不对称连接：maxmin与反射maxmin连接函数

因此，可以很好地定义迭代。在我们展示所有这些序列都是收敛的之前，我们先从基于命题2的simpleobservation开始。推论4。如果C是PQD copula，那么Tf，gσpnqpCσqpu，vq是所有n P n证明的NQDcopula。结果归纳地遵循命题2。"引理5。函数SPFPNQ、pgpnq的序列是逐点收敛的。此外，如果α和β分别是它们的任何极限值，然后，它满足了方程PFPαq“α，分别是PGPβq”β。证明。我们回顾了这样一个事实，即PFPUQ，pgpvq，在r0，1sby[21，引理1，（G2）]上是不递减的，这意味着所有的迭代都是单调的非递增的。一个简单的观察PFPUQ“u\'f puqěu意味着PFPNQPUQ“pfpn'1qppfpuqqěpfpn'1qpuq，因此该序列对于所有u P r0，1s是单调的；对于g也是一样的。选择任意u P r0，1s，并让α为fpnqpuq的极限。然后，pfpαq是fpn'1qpuq的极限，因此pfpαq“α；对于β也是一样。注。映射CσTh~nTf，gσpCσq是否以及可能何时是所有copula的紧度量空间上的收缩是一个有趣的问题。很容易看出，对于任何copula C，D，我们有}Tf，gσpCσqpu，vq'Tf，gσpDσqpu，vq}”κpu，vq}Cσpu，vq'Dσpu，vq}，其中κpu，vq是u{pfpuq，v'的乘积{pgpvq和maxt0，1'fpuqgpvqu。这些因子中的每一个都不大于1，但是当uan和v趋向于1时，它趋向于1。因此，我们得到了0dκpu，vqd1，这证明了该映射是非膨胀的。因为不可能为κ找到一个恒定的ka1，所以它不是一个收缩。我们省略了细节，但没有进一步延长论文的篇幅。我们有点惊讶于尽管如此，我们仍然能够证明迭代对称连杆机构的收敛性：MAXMIN VS。

反映了该映射的MAXMIN COPULAS 9，在推论9的情况下，甚至存在一个唯一的固定点，迭代收敛到该点独立于起始点。"根据[10，命题2.2.（ii）]，只要我们能找到一个u P p0，1s，那么pfpuq“u”，pf就等于区间ru，1s上的单位函数。（实际上，用原始形式写下写在这里的事实是有用的：如果f puq“0”代表一些u P p0，1s，那么f就等于区间ru，1s上的零。）让我们用α表示具有此性质的最小数u。所以我们发现，对于所有的u P rα，1s和α，pfpuq“u是此类中最小的数。观察到α”0相当于说f在r0，1s上等同于零，而α”1相当于说f在p0，1q上没有零。数β以同样的方式对应于函数g。因此，尤其是pgpvq“v代表所有P rβ，1s和β是具有此属性的最小数字。这有助于计算序列的极限SPFPNQPUQ，pgpnqpvq：引理6。上述序列的极限存在，并由PFP8QPUQ给出：“limn~n8pfpnqpuq”$&%0，u“0；α，0auaα；u，uěα。pgp8qpvq：“limn~n8PGPNQPUQ”$&%0，v“0；β，0avaβ；v，věβ。我们现在可以计算（7）给出的序列的极限copula。我们将单位平方r0，1s”r0，1s^r0，1s划分为四个相对于u”α和v线的矩形“β，暗指正方形的西北角、东北角、西南角、东南角。我们将在逐角计算极限时显示收敛性。为了简化符号，我们编写了cF，gσ：“limn~n8Tf，gσpnqpCσq.Lemma 7。（a）：对于uěα和věβ，我们有cf，gσpu，vq”Cσpu，vq。（b）：对于uěα和vdβ，我们有cf，gσpu，vq“vβCσpu，βq.10 D.KOKOL BUKOVˇSEK，T.KOˇSIR，B.MOJˇSKERC和M。

OMLADIˇC（C）：对于udα和věβ，我们有Cf，gσpu，vq“uαCσpα，vq。（d）：在剩余的情况下，它认为∏f，gσpu，vq“$”&“%uv'zk”0'1'fppfpkqpuqgppgpkqpvqq'，如果fpuqgpvqauv；如果fpuqgpvqěuv；在第一种情况下的乘积总是收敛的。证明。（a）由于fp8qpuq“u”和pgp8qpvq“v”，仍需确保（7）中的乘积等于1事实上，pfpuq“u，所以PFPKQPUQ“ufor all kě0，而fpuq“0，因此fpuq”0，以及同样的考虑因素适用于g。因此，可以得出（7）右侧的乘积与1相同。（b）和（c）的证明基于类似的想法。（d）我们首先假设α“β”1。如果f puqgpvqěuv，则为（7）中的乘积的第一因子为零，然后得出所需的结论。如果fpuqgpvqauv，我们只需要显示乘积的收敛性，从（7）中可以明显看出。现在，第一个因子，以及所有因子，都是严格正的，并且严格小于1。因此，部分积的序列是正的和递减的，并且总是收敛的。然而，只有当有限乘积的极限为非零时，它才收敛。在u\'va1的情况下，我们使用Fr\'echet-hoeff-ding-lowerbound作为我们的copula，以确定这确实是这样的，并且期望的结果如下。仍然需要处理u，va0的一般情况，我们将把它减少到前一个情况。我们将使用一个众所周知的事实，即（C）一个乘积'sk“0AK收敛当且仅当系列rk”0p1'AKQ收敛。这特别证明了系列（8）"yk“0fppfpkqpuqgppgpkqpqqconverge为u'va1。接下来，如果u，va0，则序列fpkqpuq分别为不递减和收敛到α“1β“1、考虑到j足够大，我们为所有kěj提供了Pfpkqpuq`pgpkqpvqa1。

所以如果我们表示u“pfpjqpuq”和v“PGPJQPVQ”，我们得到jfppfpk'jqpuqgppgpk'jqpvqq”k“0fppfpkqpuqgppgpkqpvqq，不对称连接：MAXMIN VS.反射MAXMIN copulas1，因此左侧的级数必须收敛，因为它是收敛级数和u\'va1的剩余级数。因此，右侧的级数收敛，因此乘积收敛于（C）.αa1或βa1的情况仍需处理。如果我们选择u“α”和v“β”，我们很容易得到∏f，gσpu，vq“αβa0。现在，这些迭代是copulas，极限也是copulas，因此它是连续的。因此，对于接近α的u和接近β的v，我们仍然有，比如∏f，gσpu，vqαβ{2a0。由于极限是正的，其余的证明也是如上所述的。"定理8。序列的极限（7）始终存在，并且在NE角与Cσpu，vq相等，在NW角与VβCσpu，βq相等，分别为UαCσpα，vq，在SE角；在西南角，它等于UVCσpα，βqαβ'zk“0'1'fppfpkqpuqgppgpkqpvqq'，如果fpuqgpvqauv（在这种情况下，乘积总是收敛）或零iffpuqgpvqěuv.Proof。NW、NE、SE角上的极限形式分别由引理7（a）、（b）和（c）给出。要在SW角上获得所需的结果，请写出（7）的右侧asCσppfpnqpuq，pgpnqpvqpfpnqpuqppnqpvqtf，gσpnqp∏σqpu，vqand引理6和引理7（d）遵循的定理。"推论9。假设α“β”1。然后Cf，gσ“任何copula C的∏f，gσ。图2所示的散点图给了我们一些我们在本节中研究的迭代收敛的感觉。第一行中的每个图显示了当转换Tσp1q应用于起始copula C时获得的copula散点图，下图显示了当Tσp2q应用于同一起始copula时获得的copula散点图。起始copula分别为∏、M和W。

在所有这些例子中，生成函数的选择是fpuq“p1'uq和12 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇCgpvq“p1'vq。在所有情况下，点都分散在一个超抛物线上方。在第一列中，只有点的密度随迭代而变化。在第二列中，出现了一条奇异线，通过迭代收敛到正方形的顶部。在第三列中，出现了一条奇异线，该线仅在Tσp1q的绘图上切割出一部分区域，而随后双曲线上方的整个区域为星罗棋布的。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.60.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.6 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0图2。变换Tσp1qon和Tσp2qon copulas∏σ、Mσ和Wσ。在图3中，我们展示了一些更有趣的散点图。我们在这里逐行描述图像，从上到下，从左到右在一行内。前三幅图像的生成函数为fpuq“p1'uq”和gpvq“p1'vq，而copula等于C”W，分别为n“1，n”3，n“8。对于其余图像，第一个生成函数为f puq“maxt0，'uu和gpvq，与前一种情况相同。第二行中的估计值对应于copula C”和n“1.对于较大的n值，本例中的图像非常相似。接下来的两幅图像分别对应于C“M”和n“1，分别对应于lyn”8。最后两幅图像分别对应于C“W”和n“1，分别对应于n”8。不对称链接：MAXMIN VS。

反射最大最小连接函数130.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.00 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.60.81.0 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.60.0 81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.60.81.0图3。各种变换Tσpnqon copulas∏σ、Mσ和Wσ，如本文所述。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.81.0图4。单数部分的演变。在图4中，我们考虑了f puq“mintu，1'uu，gpvq”vp1'vq，14 D.KOKOL BUKOVˇSEK，T.KOˇSIR，B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇCand C“M给出的RMM copula示例的单数部分的演变。n“1，2显示在图4的前两个散点图上，并且明显是奇异的。当Napproach进入整体时，奇异性被推到正方形的下边缘，在极限处消失。这在该图的第三个散点图上可以看到。极限copula等于∏f，gσ，如推论9所述。让我们通过转换定理8中的Maxmin co来结束本节普拉斯。变换CσTh~nTf，gσpCσq是通过在变换的任一侧应用flip从变换CTh~nTφ，ψpCq中获得的。由于FLIP是一种对合运算（参见[11，p.33]），因此归纳得出，通过在变换的两侧应用FLIP，变换CσTh~nTf，gσpnqpCσq是从变换CTh~nTφ，ψpnqpCq得到的（这里我们以明显的方式调整了[10]的旋转）。

因此，我们可以从Tf，gσpnqpCσq的公式计算出Tφ，ψpnqpcq的公式，方法是（a）在（7）的两侧应用flip，（b）使用关系式（3）将生成器f，g及其辅助函数替换为生成器φ，ψ及其辅助函数。当替换迭代时，一个简单的归纳论点揭示了（9）PfNqpuq“φpnqpuq and PgpNqpvq”1'ψpnqp1'vq，这意味着φp8qpuq：“limn~n8φpnqpuq”$&%0，u“0；α，0auaα；u，uěα。ψp8qpvq：“limnИ8ψpnqpvq”$&%v，vd1'β，1'β，1'βava1；1，v“1.这里，α是最小的u P r0，1s，使得φ等于ru上的恒等函数，1s，并且1'β是最大的v P r0，1s，使得ψ等于r0上的恒等函数，vs（参见[10，命题2.2]）. 我们再次将平方r0，1划分为四个角：u中的极限函数等于udα的常数，否则等于恒等式；v中的极限函数等于vd1'β的恒等式，否则等于常数。为了转换方程（7），我们需要使用[10，第156页]中介绍的函数φ，ψ替换函数SF，g。不难找到f和φ之间以及g和ψ之间的关系。不对称联系：MAXMIN VS.REFLECTED MAXMIN Copulas15我们需要公式φpuq“upfpuq”fpuq\'1，ψp1'vq“1'v'ψp1'vq1'ψp1'vq“gpvq”gpvqgpvq\'1，以便（10）fpuq“1'φ'puqφpuq”和gpvq“ψ'p1'vq1'vq1'ψp1'vq1'vqu'vqu使用公式（9）和（10）我们可以转换方程（7）转化为：Tφ，ψpnqpCqpu，vq：“u'up1'vqφpnqpuq'Cpφpnqpuq，ψpnqpvqqφpnqpuqp1'ψpnqpvqq^n'1'zk“0max”0，1'φpφpkqpuqqφpφpkqpuqqψpψpkqpvq1'ψpψpkqpvqq*（11）定理10。

序列（11）的极限始终存在并等于（a）：SE角上的Cpu、vq；（b） ：uαCpα，西南角的vq；（c） ：u'1'vβpu'Cpu，1'βqq，在NE角；（d） ：eitheru'up1'vqαβpα'Cpα，1'βqq'zk“0^1'φpφpkqpuqqφpφpkqpuqqψpψpkqpvq1'ψpψpkqpvqq˙如果φpuqaψpvq（在这种情况下，乘积总是收敛），oru，如果φpuqdψpvq，在西北角。证据简单的计算。"4. 通过reflectedmaxmin变换继承依赖属性使用定理8，我们升级了推论4中给出的结果。在这里以及本节的其余部分，我们用Cφ，ψ表示序列Tφ，ψpnqpCq的极限copula。定理11。（a） ：如果copula C是PQD，或者等效地Cσ是NQD，那么Cf，gσ是NQD。16 D.KOKOL BUKOVˇSEK、T.KOˇSIR、B.MOJˇSKERC和M.OMLADIˇC（B）：如果函数fpxq对于所有x P p0、1q都不为零，或者函数gpxq对于所有x P p0、1q都不为零，那么对于任何copula C，Cf、gσ是anNQD copula。（C）：如果copula C是PQD，那么Cφ、ψ是PQD。（d） ：如果对于函数φ，它认为φpxq‰x对于所有x P p0，1qor对于函数ψ，它认为ψpxq‰x对于所有x P p0，1q，那么Cφ，ψ是任何copula C的PQD copula。我们将省略证明，因为它以一种明显的方式进行。我们想观察copulas的两个重要一致性度量（有时被视为系数），Spearman的rho和Kendall的tau，在对它们应用变换Tσ时是如何变化的。关于这些系数的定义和解释，请参阅【27，第5章】和【11，第2.4节】。尽管如我们所指出的，公式（4）比[10，（2.3）]简单，但计算这两个系数仍然是一项重要的任务。当然，在论文[28]中，它们仅针对独立冲击的情况进行计算。

要计算相依冲击，我们需要使用[12]中给出的公式：ρpCq“12zCpu，vq du dv'3和τpCq”4zCpu，vq dCpu，vq'1“1'4zCupu，vqCvpu，vq du dv。这里是C对变量t的导数。我们将这些公式应用于生成器fpuq“u1'a'u和gpvq“v1'b'v，对于参数a、b P t0.1、0.5、0.9u的所有组合，以及对于copulas∏、W和M。我们使用copulas的精确表达式和使用Mathematica软件的数值积分计算积分【31】. 结果见表1和表2。实验表明，当参数α和β较大时，本节研究的迭代收敛速度明显加快。接下来，我们分析性地计算有限反射maxmin copula的尾部依赖系数，参见【27，第5.4节】和【11，第2.6.1节】。人们可能会发现每个系数λL“limt'O0δcptq和λU”limt`O11'2t'δCptq1't都有一个等效表达式。命题12。（a）：如果α“0”和β“0”，那么λLpCf，gσq“λLpCσq，如果不是，那么λLpCf，gσq”0。不对称连接：MAXMIN与反映的MAXMIN连接17表1。