转换成本模型作为假设检验

对于一阶近似值（我们在下面更正式地考虑），区间的形式如下(-bt，bt），对于一些btto b e确定。当MLE和代理近似值之间的差值超过该阈值时，最佳策略是设置Θt=^pt（这是因为^pt是p的无偏估计，调整成本不取决于调整的大小）。为了找到bt，我们将在一个宽松的制度下工作，其中我们考虑小成本λ→ 0和fix a lar ge终端时间T→ ∞. 特别是，我们假设为T→ ∞, 有一个时间t*→ ∞ 这样，在区间内的长期成本*, 构成已实现成本的主体，以及区间成本[0，T*] 可以忽略。我们首先考虑两个顺序切换时间t<t之间的跟踪误差行为，其中t*≤ t、 （注意t*→ ∞ 作为T→ ∞, sot公司→ ∞ 根据假设。）我们假设BT→ 0，tbt→ ∞,btbt公司→ 1和TBTTBT→ 所有t均为1∈ [t，t]（12）作为t→ ∞, λ → 我们将看到这些假设与最佳btwe结构一致。我们可以写^pt- ^pt=ttXi=t+1（Yi- ^pt）≈ttXi=t+1（Yi- ^pt），（13）当t-1.- t型-1很小，正好是t→ ∞. 假设它很大，我们知道p（Yi=1）=p≈ ^pt≈ ^pt，因此跟踪误差大约是一系列平均zero iidrandom变量的总和，并且可以很好地建模为随机游走，每一步都有概率^pt。为了符号的简单性，我们写下^σt=^pt（1- ^pt），这是我们观察到的估计方差。注意^σt→ p（1- p） 作为t→ ∞, 特别是σt≈ ^σt*当T（因此T*) 是大的。将跟踪误差近似为随机游动，我们选择BTS以最小化预期成本。我们必须在我们的运营成本和此计算之间进行权衡，这是一种经典/频繁的方法。

使用贝叶斯方法，我们将得到P（Yi=1 | Fi-1） =^pt≈ ^pt，给出相同的渐近近似。转换的成本。在一段时间内，我们尝试评估给定Barrier策略bt的预期成本。我们首先计算运行成本期限。写入Cρt（bt）=ρ（^pt- Θt）当使用边界bt确定Θ时。根据我们对ρ的求和，只要跟踪误差不太大（当bt很小时，就会发生这种情况），我们可以用泰勒的theo-remρ（x）近似≈ Γx对于某些常数Γ>0。由于T很大，我们的代理将在很长的时间内保持活跃，因此这一成本的长期平均值很重要。由于Bt会随时间变化，因此我们很自然地会重新调整随机游动的比例，因此我们寻找ξt=（^pt）的渐近平稳分布- ^pt）/bt。这大约由“三角形”密度g（ξ）给出=1+ξ如果-1 < ξ ≤ 0,1 - ξ如果0<ξ≤ 否则为1,0，观察结果表明：oξt在达到±bt/bt时跳到零→ ±1，so g(-1） =g（1）=0密度整合为一体。o从ξ的可能路径考虑：除了x=0时，ξ到达x的唯一途径是之前在x处-1.-^pttbtand observingY=1，或在x+^pttbtand，然后观察Y=0。观测Y=1的概率是^ptg，所以我们有固定的Chapman–Kolmogorovequationg（x）=^ptgx个-1.- ^pttbt+ (1 - ^pt）gx+^pttbt对于x 6=0。重新整理和书写h=1/（tbt），我们得到0=^ptg（x- (1 - ^pt）h）- g（x）h+（1-^pt）g（x+^pth）- g（x）hfor x 6=0。假设g是x 6=0的二次微分，取h→ 0（或等效tbt→ ∞), 该微分方程0=g′（x）- ^pt（1- ^pt）+（1- ^pt）^pth类-1+g′（x）^pt（1- ^pt）+（1- ^pt）^pt+ o（1）表示x 6=0，或等效g′（x）=0表示x 6=0。

因此，当TBT较大时（T→ ∞, λ → 0），我们得到了一个分段线性函数forg，从而得到了三角形密度。密度g（·）的方差为1/6，代入E[Cρt（bt）| Ft*] ≈ Γbtfor t*<< t、 我们现在试图了解预期的切换成本，E[Cλt（bt）| Ft*],式中，Cλ（bt）=λif |ξt |≥ 1，否则为零。使用重标度随机游动ξ，我们需要确定ξ达到±bt/bt的概率≈ atime t时为±1>> t型*. 由于ξ大约是在零处重新开始的随机游动，这大约是1/E[τ| Ft]，其中τ≈ t型- 是ξ从零到±1所用的时间。为了计算E[τ| Ft]，首先观察ξt-ct近似为c=σt/（tbt）的鞅≈ ^σt*/（tbt）和ξ最终将达到±1。根据optiona-lstopping定理，ξt- 计算机断层扫描≈ E[ξt- ct | Ft]=E[1- ct |英尺]。重新排列，且ξt=0，则得到1≈ cE[t- t | Ft]=cE[τ| Ft]。对于t*<< t、 t<t时≤ t、 在t处击中障碍物的概率，即持续成本λ为1/E[τ| Ft*], soE[Cλt（bt）| Ft*] ≈ λ^σt*技术性贸易壁垒对于t*<< t、 我们现在可以将我们对未来长期成本的预期降到最低。按照主导顺序，使用我们的近似值，成本由[Cλt（bt）| Ft给出*] + E[Cρt（bt）| Ft*] ≈ λ^σt*技术性贸易壁垒+ Γbt.以逐点方式最小化此表达式=6λΓ1/4r^σt*t=χ^σt*√t此处χ=6λΓ1/4^σ-1/2吨*.因此，我们获得了与1成比例的ina操作置信带的带宽bt/√t、 给予与信任间隔相同的行为。在连续时间的情况下，我们还观察到我们的不活动带的宽度是χ^σt*/√t、 式中：^σt*/√t是c lassicalestimator的标准偏差。系数χ由信号/噪声σ的平方根确定-1/2吨*. （为了确定这与信号/噪声比相对应，请观察thatVar（^pt- ^pt-1) ≈ ^σt*/t、 而^ptis^σt的方差*/t。