最优投资消费与有资本寿险

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英文标题：
《Optimal investment-consumption and life insurance with capital
  constraints》
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作者：
Rodwell Kufakunesu and Calisto Guambe
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The aim of this paper is to solve an optimal investment, consumption and life insurance problem when the investor is restricted to capital guarantee. We consider an incomplete market described by a jump-diffusion model with stochastic volatility. Using the martingale approach, we prove the existence of the optimal strategy and the optimal martingale measure and we obtain the explicit solutions for the power utility functions.
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中文摘要：
本文的目的是解决投资者受限于资本担保时的最优投资、消费和人寿保险问题。我们考虑了一个由随机波动率跳扩散模型描述的不完全市场。利用鞅方法，证明了最优策略和最优鞅测度的存在性，得到了幂函数的显式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Optimal_investment-consumption_and_life_insurance_with_capital_constraints.pdf (254.46 KB)

2022-6-10 10:32:36 上传

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关键词：Optimization Quantitative consumption Game Theory Measurement

具有资本约束的最优投资消费和人寿保险Calisto GUAMBE和RODWE L KUFAKUNESUAbstract。本文的目的是解决投资者受限于资本担保时的最优投资、消费和人寿保险问题。我们考虑一个由随机波动率跳变扩散模型描述的完整市场。利用鞅方法，我们证明了最优策略和最优鞅测度的存在性，并得到了幂效用函数的显式解。1、默顿（Merton）[18]提出的最优消费投资问题引入了许多扩展。1975年，理查德（Richard）[26]首次将这个问题扩展到人寿保险决策。其他参考文献包括（Huang e t al【10】、Pliska和Ye【21】、Liang和Guo【17】）。最近，Kronborg和Steffeensen[1 5]将这个问题扩展到包括资本约束，之前由Tepl'a[27]和El Karoui等人[6]提出。上面提到的大多数参考文献都在一个差异框架下解决了这个问题。然而，正如默顿和许多经验数据所指出的那样，对价格演变的分析揭示了一些由外部信息流引起的突发和罕见的中断（跳跃）。这些行为构成了大多数投资者真正关心的问题，可以用泊松过程来建模，泊松过程的跳跃发生在罕见且不可预测的时间。有关详细信息，请参见Jeanblanc Picque和Pontier【11】、R ung galdier【24】、Daglish【4】、Oksendal和Sulem【25】、Hanson【8】以及其中的参考文献。在本文中，我们考虑了一个具有随机波动率的跳跃扩散问题，如Mnif[20]。在他的论文中，Mnif【20】使用动态编程方法解决了投资组合优化问题。

将该技术应用于跳跃扩散模型，与该问题相关的HamiltonJacobi-Bellman（HJB）方程是非线性的，通常不提供明确的解决方案。为了证明光滑解的存在性，他在一定条件下将HJB方程的非线性化为半线性方程。我们在扩散过程中使用了Karatzas等人【13】和Karatzas及Shreve【14】开发的鞅方法来解决无限制问题。考虑到跳跃扩散模型，amarket是不完整的，因此我们有许多鞅测度。通过凸优化方法，我们得到了最优的投资、消费和人寿保险策略。这种方法可以刻画幂型效用函数的最优鞅测度。在文献中，该方法也已应用于2018年8月15日。关键词和短语。最优投资消费保险、跳跃扩散、鞅方法、不完全市场、基于期权的投资组合保险。2 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUby Castaneda Leyva和Hern'andez Hern'andez[1]在考虑由扩散过程描述的随机波动率模型的最优投资消耗问题中。类似作品包括（Liang和Guo【17】、Michelbrink和Le【19】以及其中的参考文献）。受限问题的最优解来自无约束最优解，应用ElKaroui等人开发的基于期权的投资组合保险（O BPI）方法。OBPI方法包括提取一定部分资本，投资于无约束问题的最优投资组合，剩余部分用美式看跌期权确保头寸。我们证明了策略的可容许性和最优性。本文的结构安排如下。

在第2节中，我们介绍了金融和保险市场的模型和问题公式。第三节，求解无约束问题。在第4节中，我们解决了约束问题并证明了我们的策略的可容许性。最后，在第5节中，我们给出了一个结论。2、金融模型我们考虑二维布朗运动W={W（t）；W（t），0≤ t型≤ 与完全过滤概率空间相关的T}(OhmW、 FW，{FWt}，PW），使得{W（t），W（t）}与相关系数相关|| < 1，即dW（t）·dW（t）=dt。此外，我们考虑了泊松过程N={N（t），FN（t），0≤ t型≤ 与完全过滤概率空间相关的T}(OhmN、 FN，{FNt}，PN），具有强度λ（t）和PN鞅补偿泊松过程▄N（t）：=N（t）-Ztλ（t）dt。我们假设强度λ（t）在[0，t]上是Lebesgue可积的。考虑产品空间：(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P）：=(OhmW×OhmN、 FW公司 FN，{FWt FNt}，PW PN），其中{Ft}t∈[0，T]是一种满足通常条件的过滤（Protter[23]）。在这个空间上，我们假设W和N是独立的过程。金融市场由无风险资产B组成：=（B（t）t∈[0，T]），非交易指数Z：=（Z（T）T∈[0，T]），可被视为外部经济因素，如温度、损失指数或波动驱动因素和风险资产S：=（S（T））T∈[0，T]与Z（T）相关。该市场由以下跳跃扩散模型定义：dB（t）=r（t）B（t）dt，B（0）=1，（2.1）dZ（t）=η（Z（t））dt+dW（t），（2.2）dS（t）=S（t）hα（t，Z（t））dt+β（t，Z（t））dW（t）+σ（t，Z（t））dW（2.3）+γ（t，Z（t））dN（t）i，S（0）=S>0，其中r（t）是无风险利率，α（t，Z）、β（t，Z）、σ（t，Z）和γ（t，Z）>-1分别表示平均回报率、波动率和分散率。

利用Lattercondition和Z的连续性，我们保证（2.3）定义良好。最优投资组合、消费和保险3我们假设市场参数满足以下条件：（A）函数r:[0，T]→ Rα、 β，σ，γ：[0，T]×R→ R属于具有有界导数的C1,1（[0，T]×R）。此外，对于ll（t，z）∈ [0，T]×R和K>0，|α（T，z）|+|β（T，z）|≤ K |σ（t，z）|≤ K（1+| z |）。为了保证（2.2）解的存在性和唯一性，我们在R值f函数η上假设一个lipschitz条件：（a）存在一个正常数C，使得η（y）- η（w）|≤ C | y- w |，y，w∈ R在上述假设下，随机微分方程（SDE）（2.2）的解由（2.4）Z（t）=Z+Ztη（Z（s））ds+ZtdW（s）给出。让我们考虑一个保单持有人，其寿命是概率空间上定义的非负随机变量τ(Ohm, F、 P）且独立于过滤Ft。

考虑τ有一个概率密度函数f（t）和由f（t）给出的分布函数：=P（τ<t）=Ztf（s）ds。寿命τ>t的概率由'F（t）：=P（τ）给出≥ t | Ft）=1- F（t）。保单持有人在t时生存的瞬时死亡力u（t）由u（t）定义：=limt型→0P（t≤ τ<t+t |τ≥ t）t=直线电机t型→0P（t≤ τ<t+t）tP（τ≥ t） =(R)F（t）limt型→0F（t+t）- F（t）t=f（t）(R)f（t）=-滴滴涕（ln（(R)F（t）））。然后，保单持有人的条件生存概率由（2.5）F（t）=P（τ>t | Ft）=exp给出-Ztu（s）ds,4 CALISTO GUAMBE和RODWELL Kufakunesua以及保单持有人死亡的条件生存概率密度（2.6）f（t）：=u（t）exp-Ztu（s）ds.设c（t）为投保人的消费率，π（t）为投保人投资于风险资产的财富金额，p（t）为在时间t支付的保险金额∈ [0，T]针对工薪阶层在时间T之前死亡的人寿保险。我们假设策略（c（t）、π（t）、p（t））满足以下定义：定义2.1。消耗率是可测量的、Ft适应的过程，无nnega t IVE和ZTC（t）dt<∞, a、 分配过程π是一个Ft可预测过程，ztπ（t）dt<∞, a、 s.保险过程p是可测量的，Ft适应过程，非负且ZTP（t）dt<∞, a、 假设政策持有者获得的劳动收入率是确定的l（t）≥ 0, t型∈[0, τ ∧ 股票是可分割的，可以连续交易。

此外，我们假设交易中不存在交易成本、税收或卖空约束，然后经过一些计算，财富过程X（t），t∈ [0, τ ∧ T]由以下SDE定义：dX（T）=[（r（T）+u（T））X（T）+π（T）（α（T，Z（T））- r（t））+l（t）- c（t）- u（t）p（t）]dt（2.7）+π（t）β（t，Z（t））dW（t）+π（t）σ（t，Z（t））dW（t）+π（t）γ（t，Z（t））dN（t），X（0）=X>0，其中Z（t）由（2.4）和τ给出∧ T：=最小{τ，T}。表达式u（t）（p（t）- X（t））dt根据财富过程（2.7），cor r espo nds to the risk premium rate to pay for the life insurance p at time t，从财富过程（2.7）中，我们得出了在t时支付人寿保险p的风险费率。

请注意，选择p>X对应于购买人寿保险，而p<X对应于出售人寿保险，即购买年金（Kronborg和Steffeensen[15]）。从定义2.1和条件（A）中，我们可以看到财富过程（2.7）得到了很好的定义，并且有一个唯一的解，即x（t）=xeRt（r（s）+u（s））ds+ZteRts（r（u）+u（u））duhπ（s）（α（s，Z（s））- r（s））+l（s）- c（s）-u（s）p（s）ids+Ztπ（s）β（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudW（s）最优投资组合，消费和保险5+Ztπ（s）σ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudW（s）+Ztπ（s）γ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u）dudN（s）。（2.8）我们定义了一个新的概率测度Q，它等价于P，其中S是局部鞅。Radon-Nikodym导数由∧（t）：=expnZt[（1）给出- ψ（s））λ（s）-θ（s，Z（s），ψ（s））-ν（s，ψ（s））]ds+Ztν（s，Z（s），ψ（s））dW（s）+Ztθ（s，Z（s），ψ（s））dW（s）+Ztln（ψ（s））dN（s）o.（2.9）根据Q下的Girsanov定理，我们得到：dWQ，ψ（t）=dW（t）- ν（t，Z（t），ψ（t））dt，dWQ，ψ（t）=dW（t）- θ（t，Z（t），ψ（t））dt，dNQ（t）=dN（t）- ψ（t）λ（t）dt分别是布朗运动和补偿泊松随机测度，其中（见RungGaldier[24]）（2.10）ν（t，Z（s），ψ（t））=β（t，Z（t））β（t，Z（t））+σ（t，Z（t））（r（t）- α（t，Z（t））- γ（t，Z（t））ψ（t）λ（t）），（2.11）θ（t，Z（t），ψ（t））=σ（t，Z（t））β（t，Z（t））+σ（t，Z（t））（r（t）- α（t，Z（t））- γ（t，Z（t））ψ（t）λ（t）），对于任何Ft适应的有界测度ψ>0。我们假设β（t，Z（t））+σ（t，Z（t））6=0。因此，我们有很多鞅测度，因此不完全市场。注意，从相关参数的有界性来看，可预测过程ν，θ是有界的。

然后，可以证明随机指数（2.9）是一个正鞅（见Delong[5]，命题2.5.1.）。从（2.10）和（2.11）中，我们得到：【π（t）（α（t，Z（t））- r（t））+π（t）β（t，Z（t））ν（t，Z（t），ψ（t））+π（t）σ（t，Z（t））θ（t，Z（t），ψ（t））+π（t）γ（t，Z（t））ψ（t）λ（t）]=0，然后在Q下，财富过程的动力学由dx（t）=[（r（t）+u（t））X（t）+l（t）- c（t）- u（t）p（t）]dt+π（t）β（t，Z（t））dWQ，ψ（t）+π（t）σ（t，Z（t））dWQ，ψ（t）+π（t）γ（t，Z（t））dNQ，ψ（t），（2.12），给出以下表示：X（t）=xeRt（r（s）+u（s）ds+ZteRts（r（u）+u（u））duhl（s）- c（s）- u（s）p（s）ids（2.13）+Ztπ（s）β（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudWQ，ψ（s）6 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESU+Ztπ（s）σ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudWQ，ψ（s）+Ztπ（s）γ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudNQ，ψ（s）。以下定义介绍了可接受策略的概念。定义2.2。将可接受的策略集{A}定义为消费、投资和人寿保险策略，其中（2.13）给出的相应财富过程得到了很好的定义，（2.14）X（t）+g（t）≥ 0, t型∈ [0，T]，其中g是未来劳动收入的时间T精算值，由（2.15）g（T）：=E确定中兴通讯-Rst（r（u）+u（u））dul（s） ds |英尺.自等式，ψZtπ（s）β（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudWQ，ψ（s）= 0，（2.16）等式，ψZtπ（s）σ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudWQ，ψ（s）= 0，（2.17）式，ψZtπ（s）γ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudNQ，ψ（s）= 0，（2.18）我们看到，（2.13）中的最后三项是Q局部鞅和（2.14）中的asupermartingale（参见Karatzas等人[12]）。

然后，策略（c，π，p）是可容许的，且仅当X（T）≥ 0和t型∈ [0，T]，（2.19）X（T）+g（T）=等式，ψhZTte-Rst（r（u）+u（u））du[c（s）+u（s）p（s）]ds+e-RTt（r（u）+u（u））duX（T）| Fti。在时间零点，这意味着战略必须满足以下预算约束：（2.20）X（0）+g（0）=等式，ψ中兴通讯-Rt（r（u）+u（u））du[c（t）+u（t）p（t）]dt+e-RT（r（u）+u（u））duX（T）.请注意，条件（2.14）允许财富变为负值，只要其绝对值不超过（2.15）中未来劳动收入的精算值g（t），从而防止家庭从未来劳动收入中借款。正如克伦堡和斯特芬森[15]所言，以下评论对本文的其余部分很有用。最佳投资组合、消费和保险7备注。定义（2.21）Y（t）：=中兴通讯-Rs（r（u）+u（u））du[c（s）+u（s）p（s）- l（s） ]ds+X（t）e-Rt（r（u）+u（u））du，t∈ [0，T]。根据（2.13），我们得到了条件（2.16）、（2.17）和（2.18）已满，当且仅当ifY是Q下的一个变量。自然的解释是，在Q下，贴现财富加上贴现养老金应为鞅。值得注意的是，如果Y是Q下的一个马氏体，那么X的动力学可以用以下形式表示：dX（t）=[（r（t）+u（t）]X（t）+l（t）- c（t）- u（t）p（t）]dt+φ（t）dWQ，ψ（t）（2.22）+φ（t）dWQ，ψ（t）+Д（t）dNQ，ψ（t），对于某些FWt适应过程φ，φ（t）和FNt适应过程φ，满足φ（t），ν（t）∈五十、 对于任何t∈ [0，T]，那么在Q下，Y是一个martinga-le。3、无限制问题在本节中，我们使用鞅对偶方法来解决主要的优化问题。考虑凹面、非递减、上半连续和差异性。r、 t.第二变量效用函数Uk:[0，t]×r+→ R+，k=1，2，3。