多主体经济学与关键市场的出现

在第二部分中，这些偏好中的不稳定性在纳什均衡的分岔中起着核心作用。博弈论有两个相互依存的组成部分，博弈主体的博弈要素（选择数量、主体数量、效用函数）和主体的决策（优化）过程【22，第1章】，即博弈提供了管理者之间战略互动的分类，而博弈论则描述了主体优化选择的基础。博弈还可以量化代理人的顺序偏好（例如Gilboa【40，第7章】），其中偏好是选择集X上的部分有序二元关系Q（·，·）：Q（xi，xj）=xi xj，（xi，xj）∈ X×X，（10）读作xi弱于xj。If（xi） xj）∧ （xj xi）代理人在不同种类之间是不同的：xi~ xjand if（xi xj），（xi~ xj）代理人强烈倾向于xito xj：xi xj。实用程序将顺序首选项扩展到实值函数：if xj∈ 效用函数为U:X→ 我们假设[40]效用代表顺序偏好：Q（xi，xj）<==> U（xi）≥ U（xj）i、 j.游戏将代理i的实用程序扩展到其他代理选择的环境中的实用程序：givenxij∈ xind表示所有其他代理的选择为x-我∈ 十、-i代理i的游戏实用程序isUi:Xi×X-我→ R、 我们假设Ui在决策x的上下文中代表i的顺序偏好Qi（xij，xik）-iof other agents if Ui（xij，x-（一）≥ Ui（xik，x-（一）j、 k.n人博弈的纳什均衡（NE）是n-选项元组（x*, x个*, . . . , xn公司*) 这样：Ui（xi*, x个-我*) ≥ Ui（xij，x-我*), i=1，n xij公司∈ xi（11） 在2×2博弈（两个参与者，两个选择）中，有两种可能的纯策略结果，即一个或两个NE（对于本节的其余部分，NE指纯策略NE）。

NEare的数量取决于每个agent的偏好关系Qi（·，·）：如果agent的偏好顺序改变，NE的数量和位置也可能改变。因此，参数化效用函数将具有参数空间的区域，其中agents的偏好关系发生变化，并且可能导致NE发生质的变化。参数化2×2博弈的一个例子【61，57】是图4 A所示的效用bi矩阵。其中C（ooperate）和D（efect）是两个代理可用的两个选择。策略（C，C）的效用为R=1，（D，D）的效用为P=0，当T和S允许变化时，这些效用保持不变。在图4 B中，游戏用它们的通用名称（如果它们有一个）进行标记，并且T和S之间的理论关系显示在T×S参数空间的每个区域。请注意，并非顺序关系中的所有更改都会导致NE的数量或位置发生变化。从猎鹿、和声、囚徒困境和Chickengames之间的关系来看，随着T和s的偏好顺序的变化，NE中出现了各种各样的变化。例如，从P>S的猎鹿游戏到S>在（D，D）处消失的和声游戏，而从和声游戏到在（D，D）处消失的小鸡游戏→ T>R（C，C）处的NE消失，在（D，C）和（C，D）处出现两个NE。随着公用事业的平稳变化，NE数量的突然变化是灾难理论的特征，在灾难理论中，优化会导致固定点数量的不稳定【3】。在博弈论中，当代理的顺序偏好随着Qi（·，·）的变化变得不稳定时，就会发生这种情况：xj xk公司→xk公司 XJ具有中间（临界）状态，其中xi~ xj。具有中间态的2×2序数对策在[50]中有描述。

在第4.3节中，将介绍量子响应平衡，其中纳什平衡（纯平衡和混合平衡）是量子响应平衡的极限情况，因此图4的分岔是量子响应平衡分岔的极限情况。图5是图4 B中鸡博弈的量子反应均衡的推广。混合策略NE对以下内容并不重要。Rapoport和Guyer[58]共发现了78个可唯一识别的2×2游戏。（R=1，R=1）（S，T）（P=0，P=0）（T，S）CA.#参数#效用#Bi0matrix B.#纯#策略#纳什#均衡#DiagramDCDTSPrisoner的困境ChickenLeaderBattle of the SexeshHarmonyDeadlocks=R=1T=R=1S=TStag HuntCoordinationT>R>P>ST>R>S>PT>R>PS>S T>R>PS>R>T>PS>R>P>TR>T>S>PR>T>P>SR>P>T>SR>P>S>TR>S>P>TR>S>T>P图4：参数对策：A.具有两个自由参数T和S的效用双矩阵对称游戏。B、 NE的分支随T和S的变化而变化。NE的位置（策略对）显示为红色框，例如，和声游戏有一个NE：（CC），猎鹿游戏有两个NE：（CC），（DD）。4上述三种决策理论模型灾难理论还有第二个缺点：它不能对任何经济主体的决策进行建模，它是一种市场动态的聚合（定性）模型，无法做出托马斯所指出的定量预测[66]。尽管有一些模型是基于微观经济决策的，这些决策在平衡状态下具有分岔，并且允许量化分析。在这里，我们介绍了McFadden的原始推导和假设，然后将其扩展到其他两类重要的决策模型。开发McFadden的模型花费了一些时间，因为该方法类似于后来的模型，可以用来缩短后续工作。

Brock和Durlauf的社会决策模型基于在社会影响的背景下做出的决策，这些影响会改变代理人的效用。类似地，量子反应平衡基于博弈论的随机扩展，该博弈论具有类似于Brock和Durlauf的社会效用函数的“社会效用”成分。还将表明，这两种方法给出了非常相似的概率分布，但对可能导致市场崩溃的微观经济过程的解释有所不同。为了与股票流动文献进行比较，应将这些模型与Gauldiet al【45】和Gallegati et al【36】的动态模型进行比较，其中很容易出现临界动态和市场崩溃。4.1 McFadden的离散选择异质性方法McFadden【55】从N个异质性代理的大市场中的代理i开始，其中每个代理需要选择一个xij∈ xi其中每个选择的值由随机效用函数给出：U（xij | Zi，εij）=V（xij | Zi）+εij（12）决策问题：xij=argmaxxik∈ Xi（U（xik | Zi，εik））。（13） V（xij | Zi）是每个代理都知道的确定性“公用事业”。例如，在一个简单的住房市场中，代理人在两种类型的住房中进行选择：xij∈ {H，H}和v（xi=H | Zi）取决于地产特征的参数向量Zi，这些特征是代理i特有的，例如卧室数量、土地大小或建筑质量。方程12的第二个组成部分是U（xij | Zi，εij）中的不确定性，它有两种常见的解释【17】。首先，εij是一种先天的心理不确定性，因此每个代理人只能估计U（xij | Zi，εij）。

第二个是，U（xij | Zi，εij）对于代理人i来说是精确已知的，但其他代理人（或市场外部的经济建模者）的人口只知道公共成分V（xij | Zi），因此εij是由于代理人i的观察者对其效用的了解有限而产生的不确定性。在任何一种情况下，εij都是一个在整个市场上测量的特殊随机变量，因此市场由效用异质的代理组成。通过假设所有代理具有相同的效用v（xij | Zi），简化了等式13的决策问题≡ V（xj | Z）适用于所有xj∈ X（本节剩余部分的所有i上标都将被删除）。决策变量xjis x的补集-j=X\\xj。继McFadden【55】之后，xjis比其他任何一个更好的选择的概率是：p（xj | Z，εj）=p（U（xj | Z，εj）>U（xk | Z，εj）， xk公司∈ x个-j） （14）=p（V（xj | Z）- V（xk | Z）>εk- εj， xk公司∈ x个-j） 。（15） 一个有用的假设是噪声的累积分布函数（cdf）ε=εj- εkisGumbel分布ε~ G（u，γ）：F（ε）=exp(-e-(ε-u）/γ，（16），其中u和γ为非负参数，标准偏差仅为γ的函数：σ=γπ6-1/2. 假设不相关备选方案的独立性（IIA），公理[55]F（ε）是正确的累积分布，而不仅仅是一个有用的假设。为了清楚起见，去掉Z符号，选择上的概率分布函数（pdf）是logit分布，可以通过重写方程14来看到：p（xj |εj）=p（V（xj）- V（xk）+εj>εk， xk公司∈ x个-j） （17）=Z+∞-∞f（ε）Yxk∈ x个-jexp- e-（V（xj）-V（xk）+εk））/γdε，（18），其中等式16的位置参数已移动至u=0，且f（ε）=γ-1exp(-ε/γ - e-ε/γ）是F（ε）的pdf。

将变量更改为z=exp(-ε/γ）：p（xj |γ）=Z+∞e-zYxk公司∈ x个-jexp- ze公司-（V（xj）-V（xk））/γdz（19）=Z+∞e-zexp- zXxk型∈ x个-日本脑炎-（V（xj）-V（xk））/γdz（20）=1+e-V（xj）/γPxk∈ x个-jeV（xk）/γ（21）p（xj | Z，ξ）=eξV（xj | Z）Pxk∈ XeξV（xk | Z） xj公司∈ 十、 （22）在最后一步中，条件条款再次包括在内。当ξ→ 0 V（xj）的估计值主要由噪声项εjand控制，p（xj）是一致的。当ξ→ ∞ 市场中不存在异质性，因为每个代理的V（xj）都是相同的，如果有一个单一的客观最佳选择xk，那么所有代理都会做出相同的选择，概率p（xk）=1。然后，等式12的决策问题简化为：xk=argmaxxj∈ X（V（xj | Z））（23），这是确定性的，也可以通过重写方程14看到：p（xk | Z）=p（V（xk | Z）>V（xj | Z） xj公司∈ x个-i） =1。（24）在McFadden的模型中，一种药剂的选择对任何其他药剂的结果没有影响。在这种情况下，出现临界市场的唯一方式是，如果方程式12中的V（xi | Z）是一个高阶多项式，例如方程式4中的四阶多项式，并且允许系数Z的向量变化。McFadden在[54]中给出了一个示例。他将单个agent决策问题的V（xi | Z）描述为系统效用，并将其实现为被测属性的线性函数，其中Z的元素是线性回归的系数。他使用的例子是对备选高速公路路线的经济计量分析，其中回归系数是可观察的属性，如建设成本、路线长度和公园空间，回归系数反映了决策者的“品味”。4.2社会决策理论本节通过扩展McFadden方程13，将社会效用函数包括在内，发展了社会决策理论（SDT）。

该方法遵循Brock和Durlauf[17]的观点，即社会因素影响代理人的效用，进而影响其决策。与之前和之后一样，经济市场由N个代理人组成，每个代理人都有一个价值函数，该函数描述了他们做出二元选择的报酬xij∈ {-1, 1}. 代理i\'schoice of xijmax是一个效用函数，给定一组描述代理选择特征的参数，这些特征由特征向量zi表示，其方式与等式12所述相同。在这里，我们通过引入其他代理的局部影响来扩展前面的讨论。如果-i是影响i选择xij效用的相邻代理集，那么i的单个邻居是k∈ -i、 离散选择由离散数值支持确定：xij∈ {-1，1}（xi=-1） 因此，对决策变量的期望具有持续支持hxii=1- 2p（xi）∈ [-1，1]和期望值向量：hxi-我∈ [-1，1]长度为m的mis。agent i通过二元选择xij使随机效用最大化∈ {1, -1} ：U（xij，hxi-i | Zi，εij）=V（xij | Zi）+S（xij，hxi-i | Zi）+εij（25）决策问题：xij=argmaxxil∈{-1,1}U（xil，hxi-i | Zi，εil）。（26）这是方程式12和13的扩展，其中hxi-i是主观期望代理ihas的策略相邻代理和S（xij，hxi-i | Zi）是效用函数的社会部分，代表i与其邻居之间的互动。Brock和Durlauf【17】将不确定性项V（xij | Zi）视为xijan中的线性项，并选择以下线性函数h和k的参数，以便h是两种选择中公共设施确定性部分之间的差异：V（xij | Zi）=k（Zi）+xijh（Zi）（27）h（Zi）=V（1 | Zi）- 五(-1 | Zi）. （28）社会效用函数为：S（xij，hxi-i | Zi）=Xk∈-iJ（Zi，Zk）xijhxik。

（29）我们简化J（Zi，Zk）=Ji，kand，总效用为：U（xij，hxi-i | Zi，εij）=ki+xijhi+Xk∈-iJi，kxijhxik+εij。（30）假设IIA和Gumbel分布εij，选择的条件概率为：p（xij=±1 | hxi-i、 Zi，ξ）=Z-1expξxijhi+Xk∈-iJi，khxik, （31）式中ξ的解释与方程式22中的解释相同。KI和HIA是代理人公共事业的系数，因此市场上的所有代理人都知道它们（c.f.公式28）。i与其邻居之间相互作用的平均强度-我是Ji，-iwhich取代了单个项Ji的求和，kin方程30。我们解释Ji，-ias是内部“社会领域”的力量。我们还假设策略向量hxi-我可以用邻居的（主观）平均预期策略来近似：hxi-i=hxi-i、 方程31可写成双曲线自洽形式：hxii*= tanh公司ξ（h+Ji，-ihxi公司-我*)（32）在均衡状态下，代理人的策略及其对其邻居的影响的主观预期是相同的：hxii*≡ hxi公司-我*, 但在第5节讨论战略互补性和比较模型时，保持这种区别是有用的。公共+社会+私人公用事业为：U（hxii*, hxi公司-我*| Z） =k+hhxii*+ Ji，-ihxii公司*hxi公司-我*+ εij。（33）其中Z=[k，h，Ji，-i] 是根据经验估计的。Brock和Durlauf【32】观察到，当h=0时，会发生干草叉分叉，如图2图1所示，当不确定度ξ从0增加时，当h 6=0时，会发生不连续分叉，如。

图2图3。方程33中还有两种可能对私人效用εij的贡献，一种来自公共效用，另一种来自社会效用：eV（xij | Zi）=V（xij | Zi）+ε（34）eS（xij，hxi-i | Zi）=S（xij，hxi-i | Zi）+ε（35），因此：εij=f（ε，ε）（36）一个简单的观察和有趣的解释是，如果εij仅归因于社会成分中的异质性：f（ε，ε）=ε=εij，那么主体异质性完全归因于主体之间的相互作用项，而个体主体则能很好地理解其公共效用。例如，在住房市场中，V（·）代表购房者想要购买的房子的质量，这是可以应用McFadden回归分析的“系统效用”。然而，房屋所在地区对买方或卖方价格预期的影响，例如最近在该地区出售的房屋数量和价格，对买方预期达到的价格有不确定的影响：买方总效用的不确定性完全是由于买方-卖方互动效用的不确定性。4.3量子反应平衡当报酬相互依存时，量子反应平衡（QRE）是社会决策理论的替代品。Brock和Ioannides【33】认为，在量子反应平衡和社会决策理论之间存在着密切的平行关系，这里明确了这种联系。在2×2博弈中，有两个代理Pand P相互玩一个博弈G，每个博弈G由两个支付矩阵G={G，G}：P:GxxxacxbdP:Gxxxacxbdin给出一个二进制选择，其中Gidenotes是Pi的效用函数。

将符号与SDT hxii=1对齐-2p（xi）∈ [-1，1]可以编写预期的实用程序：V（hxi，hxi | G）=G+hxig+hxig+hxihxig1,2（37）V（hxi，hxi | G）=G+hxig+hxig+hxihxig1,2（38），其中参数来自实用程序函数：gi=（ai+bi+ci+di）/4，（39）gi=（（bi+di）- （ai+ci）/4，（40）gi=（（ci+di）- （ai+bi））/4，（41）gi1,2=（（ai+di）- （bi+ci））/4。（42）将实用程序分组以强调特定关系：GI是统一策略hxi的实用程序，hxi=0，GI是行项和的差异，GI是列项和的差异，gi1,2是对角线项和的差异。HXII对这些不同的参数进行了加权。等式28的giand Gia差异是两个代理玩游戏的差异的一般化，gi1,2是代理对代理的等效社交场Ji，-IOF公式32。第5.1节讨论了这些关系。条件预期效用是代理的效用，我可以选择-i： Vi（hxi-i | Gi，xij=±1）=Gi±gii+hxi-igi公司-i±hxi-igi1,2（43）使用条件预期效用McKelvey和Palfrey[56]将纳什均衡扩展到不完美决策者的代理，方法是为i的每个选择引入一个误差向量εi=[εi，εi]，其分布如等式16所示：Ui（xij，hxi-i | Gi，εij）=Gi+xijgii+hxi-igi公司-i+xijhxi-igi1,2+εij（44）z=Vi（hxi-i | Gi，xi）- V（hxi-i | Gi，xi）（45）p（z>εi- εi）=1+经验(-ξiz）。