基于导数逼近的广义盲源分离算法及其应用

现在让我们考虑一下T的情况。在这种情况下，我们可以将时间间隔[0，T]划分为多个s ubintervals（3.5）。然后我们可以通过典型的过程得到结果。8 CHOL-KYU PAK、MUN-CHOL KIM和HUN ONow我们讨论了z的误差。我们介绍了（3.1）的变分方程，如下所示。(3.10) yt=Дx（WT）+ZTtfy（s，ys）ysds公司-ZTt公司zsdWswhereДx，fy是Д，f相对于x，y和ys，zs是ys，zs相对于空间变量x的变化（见[16]），关系式（1.2），zt=年初至今。对于变分方程，我们可以导出如下方程，类似于（2.15）和（2.16）。(3.11) - γkytn=kXi=0γkiExtn[ytn+ai]+hfy（tn，ytn）年初至今+hRky、 N何处y、 n=dExtn[yt]dtt=tn-kXi=0γkihExtn[ytn+ai]。从（2.17）中，我们还得到了以下关于yn变化的方程。(3.12) - γkyn=kXi=0γkiExtn[yn+ai]+hfy（tn，yn）yn。下面的引理是关于ytand的界的年初至今。（详见【16】中的L emma 4及其参考。）引理3.2。假设假设1成立，让y和y分别为（3.1）和（3.10）的溶液。然后它认为（3.13）支持∈[0，T]E[| yt |]+支持∈[0，T]E[|yt |]≤ C、 其中，C>0是一个通用常数，仅取决于T、函数ν和f的上界及其导数。我们定义y： =年初至今-yn。然后，通过定理3.1中的类似过程，我们可以得到关于en的下列引理y、 引理3.3。

假设假设1成立，初始近似值满足maxN-ak+1≤n≤东北[| eyn |]=O（香港）。进一步假设以下不等式成立。（3.14）Pakj=2 |αj | |α|<1然后，对于足够小的时间步长t我们有（3.15）max0≤n≤N-akE[| eyn |≤ chk其中C>0是一个常数，仅取决于{γj}，T，函数ν和f的上界及其导数。BSDE的广义格式及其误差估计9现在我们给出了一个定理，该定理给出了z的误差估计。定理3.4。假设假设假设1成立，初始近似满足maxN-ak+1≤n≤NE[| eny |]=O（hk）和maxN-ak+1≤n≤NE[| enz |]=O（香港）。此外，假设定义为（3.2）的数字α，···，αAk满足以下不等式。（3.16）Pakj=2 |αj | |α|<1然后，对于足够小的时间步长t我们有（3.17）max0≤n≤N-akE[| enz |≤ chk其中C>0是一个常数，仅取决于{γj}，T，函数ν和f的上界及其导数。证据从（2.16）和（2.18）我们得到了（3.18）henz=akXj=1γkjExtn[en+ajyWn，aj]+O（hk+1）。我们可以开车Wn，j）=E[en+ajy（x+Wn，aj）Wn，aj）=ZRp2πajhexp(-y2ajh）dy==ajhE[en+ajy（x+Wn，aj）Wn，aj）=ajhExtn[en+ajy] 通过简单替换，我们得到了enz=akXj=1γkjajExtn[en+ajy] +O（hk），这将导致toE[| enz |]≤akXj=1 |γkj | ajE[| en+ajy |]+Chk。其中，C>0是一个常数。所以从引理3.3我们可以得到最大值-ak+1≤n≤NE[| enz |]≤ Chk，其中C>0是一个常数，仅取决于{γj}，T，函数ν和f的上界及其导数。10 CHOL-KYU PAK、MUN-CHOL KIM和HUN O4。讨论。在【16，15】中，作者指出，方案1的稳定性与其相应的特征密切相关，具体定义如下。（4.1）Pkγ（λ）：=kXi=0γkiλak-当λki |时，该多项式的根{λki}ki=1满足根条件≤ 1和|λki |=1=> Pkγ（λki）′6=0。

在[15]中，他们表明Pkγ（λ）的根仅在1≤ k≤ 6当采样点距离相等时，即ai=i。在[3]中，他们提出了一种基于二次距离采样点（即ai=i）的方案，有效降低了计算复杂性。现在，定理3.1和定理3.4表明，方案1的收敛性也由参数a、···、ak决定。让我们测试两种参数选择的参数是否满足条件（3.3）。第一种是ai=i的情况，第二种是ai=i的情况。在表4.1中，我们给出了将k值从2更改为7的几种方案的两种测试值。第一个值是除1之外的根的最大绝对值，它表示方案的稳定性。第二个值isPaki=2 |αi |/|α|，表示方案的收敛性。可以看出，等距格式（ai=i）在稳定性和收敛性方面无法与表4.1进行比较。参数k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7ai=i 0.33 0.33 0.81 0.42 1.56 0.56 2.73 0.70 4.65 0.86 7.87 1.02ai=i0.06 0.48 0.20 0.63 0.37 0.73 0.44 0.80 0.50 0.83 0.57 0.85满足从k=4收敛的条件，而非等效方案满足的所有条件所有测试用例。这表明，虽然使用非流动差分格式需要更多的初始近似，但它可能具有更好的收敛性和稳定性。5、结论。本文提出了BSDES的一种广义数值格式。该方案基于在一般分布的样本点上通过拉格朗日插值逼近导数。通过改变用于插值的采样点的分布，可以得到各种不同稳定性和收敛阶的数值格式。

我们给出了样本点分布的条件，以保证方案的收敛性。通过讨论，我们证明了一种基于四次距离采样点的方案是稳定的和收敛的。参考文献[1]J.Bimit，《最优随机控制中的共轭凸函数》。，《数学分析与应用杂志》，44（1973），第384-400页。[2] B.Bouchard和N.Touzi，《反向随机微分方程的离散时间近似和蒙特卡罗模拟》，随机过程。应用程序。，111（2004），第175-206页。[3] Chol kyu。Pak，Mun chol。金和张浩。Rim，一种有效的BSDE三阶方案，基于非流动差分方案，arXiv，https://arxiv.org/abs/1808.01564.[4] E.Gobet和C.Labart，《后向随机微分方程离散化的误差展开》，随机过程。一个ppl。，117（2007），第803-829页。[5] S.Hamadne和J.Lepeltier，《零和随机微分对策与后向方程、系统与控制函》，24（1995），第259-263页。BSDE的广义格式及其误差估计11【6】N.E.Karoui、S.Peng和M.C.Quenez，《金融中的倒向随机微分方程》，数学。《金融》，7（1997），第1-71页。[7] J.Ma、P.Protter、J.San Martin和S.Torres，《反向随机微分方程的数值方法》，Ann。应用程序。概率。，12（2002），第302-316页。[8] J.Ma，P.Protter和J.Yong，求解正反向随机微分方程多重四步格式，Probab。《理论相关领域》，98（1994），第339-359页。[9] G.N.Milstein和M.V.Tretyakov，《前向-后向随机微分方程的数值算法》，SIAM J.Sci。计算。，28（2006），第561-582页。[10] E。

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