法，该方法包括将某一风险函数最小化，根据利率期限结构在给定时间范围内的变化，衡量原始投资组合和给定模型点集之间的平均差异。我们在[14]中提出的UMD Banach空间中的随机积分理论中，并通过考虑在此框架中开发的一些Malliavin微积分工具，展示了该泛函的两种不同公式，如[9、10]和[11]中所述。主要思想是遵循[3、4]和[6]中考虑的方法，将折扣价格曲线建模为连续函数Banach空间中的有限维动力学，由圆柱形维纳过程驱动。因此，任何债券组合都可以表示为这样一个空间的对偶元素。在这一框架内，通过γ-radonifyingDate的Banach空间，可以自然地描述动力学中的差异成分。日期：2020年3月24日。2010年数学学科分类。60H05-60H07-91G10-91B30。关键词和短语。有限维过程、Malliavin演算、模型点、人寿保险、敏感性分析。作者在科鲁尼亚大学期间撰写。

这项工作由欧盟H2020ITN-EID-2014唤醒电话（赠款协议643045）资助。2 ENRICO-FERRIoperators，它提供了Hilbert-Schmidt算子类的扩展[3，4]。第一个公式用Malliavin导数算子表示。特别是，我们获得的标准与[8]中提出的解决债券组合最优套期保值问题的最小化方法类似，在该方法中，通过使用Hilbert空间框架中高斯随机场的Malliavin演算引入了久期的定义。第二个公式是在模型的进一步条件下得到的，它主要涉及贴现曲线动力学的不同组成部分。我们提出的两种替代公式都是通过在Banach空间中调用微分微积分的概念来评估的。在这方面，他们自然地推广了基于敏感性分析的组合免疫标准技术。本文的组织方式如下。第2节回顾了UMD-Banach空间中随机积分理论的结果，以及我们将在本文中使用的Malliavin微积分的概念。虽然我们在本节中给出的大多数结果都是已知的，但为了方便起见，我们证明了那些我们在现有文献中无法以适当形式找到的结果。第三节收集了本文的主要数学结果。尤其是定理1，它显示了上述两个不同公式的等价性。第4节和第5节从财务角度详细描述了我们提议的设置。此外，在整个方法中，还讨论了几个关于投资组合套期保值标准问题的示例。第6节展示了在固定收益框架下处理最优套期保值组合理论的直接应用。

特别是，我们讨论了一个数值例子，其中对债券期限的解释是自然产生的。第7节完全致力于在考虑同质寿险保单的一般投资组合时描述一组最优模型点的问题。然后，在考虑终身保单组合时，讨论了一个类似的数值例子。2设置。我们所考虑的所有向量空间都假定为实数。给定向量空间S和实值a和b，我们写a。Sb表示存在一些仅依赖于S的常数β，因此a≤ βb.进一步，当恒等式a=b通过定义表示时，我们写出a，b。符号在这篇文章的后半部分，我们定义了一个可分离的Hilbert空间H，并写出H·、·IH来表示其内积。我们将始终通过Riesz表示定理来识别H及其对偶。进一步，我们考虑了Banach空间E及其对偶E*. E与E的对偶配对*用h·，·即表示。此外，我们写L（h，E）来表示将h映射到E的有界线性算子的空间。Let(Ohm, F，P）是参考完全概率空间，写I表示实线上的单位区间。在本文中，E值过程是由I索引的E值随机变量的单参数族。在大多数情况下，我们用诱导映射来识别广义值过程Ohm ×I→ E、 进一步，一个L（H，E）值过程θ，{θt:t∈ 一} 如果E值过程θH，{θth，t∈ 一} 对于任何h∈ H、 我们采用圆柱H-Wiener过程W，{Wt:t∈ 一} 。即

从H到L的一个单参数有界线性算子族(Ohm), 满足通常条件：（i）对于任何h∈ H、 过程W H，{W H:t∈ 一} 是标准布朗运动；（ii）对于任何t，s∈ I和h，h∈ H、 一个是E{WthWsh}=（s∧ t） 嗨，嗨。因此，我们定义GW，{GWt:t∈ 一} 是HWiener流程产生的强化过滤。我们说，当E值过程适用于适用于人寿保险3过滤GW中模型点选择的有限维投资组合表示时，E值过程即适用。另一方面，H-强可测过程θ：Ohm ×I 7→ 如果E值过程θH适用于任何H，则称L（H，E）适用于任何H∈ H、 γ射线化算子。我们写γ（H，E）来表示L（H，E）中γ-辐射化算子的子空间。特别是，有一个∈ γ（H，E）如果对于某些（或等效地，对于任何）正交基H，H。。。对于H，随机sumPnγnθhn在L的拓扑中收敛(Ohm; E） ，其中γ，γ。。。表示一系列独立且实值的随机变量，例如γnis标准高斯定律，对于任何n≥ 空间γ（H，E）是一个Banach空间，当赋以kθkγ（H，E）定义的范数时，EXn公司≥1γnθhnE1/2，对于任何θ∈ γ（H，E）。我们记得γ（H，E）是L（H，E）中的一个算子理想，即以下理想性质为真。引理1。设Hbe-Hilbert空间和Eand-EBanach空间。让我们∈L（H，H）和T∈ L（E，E）。那么，如果∈ γ（H，E）1有TθS∈ γ（H，E），而且下面的范数等式成立，kTθSkγ（H，E）≤ kT-kL（E，E）kθkγ（H，E）kSkL（H，H）。证据例如，参见【12】中的定理6.2。当θ∈ γ（H，E）和x*∈ E*, 我们写hx*, θiEto表示γ（H，E）和E之间的H值双配对*, 通过设置hx定义*, θiE，θ*x个*, 其中θ*表示θ的Banach空间伴随算子。

另一方面，从引理1，我们有（1）khx*, θiEkH≤ kx公司*kE公司*kθkγ（H，E）。我们还记得，如果进一步假设E是希尔伯特空间，那么γ（H，E）可以归结为将H映射到E的希尔伯特-施密特算子空间。因此，我们得到了具有相关范数的自然识别码γ（H，R）=H和γ（R，E）=E。下面的引理介绍了跟踪操作符tr（·；·）的符号。引理2。让h，h。。。是H的正交基。对于任何T∈ L（E，E*) 和θ∈ γ（H，E），系列（2）tr（T；θ），Xn≥1hT（θhn），θhniE，收敛，其和不取决于正交基h，h。。。ofH。证据例如，参见[2]中的引理2.3。关于空间γ（H，E）及其进一步性质的详尽描述，请参见[12]和[13]。马立夫导数。在本文中，我们写H=L（I；H）。对于Malliavin意义下的任何E值变量Z可微，我们为其Malliavin导数写DZ。更准确地说，我们将Malliavin导数理解为来自L的closableoperator(Ohm; E） 进入L(Ohm; γ（H，E）），（参见，例如，[9，10]和[11]）。我们用Dsuch表示闭包，用H1,2（E）表示L中D的域(Ohm; E） 。我们记得H1，2（E）是一个巴拿赫空间，当它被赋以normkZkH1，2（E），{kZkL(Ohm;E） +kDZkL(Ohm;γ（H，E））}1/2，对于任何Z∈ H1,2（E）。类似地，H2,2（E）表示D，D的域o D英寸L(Ohm, E） 。当E=R时，我们在特例中写Hk，2，Hk，2（R），表示k=1，2。随机演化。在本文中，我们始终假设E是一个类型为2的UMD空间（参见[10]和[13]）。Letξ∈ L(Ohm; E） 是一个强可测的随机变量。考虑一个适应性强可测的E值随机过程b={bt:t∈ 一} ，属于toL(Ohm; L（I；E））。

设σ={σt:t∈ 一} 是一类适应的H-强可测L（H，E）-值过程，属于L(Ohm; L（I；γ（H，E）））。此外，我们假设以下条件成立，（3）ξ∈ H1,2（E），b∈ H1,2（L（I；E）），σ∈ H2,2（L（I；γ（H，E）））。下面的结果将在本文的后面部分有用。引理3。过程σ被定义为L的一个元素(Ohm; γ（H，E））。此外，对于k=1，2，我们有σ∈ Hk，2（γ（H，E）），下面的范数不等式成立，（4）kσkHk，2（γ（H，E））。EkσkHk，2（L（I，γ（H，E）））。证据由于空间E被假定为类型2，因此存在一个连续的线性基床：L（I，γ（H，E））→ γ（H，E），算子范数满足kik≤ β、 式中，β表示E的2型常数（见[15]，引理6.1）。因此，过程σ被很好地定义为L的一个元素(Ohm; γ（H，E））。此外，还有k·kγ（H，E）。Ek·kL（I；γ（H，E）），因此对于k=1，2，以下不等式成立，（5）k·kHk，2（γ（H，E））。Ek·kHk，2（L（I，γ（H，E）））。因此，由于我们假设σ∈ H2,2（L（I；γ（H，E））），从不等式（5）我们得到σ∈ H1,2（γ（H，E））。我们将使用【13】和【14】中定义的随机积分概念。此外，对于任何L（H，E）值随机可积过程ψ，{ψt:t∈ 一} ，我们将写出EziψtdWt=δ（ψ），其中δ表示L上定义的散度算子(Ohm; γ（H，E）），（见[10]，定理5.4）。对于任何随机可积L（H，R）值过程，It^o等距的形式如下所示。引理4。设ψ，{ψt:t∈ 一} 是一个适应的H-强可测和随机积分过程，取L（H，R）中的值。那么，对于任何t∈ 一、 单相ZtψsdWs= EZtkψskHds.证据修复t≥ 1，设hn，表示n≥ 1，是H的正交基。

那么，对于anyn≥ 1，过程ψhn，{hψt，hniH:t∈ 一} 关于toW hn，{Wthn:t是随机可积的∈ 一} ，对于任何t∈ I以下表示成立，（6）ZtψsdWs=Xn≥1Zthψs，hniHdWshn，其中（6）中级数的收敛性可以在L的拓扑中理解(Ohm), （见[13]，推论3.9）。无限维投资组合表示应用于人寿保险5中的模型点选择，因为过程W Hn和W Hm对于任何n，m都是独立的≥ 1这样的n 6=m，连同它的等距，对于任何t∈ 我知道了，EZthψs，hniHdWshn·Zthψs，hmiHdWshm= δnmEZthψs，hniHdWshn= δnmEZt | hψs，hniH | ds（7） 其中，如果n=m，δnm表示Kroneckerδnm=1，否则δnm=0。因此，我们有ZtψsdWs（i） =EXn公司≥1Zthψs，hniHdWshn=Xn公司≥1Xm≥1E级Zthψs，hniHdWshn·Zthψs，hmiHdWshm（ii）=Xn≥1E级Zt | hψs，hniH | ds= EZtkψskHds.其中，在（i）中，我们使用了表示（6）和（ii）标识（7）。引理5。过程σ是随机可积的。证据结果直接来自于[13]中的推论3.10，因为σ∈ L(Ohm; L（I；γ（H，E）））。考虑E值随机过程ξ，{ξt:t∈ 一} 通过设置确定，（8）ξt，ξ+Ztbsds+ZtσsdWs，对于任何t∈ 一、 以下结果取自【11】；为了方便起见，我们提供了一个证明。引理6。对于任何t∈ 一、 我们有ξt∈ H1,2（E）。首先，我们证明以下引理。引理7。对于任何t∈ 一、 我们有ξt∈ L(Ohm; E） 定义明确，且更多∈IkξtkL(Ohm;E） <∞.引理7的证明。注意，由于算子δ是线性的，从H1,2（γ（H，E））到L是连续的(Ohm; E） ，（见[11]，命题4.3），我们通过调用引理3 thatkδ（σ）kL(Ohm;E） 。EkσkH1,2（γ（H，E））。EkσkH1,2（L（I；γ（H，E）））。因此，支持∈IkξtkL(Ohm;E）≤ kξkL(Ohm;E） +kbkL(Ohm;L（I；E））+kδ（σ）kL(Ohm;E） 。EkξkL(Ohm;E） +kbkL(Ohm;L（I；E））+kσkH1,2（L（I；γ（H，E）））和ξt∈ L(Ohm; E） 对于任何t∈ 我

如【11】中所述，对于任何t∈ 一、 我们理解[0，t]：H→ H作为有界和线性规划者定义的灰∈ H 7→ （[0，t]h）（·），[0，t]（·）h（·）。备注1。根据引理1，我们可以通过设置（Bθ）H，θ（Bh），将[0，t]视为γ（H，H2，2（E））上的一个定义良好的算子，对于任何θ∈ γ（H，H1,2（E））。6引理的ENRICO Ferrioproof 6。注意，通过线性，足以证明δ（[0，t]σ）∈ H1,2（E），对于任何t∈ 一、 自ξ起∈ H1,2（E）和b∈ H1,2（L（I，E））。首先，我们可以把σ看作γ（H，H2，2（E））的一个元素，因为引理3中有σ∈ H2,2（γ（H；E））和空间H2,2（γ（H，E））与γ（H，H2,2（E））等距，（见[11]，定理2.9）。因此，根据备注1，我们得到了[0，t]σ∈ H2,2（γ（H，E）），对于任何t∈ 一、 因此δ（[0，t]σ）∈ H1,2（E），根据【11】中的命题4.4。3风险功能和优化。设D是一些UMD-Banach空间。a函数ψ：I×E→ 如果D在第一个变量中是可微分的，并且在第二个变量和函数ψ中是连续两次可微分的，则称D为C1,2类，kψ，对于k=1、2和ψ在I×E上是连续的。此外，当满足以下条件时，我们可以说ψ属于C1,2b类，（9）kψk∞, sup（t，x）∈I×Ekψ（t，x）kL（E，D）<∞.在这里和续集中，我们写道kψ表示ψ对第k个分量的导数，对于任何k=1，2。在这一节中，我们总是假设一个E值过程ξ，{ξt:t∈ 一} 通过身份定义（8）是先验的。定义1。我们说函数ψ：I×E→ 如果以下条件成立，则C1,2类的D是相对于ξ的BS函数。（10）ψ（t，ξt）+tr(ψ（t，ξt）；σt）=0，对于任何t∈ 一、 下面的结果描述了过程ψ（t，ξt）的动力学，对于t∈ 一、 当ψ是相对于ξ的BS函数时。引理8。设ψ：I×E→ D是C1,2类的函数。