使用产品beta分布生成VaR场景

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英文标题：
《Generating VaR scenarios with product beta distributions》
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作者：
Dietmar Pfeifer and Olena Ragulina
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We propose a Monte Carlo simulation method to generate stress tests by VaR scenarios under Solvency II for dependent risks on the basis of observed data. This is of particular interest for the construction of Internal Models and requirements on evaluation processes formulated in the Commission Delegated Regulation. The approach is based on former work on partition-ofunity copulas, however with a direct scenario estimation of the joint density by product beta distributions after a suitable transformation of the original data.
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中文摘要：
我们提出了一种蒙特卡罗模拟方法，根据观察到的数据，通过偿付能力II下的VaR情景生成依赖风险的压力测试。这对于委员会授权条例中制定的内部模型和评估流程要求的构建尤其重要。该方法基于以往关于单位copula划分的工作，但在对原始数据进行适当转换后，通过乘积beta分布直接估计联合密度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Generating_VaR_scenarios_with_product_beta_distributions.pdf (1.11 MB)

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关键词：beta ETA Bet VaR distribution

使用产品β分布生成Solvency II下的VaR情景Dietmar Pfeifer和Olena Ragulinao 2018年10月16日摘要我们提出了一种蒙特卡罗模拟方法，以根据观察数据生成Solvency II下依赖风险的VaR情景压力测试。这对于委员会授权条例中制定的内部模型和评估流程要求的构建特别有意义。该方法基于以往关于单位copula划分的工作，但在对原始数据进行适当转换后，通过乘积betadistributions直接估计联合密度。Solvency II、多元密度估计、产品β分布、变量估计数学主题分类62H05、62H12、62H17、62H201简介可能相关随机变量的联合密度估计历史悠久。除了经典的参数方法和核密度方法（参见SCOTT（2016））外，其他技术也对最近的时间感兴趣，如样条数据插值（参见SCHUMAKER（2015））。目前保险和金融领域经常使用的另一种方法是将问题分解为边际分布估计，并通过copulas估计内部依赖结构（参见MCNEIL ET AL.（2015）的一般调查）。特别是，Bernstein copulas和更一般的单位copulassem划分非常适合依赖风险的蒙特卡罗研究，从中可以轻松估计风险价值（VaR）或预期缺口等风险度量（参见BLUMENTRITT（2012），CHERUBINI ET AL。

（2004）、COTTIN和PFEIFER（2014）、DURANTE和Sempi（2016）、IBRAGIMOV和PROKHOROV（2017）、JOE（2015）、MAI和SCHERER（2017）、MALEVERGNE和SORNETTE（2006）、RANK（2007）、ROSE（2015）或SZEG"O（2004）和forpartition of unity copulas，尤其是对尾部依赖的应用，PFEIFER等人（2016、2017、2018））。YANGET AL.（2015）是最近通过copulas进行尾部依赖建模的另一种方法。在ESTA和O.OKHRIN（2014）中讨论了一个非常有趣的应用于保留依赖性的索赔。根据原始数据或所谓内部模型中的适当情景进行的合理VaR估计在Solvency II下尤其重要（参见CADONI（2014）、CRUZ（2009）、EMBRECHTS等人（2013）、MAINIK（2015）或SANDST"OM（2011））。在本文中，我们提出了一种简单的随机蒙特卡罗算法，用于生成各种VaRCarl von Ossietzky Universit"at Oldenburg，GermanyTaras Shevchenko National University of Kyiv，Ukrainescenarios，适用于在内部模型中进行比较，以计算解决资本要求。请注意，欧盟（2015年）关于在欧盟（2015年）实施偿付能力II的规定要求在多个条款中考虑此类情况，特别是关于风险管理系统的第259条，其中指出保险和再保险承诺应在适当情况下，在风险管理系统中，包括对企业面临的所有相关风险进行压力测试和情景分析。此类分析的结果也必须在《委员会授权条例》第306条所述的ORSA（自身风险和偿付能力评估）报告中报告。然而，问题是，欧盟委员会授权的监管没有就如何进行此类压力测试或情景分析做出任何明确声明。

委员会授权条例第1条将“情景分析”定义为对不良事件组合影响的分析。本文开发的蒙特卡罗模拟算法允许在数学上严格描述如何生成此类场景，其灵活性足以涵盖极端情况。2蒙特卡罗算法本文的中心思想是首先用适当估计的累积分布函数（cdf）转换d个不同风险的n个边际观测值，以便所得数据可以被视为集中在d维单位立方体上的多变量分布的观测值，与copula相似，但通常不完全相同。下一步是通过集中在每个观察点周围的产品β分布的混合来近似该分布。这类似于通过Bernstein copula或相关结构对基础依赖结构的估计（参见COTTIN和PFEIFER（2014）和PFEIFER ET AL.（2016，20172018））。通过模拟的多元分布与最初估计的边际cdf的分位数函数的边际向后转换，我们获得了原始数据的近似分布的实现，这允许各种VaR情景和VaR估计，特别适用于Solvency II下的内部模型。请注意，该程序会影响所建模的依赖结构以及相关风险的边际分布。更准确地说，假设Kixis是第k个风险的第i个观察值，对于{}1，^I在和{}1中。^I kd那么，ifkF表示第k个风险的真正潜在cdf那么显然（）（）（）{}=,, | 1，，iddiFX FX i n是根据Sklar定理得到的真实基础copula的一个样本（参见DURANTE和SEMPI（2016），第2章）。

现在，如果^kF表示第k个风险的适当估计的绝对连续cdf及其相应的密度，则定义（）（）（）（）（）（）（）（），：，（1），（1）1==++aNDDKKKIKKIHX x bx m F x m F XNNE（），（0,1）^Iddxx（1）（随机产品β分布的混合物）和（）（）（）（）（）（），，：==·ddddkkkgy hF y F y F y F y for（），，^Iddyy（2），其中（1）（，：：（，）ababab-=xxbxbxfor 01<<x，0ab>表示β分布的密度，参数为a和b，（，）：（1）abab-=òbxxdx表示相应的β函数，0m>是模型的进一步转向参数。这种方法类似于COTTIN和PFEIFER（2014）的构造，类似于依赖结构的经典核密度估计，其中核由乘积betadensities表示。注意，给定，=kiXz，参数为^（1）（+kmFzand（）^（1）1（）+kmFz的β分布的期望值为^（）kFzand，其方差为^（）1（）。24（2）++kkFz FZMMSEmingly^g是多元分布（情景分布）的随机密度，它“插入”了调查中风险的原始观察值。这与JOE（2015）、第8f页或DURANTE和SEMPI（2016）的评论2.2.2相似，因为很明显，他用cdf^表示ad维度分布的随机化密度，Hand^表示由^^^^^定义的cdf^的密度，，：=dddGy y y HF y F y表示）。^Iddyy（3）注意，由于上面的注释，附加参数m本质上影响了密度^气体的形状，而带宽对核型密度估计器有影响。

一般来说，我们可以得出结论，m越大，^g越强烈地集中在原始观测值周围。根据观察结果，=ki kiXx模拟cdf^Gor后的密度^gC可创建如下：1。根据{}1上的均匀分布随机选择索引I。 n2、独立生成d个随机变量，，dZZ其中KZ采用参数^（1）+kkImFx和^（1）1+kkImFx（产品β分布）进行β分布。3、设置^：=kkkYFZThen，dYY代表所需多元情景分布的蒙特卡罗样本。显然，密度^g的形状取决于m以及边际风险cdf的估计。因此，可以生成大量场景来估计风险值或蒙特卡罗研究中以适当方式嵌入原始数据的其他风险度量。3案例研究为了简单起见，我们将集中于COTTIN和PFEIFER（2014）中给出的示例数据集，因为它也被用作关于单位copulas划分的几篇论文的数据基础（PFEIFERET AL.（2016、2017、2018）。这里我们有2=d和20=n对于对数风险，通过Q-Q图将边际分布估计为正态分布和Gumbel分布，即第一个风险为对数正态分布，第二个风险为Fréchet分布，见下表和图表。编号riskXriskX1 0468 09662 9951 26793 0866 08974 6731 22495 1421 09566 2040 11417 2967 17078 1200 10089 0426 106510 1946 116211 0676 091812 1184 133613 0960 093314 1972 107715 1549 104116 0819 089917 0063 071018 1280 111819 0824 089420 0227 0837选项卡。1图。1图2Q-Q-第一个风险的曲线图，记录数据。

第二个风险的Q-Q图，记录数据。从这一分析中，我们得到了以下位置参数项和对数风险的比例参数的估计值。m sln X 0.0954 1.1909）ln X–0.0437 0.2857选项卡。2以下图表显示了使用上述算法进行的各种蒙特卡罗模拟的散点图，以及m的几个整数值，以及estimatedscenario density^的等高线图。g原始数据用圆圈标记。每种情况下的模拟大小为10000。为了进行比较，我们还提供了蒙特卡罗模拟的散点图，其中对于第一种风险，我们使用逐点对数正态密度，对于第二种风险，我们使用与数据点模式相匹配的Fréchet密度（参见SCOTT（2016），第6.6章）。特别地，这里使用的核密度估计器由11 2 2 2^（，：，，，，，，sa s a给出==·aiiifxy k xX k yX（4），其中ln（，）exp和（，，）exp 1，0。（5） XZKXZZKXZ xxx XAASSSSPSAAAae"o230;"o230;÷c÷c÷c÷c÷c÷c÷c=-+>÷÷÷÷ccc÷÷ccccc÷图3图4图515=m^，gy yFig的模拟散点图和等高线图。6图7图830=m^，gy yFig的模拟散点图和等高线图。9图10图1150=m^，gy yFig的模拟散点图和等高线图。12图13图。

14核密度估计；模拟散点图和双变量密度等值线图对于核密度估计，使用了参数0.3s=和7a=。下表显示了根据100000次模拟计算得出的聚合风险的Varafo的各种估计值（=1 a-风险总和分布的分位数），其中表示风险水平：15=m 20=m 25=m 30=m 50=m 100=mkernel密度0.05VaR13.987 12.978 12.347 12.016 11.341 10.908 11.7540.01VaR40.637 31.235 26.989 23.966 19.498 16.580 17.2720.005VaR60.752 44.270 36.410 30.846 23.390 18.864 19.087选项卡。3显然，对于每个风险水平，估计的VaR随着m的增加而减少，这似乎是合理的，因为随着m的增加，情景分布更加集中在原始数据点周围，这也清楚地反映在上图中。对于yen，m我们将从经验分布中获得VaR估计值，即0.01a英镑的值为12.630，0.05的值为8.980。a=还要注意，使用核密度方法，通常无法获得极端情况。有趣的是，对于0.005a=（偿付能力II标准），15=m的估计风险值几乎是30的两倍=如PFEIFER ET AL.（2017、2018）所述，使用经典Bernstein copula或有限、无限或连续划分的unitycopulas进行mVaR估计，无论是否有尾部依赖，通常给出的值要小得多。下表列出了一些比较结果。负二项式的rook copula驱动程序和Gamma copula驱动程序没有显示尾部依赖性，上Fréchetcopula（UF）驱动程序显示尾部依赖性。有关技术细节，请参见PFEIFER等人（2017、2018）。BernsteinNB rook，7a=NB UF，7a=NB rook，15a=NB UF，15a=0.05VaR7.166 6.885 7.016 6.974 7.1550.01VaR15.634 15.973 15.744 15.877 16.0590.005VaR21.105 20.801 21.311 20.256 21.733Tab。

4Gamma rook，7a=伽马UF，7a=伽马rook，15a=伽马UF，15a=0.05VaR9.330 10.072 9.522 10.1910.01VaR18.113 21.224 18.550 21.4280.005VaR22.933 28.123 23.079 28.588选项卡。5下图显示了基于5000次不同M选择的模拟和上述核方法的诱导经验copulas（缩放rankvectors）的一些实现。原始数据的经验copula（标度秩向量）由每个图中的圆表示。为了进行比较，我们还展示了负二项式（NB）和伽马copula的一些实现，参数来自Tab。4和选项卡。5，摘自PFEIFER ET AL.（2017、2018）和COTTIN and PFEIFER（2014）。图15图16图1715；m=经验copula 30；m=经验copula 50；m=经验copulaFig。18图19图20经验核copula15；a=伽马-鲁克copula 15；a=γ-UF-连接图。21图22图2315；a=NB rook copula 15；a=NB UF copula-Bernstein copula似乎，单独使用各种copula方法的结构（有无尾依赖）并不能暗示总风险的VaR估计的高度。根据0.005a=（Solvency II标准）的VaR估计值的递减幅度对数字进行排序：图15、图16、图20、图17、图19、图22、图23、图21和图。最后，我们给出了5000次模拟得出的对数风险边际分布的Q-Q图，用于不同的M选择和上述核方法。理论分位数的绘图位置使用表中的参数进行选择。2.

此外，原始数据点显示为圆形。图24图25Q-Q-第一风险曲线图，日志数据。第二个风险的Q-Q图，记录数据。看起来，乘积贝塔法和核密度法与数据体非常吻合，而乘积贝塔法的特点是边缘分布的上尾具有本质上更高的值。这再次强调了这样一个事实，即不利的VaRestimates不能仅用copula结构来表征，但依赖结构和边际分布之间的相互作用至关重要，正如IBRAGIMOV和Prokhorov（2017）所讨论的那样。结论本文提出的算法通常在观察到的损失的基础上生成数学上定义良好的高分VAR情景，特别强调潜在的随机依赖性，它精确地再现了原始数据，并为Solvency II下的压力测试和情景分析提供了更精确的含义。它适用于任意维度，在复杂性、易于实现（即使在通常的电子表格程序中）和更大的情景VaR估计方面，通常优于核密度或经典和最新的copula方法。我们使用NEUMANN等人（2018年）讨论的19维数据集对本文中描述的程序进行了测试，并得出了类似的结论。这里的一个关键点是对边际分布的估计，这当然会在一定程度上影响结果；对于m的值也是如此。