带反馈的McKean-Vlasov方程的半解析解

另一方面，对于R≈ 0.4和较低端的波动率很容易得到α>5.3热势法在本节中，我们计算布朗运动的跃迁密度和第一次通过密度，在正半轴上具有已知的时间依赖漂移u（t）。转移概率密度p（t，x，z）满足Ko-lmo-gorov正演方程（2）。我们首先使用具有未知权函数的热势方法推导出p（t，x；z）的表达式，该函数可作为第二类Volterra方程的解。接下来，我们将p（t，x；z）的表达式与x进行区分，并将其限制为0，以便在（1）中找到Y的第一个信息密度，或在（3）中找到g的第一个信息密度。这个极限不太为人所知，所以我们计算它的完整性。下面我们尽可能省略z。3.1过渡密度t M（t）=Rtu（t′）dt′的半封闭公式。变量（t，x）的变化→ （t，y）=（t，x- M（t））屈服于以下Cauchy-Dirichlet问题：pt（t，y）=py y（t，y），p（0，y）=δ（y- z），p（t，-M（t））=0。（5） 我们将p分成两部分sp（t，y）=q（t，y）+H（t，y），其中H（t，y）是标准热核，H（t，y）=exp-（y）-z） 2吨√2πt。q的相应问题的形式为qt（t，y）=qy y（t，y），q（0，y）=0，q（t，-M（t））=-经验值-（M（t）+z）2t√2πt。我们使用热势法（见Lipton（2001），第462–468页）。因此，对于mq（t，y）=Zt（y+M（t′）exp，我们在中表示q-（y+M（t′）2（t-t′）q2π（t-t′）ν（t′）dt′，其中ν是一个合适的权重，将根据边界条件确定。假设ν（t）已知，我们可以恢复到原始变量，g etp（t，x）=Zt（x- ψ（t，t′）exp-（十）-ψ（t，t′）2（t-t′）q2π（t- t′）ν（t′）dt′+exp-（十）-M（t）-z） 2t，√2πt，（6），其中ψ（t，t′）=M（t）-M（t′）。通过构造，（6）中的p满足（5）中的前两个方程。

我们还需要满足（5）中的边界条件。很容易显示（见附录A）L：=limx→0Zt（x- ψ（t，t′）exp-（十）-ψ（t，t′）2（t-t′）q2π（t-t′）ν（t′）dt′=ν（t）-Ztψ（t，t′）Ξ（t，t′）q2π（t- t′）ν（t′）dt′。需求极限→0p（t，x）=0，从而得出第二类v，ν（t）的Volt-erra积分方程-Ztψ（t，t′）Ξ（t，t′）q2π（t- t′）ν（t′）dt′+exp-（M（t）+z）2t√2πt=0，（7）其中Ξ（t，t′）=exp-ψ（t，t′）2（t- t′）！，t 6=t′，Ξ（t，t）=1.3.2边界损失率的计算在本节中，我们从（3）计算g（t），通过第一次微分（6）抑制z，px（t，x）=Zt1-（十）- ψ（t，t′）（t- t′）！经验值-（十）-ψ（t，t′）2（t-t′）q2π（t-t′）ν（t′）dt′- （十）- M（t）- z） 经验值-（十）-M（t）-z） 2吨√2πt。在附录A中，我们表明L：=limx→0Zt1-（十）- ψ（t，t′）（t- t′）！经验值-（十）-ψ（t，t′）2（t-t′）q2π（t- t′）ν（t′）dt′=2Mt（吨）-√2πtν（t）+Zt1.-ψ（t，t′）（t-t′）Ξ（t，t′）ν（t′）- ν（t）q2π（t- t′）dt。相应地，g（t）=Mt（吨）-√2πtν（t）+Zt1.-ψ（t，t′）（t-t′）Ξ（t，t′）ν（t′）- ν（t）q2π（t-t′）dt′+（M（t）+z）exp-（M（t）+z）2t√2πt.（8）3.3直接计算损失率或者，我们可以使用（3）byg（t）=-ddtZ公司∞p（t，x）dx，因此g（t）=-滴滴涕Z∞（十）- ψ（t，t′）exp-（十）-ψ（t，t′）2（t-t′）q2π（t- t′）dxν（t′）dt′-ddtZ公司∞经验值-（十）-M（t）-z） 2吨√2πtdx=-滴滴涕Z∞-ψ（t，t′）ξexp-ξ2（t-t′）q2π（t-t′）dξν（t′）dt′-ddtZ公司∞-（M（t）+z）√特克斯普-ξ√2πdξ=ddtZtR∞-ψ（t，t′）d经验值-ξ2（t-t′）p2π（t-t′）ν（t′）dt′-滴滴涕ΦM（t）+z√t型= -ddtZtΞ（t，t′）p2π（t- t′）ν（t′）dt′-Mt（吨）-（M（t）+z）2t经验值-（M（t）+z）2t√另外，我们可以通过直接计算很容易地验证这两个表达式是否一致。我们应用以下引理，这在第4.1节中也很有用。引理1考虑一个可微函数Ξ（t，t′），使得Ξ（t，t）=1。

然后，ddtZtΞ（t，t′）ν（t′）p2π（t-t′）dt′=ν（t）√2πt+Ztν（t）- （Ξ（t，t′）- 2（t- t′）Ξt（t，t′）ν（t′）q2π（t- t′）dt′=Zt（（Ξ（t，t′）- 2（t- t′）Ξt（t，t′）ν（t′）t′p2π（t-t′）dt′。证据见附录C。我们使用（7）并重写了formMt（t）exp中的第二项-（M（t）+z）2t√2πt=-Mt（t）ν（t）+Mt（t）Ztψ（t，t′）Ξ（t，t′）q2π（t- t′）ν（t′）dt′。使用引理中的第一个等式，我们得出以下表达式（t）=Mt（吨）-√2πtν（t）-Ztν（t）- （Ξ（t，t′）- 2（Mt（t）ψ（t，t′）Ξ（t，t′）+（t- t′）Ξt（t，t′））ν（t′）q2π（t-t′）dt′+（M（t）+z）exp-（M（t）+z）2t√我们注意到Ξt（t，t′）=-Mt（t）ψ（t，t′）（t-t′）+ψ（t，t′）2（t- t′）！Ξ（t，t′），所以Ξ（t，t′）- 2（Mt（t）ψ（t，t′）Ξ（t，t′）+（t- t′）Ξt（t，t′）=1-ψ（t，t′）（t- t′）！Ξ（t，t′），其中（8）f如下。4 McKean-Vlasov方程的解现在，对于我们在（7）和（8）中设置的McKean-Vlasov方程（4），M（t）=-αZtg（t′）dt′，ψ（t，t′）=M（t）- M（t′）=-αZtt′g（t′）dt′′=-αOhm （t，t′），以获得积分方程组ν（t）+ZtαOhm （t，t′）膨胀-αOhm（t，t′）2（t-t′）q2π（t- t′）ν（t′）dt′+exp-(αOhm（t，0）-z） 2吨√2πt=0，g（t）+αg（t）+√2πtν（t）+（αOhm （t，0）- z） 经验值-(αOhm（t，0）-z） 2吨√2πt+Ztν（t）-1.-αOhm（t，t′）（t-t′）经验值-αOhm（t，t′）2（t-t′）ν（t′）q2π（t- t′）dt′=0。（9） 在附录B中，我们给出了特殊情况下的显式解，特别是当没有反馈时，α=0，M（t）=0。通常，只能找到解的近似值。在这一节的剩余部分，我们给出了一个渐近和数值方法。4.1微扰解我们将（9）的解以α的幂形式展开：（ν（t），g（t））=（ν（t），g（t））+α（ν（t），g（t））+α（ν（t），g（t））+。。。，我们将在前两个学期后截断。

这将为我们提供一个分析表达式，该表达式可以很好地近似α的小值。我们得到了（ν（t），g（t））和（ν（t），g（t））的以下系统：ν（t）+经验-z2t型√2πt=0，g（t）+√2πtν（t）+Zt（ν（t）- ν（t′）q2π（t- t′）dt′-z扩展-z2t型√2πt=0。ν（t）+ZtOhm（t，t′）q2π（t- t′）ν（t′）dt′+zOhm（t，0）exp-z2t型√2πt=0，g（t）+g（t）ν（t）+√2πtν（t）+Zt（ν（t）- ν（t′）q2π（t- t′）dt′+1.-zt公司Ohm（t，0）exp-z2t型√2πt=0，其中Ohm（t，t′）=Rtt′g（t′）dt′。

甘地方程可以写成g（t）+Ztν0t（t′）q2π（t-t′）dt′-z扩展-z2t型√2πt=0，g（t）+g（t）ν（t）+Ztν1t（t′）p2π（t- t′）dt′+1.-zt公司Ohm（t，0）exp-z2t型√2πt=0。因此，使用附录B f中的结果或α=0，ν（t）=-经验值-z2t型√2πt，g（t）=z exp-z2t型√2πtOhm（t，t′）=2Φz√t′型- Φz√t型,Ohm0t（t，t′）=z exp-z2t型√2πt=g（t），Ohm0t′（t，t′）=-g（t′）。下一步，ν（t）=-Zt公司Ohm（t，t′）q2π（t-t′）ν（t′）dt′-zOhm（t，0）exp-z2t型√2πt=2ZtΦz√t型- Φz√t′型q2π（t- t′）膨胀-z2t′型√2πt′dt′+2zΦz√t型- 1.经验值-z2t型√2πt，g（t）=-g（t）ν（t）-Ztν1t（t′）p2π（t- t′）dt′-1.-zt公司Ohm（t，0）exp-z2t型√2πt，（10）其中Ohm（t，0）=21.- Φz√t型.我们可以用形式ν（t）=-Ztω（t，t′）p2π（t- t′）g（t′）ν（t′）dt′-zOhm（t，0）exp-z2t型√2πt，其中ω（t，t′）=Ohm（t，t′）g（t′）（t- t′）=-Φz√t型- Φz√t′型√2πt′3expz2t′型z（t- t′），t 6=t′，ω（t，t）=1，以及ν1t表达式中的obta:ν1t（t′）=-ddtZtω（t，t′）p2π（t-t′）g（t′）ν（t′）dt′-滴滴涕zOhm（t，0）exp-z2t型√2πt.（11） 为了计算（11）的第一项，我们使用引理1中的第二个等式，其中ν（t）=ν（t）g（t）和Ξ（t，t′）=ω（t，t′），得到ν1t（t′）=-Zt（（ω（t，t′）- 2（t- t′）ω0t（t，t′）g（t′）ν（t′）t′）p2π（t- t′）dt′-滴滴涕zOhm（t，0）exp-z2t型√2πt= -Zt公司3.Ohm（t，t′）（t-t′）- 2.Ohm0t（t，t′）ν（t′）t′p2π（t-t′）dt′-滴滴涕zOhm（t，0）exp-z2t型√2πt=Zt公司3g（t′）（t-t′）- 3.Ohm（t，t′）（t-t′）ν（t′）-Ohm（t，t′）（t-t′）- 2克（吨）ν0t（t′）p2π（t-t′）dt′-zexp-zt公司2πt+2z1.- Φz√t型3.-zt公司经验值-z2t型√2πt.（12）将其代入第二个方程（10）得到g（t）的表达式，可以通过数值积分进行计算。最后，我们评估了g（t）计算的复杂性。考虑N点的数值求积。首先，我们使用（12）预计算ν1t（t）；它可以在（N）个操作中完成。然后，我们可以使用（10）中的第二个方程计算g（t），并在O（N）中预先计算ν1t（t）ag ain。

因此，扰动方法的总复杂度为O（N）。4.2数值解在本节中，我们提出（无收敛性分析）一种简单的方法，用于对耦合Volterra方程（9）的解进行数值近似。我们注意到Volterra方程及其数值解是一个成熟的研究领域。有关弱奇点方程某些方法的稳定性和收敛性的相关讨论，请参见Linz（1985）。Noble（1969）讨论了存在弱奇点时多步方法可能存在的不稳定性。许多论文提出了高阶方法和配置技术来提高收敛性和处理不稳定性。例如，Brunner（1985）证明了多项式样条配点法与求积法的收敛性；Kolk等人（2009年）、Kolk和Pedas（2009年）以及Kolk和Pedas（2013年）使用分段po-Lynomicallocation方法求解具有弱奇异性的Volterra方程，并得出了最优全局收敛估计和局部超收敛结果。另一种方法是考虑特殊的函数基，如切比雪夫多项式和伯恩斯坦多项式（分别参见Maleknejad et a l.（2007）和Maleknejad et al.（2011））。在这两种情况下，近似会导致线性或非线性代数方程组。Haier等人（1985）开发了一种基于快速傅立叶变换的方法，将N点网格上的核计算数量从O（N）减少到O（N（log N））。在本文中，为了简单起见，我们考虑梯形求积，并对包含奇点的区间进行特殊处理，以递归地获得数值解。我们将区间[0，T]划分为等距的长度子区间 并适当离散化（9）。

为此，我们假设ν和g与ν（l）分段线性) = ν土地g（l) = gl，因此在间隔[（l-1) , l] 我们有ν（t）=νl-1（l -t） +νl（t- （l）- 1) )= νl-（νl- νl-1)（l） -t） ，g（t）=gl-1（l - t） +德国劳埃德船级社（t- （l）- 1) )= 德国劳埃德船级社-（德国劳埃德船级社- 德国劳埃德船级社-1)（l） -t） 。照着Ohmnl=锌lg（t′）dt′=（gl+2gl+1+…+2gn-1+gn），Ohmnl=Ohm（n）-1） l+（gn+gn-1) .插入（9），离散方程组的形式如下νn+αnXl=1Inl+exp-(αOhmn0号-z） 2n个√2πn= 0，gn+αgn+√2πnνn+nXl=1Jnl+（αOhmn0号- z） 经验值-(αOhmn0号-z） 2n个√2πn= 0 .（13） 对于给定的n，所有相关积分Il，Jl，1≤ l<n，可以用三角律来近似（如果必要，也可以通过更累积的复合公式）。相应地，Inl=Zl（l）-1)Ohm （n）, t′）膨胀-αOhm（n）,t′）2（n-t′）ν（t′）q2π（n - t′）dt′≈√8πOhmnlexp公司-αOhmnl2（n-l）νl（n- l） 3月2日+Ohmn（l-1） 经验-αOhmn（l-1） 2（n-l+1）νl-1（n- l+1）3/2,（14） andJnl=Zl（l）-1)νn-1.-αOhm（n）,t′）（n-t′）经验值-αOhm（n）,t′）2（n-t′）ν（t′）q2π（n - t′）dt′≈√8πνn-1.-αOhmnl（n-l）经验值-αOhmnl2（n-l）νl（n）-l） 3月2日+νn-1.-αOhmn（l-1） （n）-l+1）经验值-αOhmn（l-1） 2（n-l+1）νl-1.（n）- l+1）3/2.（15） 然而，最后两个积分Inn、Jnn需要特别注意，因为它们具有弱奇异性。考虑积分In，其formInn=Zn（n）-1)Ohm （n）, t′）膨胀-αOhm（n）,t′）2（n-t′）q2π（n - t′）ν（t′）dt′。鉴于我们的分段线性假设，我们有Ohm （n）, t′）=gnτ-gn公司- gn公司-12τ、 式中，τ=n - t′。因此，Inn=Zgn公司-gn公司-gn公司-12τ经验值-αgn公司-（gn）-gn公司-1)2ττνn-（νn-νn-1)τ√2πτdτ。变量的标准变化τ=uyieldsInn=√2πZ√gn公司-（gn）- gn公司-1)2u经验值-αgn公司-（gn）-gn公司-1)2uu×νn-（νn- νn-1)u杜。