收益率数据的贝叶斯GED-Gamma随机波动率模型：A

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英文标题：
《A Bayesian GED-Gamma stochastic volatility model for return data: a
  marginal likelihood approach》
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作者：
T. R. Santos
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Several studies explore inferences based on stochastic volatility (SV) models, taking into account the stylized facts of return data. The common problem is that the latent parameters of many volatility models are high-dimensional and analytically intractable, which means inferences require approximations using, for example, the Markov Chain Monte Carlo or Laplace methods. Some SV models are expressed as a linear Gaussian state-space model that leads to a marginal likelihood, reducing the dimensionality of the problem. Others are not linearized, and the latent parameters are integrated out. However, these present a quite restrictive evolution equation. Thus, we propose a Bayesian GED-Gamma SV model with a direct marginal likelihood that is a product of the generalized Student\'s t-distributions in which the latent states are related across time through a stationary Gaussian evolution equation. Then, an approximation is made for the prior distribution of log-precision/volatility, without the need for model linearization. This also allows for the computation of the marginal likelihood function, where the high-dimensional latent states are integrated out and easily sampled in blocks using a smoothing procedure. In addition, extensions of our GED-Gamma model are easily made to incorporate skew heavy-tailed distributions. We use the Bayesian estimator for the inference of static parameters, and perform a simulation study on several properties of the estimator. Our results show that the proposed model can be reasonably estimated. Furthermore, we provide case studies of a Brazilian asset and the pound/dollar exchange rate to show the performance of our approach in terms of fit and prediction.   Keywords: SV model, New sequential and smoothing procedures, Generalized Student\'s t-distribution, Non-Gaussian errors, Heavy tails, Skewness
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中文摘要：
一些研究探讨了基于随机波动率（SV）模型的推断，并考虑了回报数据的程式化事实。常见的问题是，许多波动率模型的潜在参数都是高维且难以分析的，这意味着推断需要使用马尔可夫链蒙特卡罗或拉普拉斯方法进行近似。一些SV模型表示为线性高斯状态空间模型，该模型导致边际可能性，从而降低了问题的维数。其他参数没有线性化，潜在参数被积分出来。然而，这些提出了一个相当严格的进化方程。因此，我们提出了一个贝叶斯GED Gamma SV模型，该模型具有直接的边际似然，该似然是广义Student t分布的乘积，其中潜态通过平稳的高斯演化方程随时间相关。然后，对对数精度/波动率的先验分布进行近似，无需模型线性化。这也允许计算边际似然函数，其中高维潜在状态被积分出来，并使用平滑程序轻松地在块中采样。此外，我们的GED Gamma模型的扩展很容易合并斜重尾分布。我们使用贝叶斯估计器来推断静态参数，并对估计器的几个性质进行了仿真研究。我们的结果表明，所提出的模型是可以合理估计的。此外，我们还提供了巴西资产和英镑/美元汇率的案例研究，以显示我们的方法在拟合和预测方面的性能。关键词：SV模型、新的序列和平滑程序、广义Student t分布、非高斯误差、重尾、偏态
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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关键词：波动率模型 gamma 波动率 贝叶斯 GED

收益数据的贝叶斯GED伽马随机波动率模型：边际似然法。R、 桑托斯*美国联邦大学统计系Geraissastract几项研究探讨了基于随机波动率（SV）模型的参考，并考虑了回报数据的程式化事实。常见的问题是，许多波动率模型的潜在参数都是高维且难以分析的，这意味着推断需要使用马尔可夫链蒙特卡洛-拉普拉斯方法等进行近似。一些SV模型表示为线性高斯状态空间模型，该模型导致边际可能性，从而降低了问题的维数。其他参数未线性化，最新参数已积分。然而，这些提出了一个相当有限的演化方程。因此，我们提出了一个具有直接边际似然t的贝叶斯GED Gamma SV模型，该模型是广义Student t分布的乘积，其中潜态通过平稳高斯演化方程随时间相关。然后，在不需要模型线性化的情况下，对对数精度/波动率的先验分布进行近似。这也允许计算边际似然函数，其中高维潜在状态被积分出来，并使用平滑程序轻松地在blo-cks中采样。此外，我们的GED伽马模型的扩展很容易合并斜重尾分布。我们使用贝叶斯估计器来推断静态参数，并对估计器的几个性质进行了仿真研究。我们的结果表明，所提出的模型是可以合理估计的。

此外，我们还提供了巴西资产和英镑/美元汇率的案例研究，以展示我们的方法在预测和预测方面的表现。关键词：SV模型、新的序列和平滑程序、广义Student t分布、非高斯误差、重尾、偏态*T、 巴西米纳斯吉拉斯联邦桑托斯大学。电子邮件：thiagords@est.ufmg.br.作者得到了FAPEMIG基金会和CNPqBrazil1 Introduction的支持。有证据表明，返回数据的分布存在非高斯性、偏斜性和厚尾性。因此，我们需要选择更灵活的模型，以便纳入这些风格化的事实。波动率是一种重要的统计计量，重新呈现基础资产回报的条件方差，在融资中起着关键作用【Tsay，2010年】。它也是风险管理、投资组合优化和期权交易的重要组成部分。由于波动率是一个潜在的组成部分，其估计需要特定的技术和适当的统计推断。已经提出了几种预测资产回报数据波动性的模型。例如，Engle【1982】引入了自回归条件异方差（ARCH）模型，其中波动率是过去时间序列值的函数。Bollereslev[1986]提出了广义ARCH（GARCH）模型，其中波动率可以取决于其自身的过去。Taylor（1982）提出了一种随机波动率（SV）模型，其波动率方程中有一个误差项，以比GARCHmodel更好的方式捕捉金融回报时间序列中的一些特征。使用SV模型的通常方法是使用线性化，通过对返回数据的转换将其转换为线性状态空间模型。Harvey等人。

[1994]采用了这种方法，从经典角度提出了拟最大似然（QML）估计量，考虑到新息分布近似为高斯分布。Danielsson（1994）提出了模拟最大似然（SML）方法来估计SV模型。随后，Sandmann和Koopman【1998年】讨论了蒙特卡罗似然估计（MCL），以及如何在经典推理下保持线性状态空间形式的同时获得非常有效的MCL估计量。他们的程序首先将SV模型线性化，然后使用MCL方法更好地近似观测方程误差分布。此外，Kim等人【1998年】在SV模型线性化后，使用正态混合物近似观测分布。他们还提出了一种基于贝叶斯方法下吉布斯抽样的差异检验方法。另一个有趣的方法是矩量法（MM）。文献中介绍了几种MMestimators；例如，参见Taylor[1986]和Melino and Turnbull[1990]。后者使用广义矩量法（GMM）估计SV模型参数。这些估计器避免了与模型线性化和全似然函数评估相关的问题。然而，它们的样本性质很差，无法直接估计潜在波动性【Broto和Ruiz，2004年】。Jacquier等人【1994年】开发了一种利用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法和全似然函数对SV模型进行贝叶斯估计的方法。他们的大量仿真实验表明，MCMC方法的性能优于QML和MM估计技术。随后，Jacquier等人【2004】引入了该模型的新版本，以适应fattails和相关错误，以及Cappuccio等人。

[2004]提出了一个有趣的倾斜GED SV模型。MCMC过程需要大规模的计算机密集型模拟【Broto和Ruiz，2004年】，其计算实现并不是一项简单的任务。另一个问题是参数空间的维数，一旦使用基于全似然函数的全后验分布同时估计潜在（对数波动率）和静态参数，尽管它不一定需要SV模型的线性化。贝叶斯视角下MCMC方法的两种替代方法是粒子过滤器【Pitt和Shephard，1999，Lopes和Tsay，2011，Malik a和Pitt，2011】和Laplace【Rue等人，2009】近似法。有几项研究使用贝叶斯观点中的SV模式ls进行了研究，包括Taylor【1994】、Chib et al【2002】、Yu【2005】、Omori e t al【2007】、Raggi和Bordignon【2006】以及Kastner和Fruhwirth Schnatter【2014】的研究。然后，费兰特和维多尼【1998年】、维多尼【1999年】、戴维斯和亚姆【2005年】考虑了非线性和非高斯状态空间模型。另见Watanabe【1999】、Knight and Yu【2002】、Feunou and Tedongap【2012】、Koopman and Bos【2012】。Broto和Ruiz【2004年】对SV模型进行了详细回顾。非高斯状态空间模型家族（NGSSM）由Gamerman e t al.（2013）提出，是SV和GARCH模型的一个有吸引力的替代品。这些模型有一个与波动性相关的动态水平和一个乘法β演化方程。这种演变提供了精确的边际似然函数以及过滤和平滑分布。尽管这一族模型的分析易于处理，但演化方程是对数尺度上的随机游动，不包括漂移（一个相当严格的限制）。Pinho等人。

【2016年】提出了几个代表NGSSM家族特定案例的重尾分布。在这门课上，谢泼德（Shepard）[1994]引入了局部尺度模型，然后德尚（Deschamps）[2011]对其进行了推广。一些研究探讨了基于随机波动率（SV）模型的推断，并考虑了回报数据的程式化事实。这些模型的普遍问题是潜在参数是高维的，这使得很难进行积分或使用高维数值积分。因此，使用这些模型的推断需要使用马尔可夫链蒙特卡罗或拉普拉斯方法等进行近似[Jacquier等人，1994年，2004年，Omori等人，2007年，Kastner和Fruhwirth Schnatter，2014年]。Fridman和Harris【1998年】指出，由于难以获得SV模型的边际可能性（其计算实现），GARCH模型一直是用户的一个有吸引力的选择。一些SV模型表示为线性高斯n状态空间模型，导致近似的边缘似然函数和边缘后验分布，从而降低了问题的维数。然而，观测干扰要么是高斯的，要么需要s近似值【Harvey等人，1994年，Danielsson，1994年，Sandmann和Koopman，1998年，Kim e t等人，1998年】。其他模型未线性化，并具有使用蒙特卡罗积分/重要性抽样近似的边际可能性【Davis和Yam，2005年】。因此，本研究的主要目标是利用新的序列分析程序和近似边缘似然，开发返回数据的贝叶斯GED GammaSV模式l，边缘似然是广义学生st分布的产物，可直接评估，其中推理程序在贝叶斯方法下快速且易于实现。

我们提出的GED Gamma模型中的潜在状态通过平稳的高斯演化方程随时间变化而相关，并对对数精度/波动率的先验分布进行了分析近似，无需模型线性化。这也使我们能够近似计算边际似然函数。此外，使用引入的一种新的近似平滑程序，可以很容易地将高维潜在状态积分出来并分块采样，从而可以对这些状态进行推断。所用方法的主要优点是其数学和计算简单，并且能够适应返回数据和平稳高斯演化方程的典型事实。这避免了高维潜态问题，无需模型线性化。第2节介绍了GED伽马SV模型。然后，第3节介绍了模拟，第4节使用实际返回数据对拟议模型进行了ca se研究。最后，第5节总结了本文，包括未来研究的潜在领域。第2章GED伽马SV模型由于返回数据的常见程式化事实，我们需要选择更灵活的模型，允许使用非高斯重尾斜分布【Abad等人，2014，Taylor，198 6】。GED是一种非高斯分布，具有捕获重尾模式的灵活性，在Box和Tiao【1992】中进行了详细讨论，并在Nelson【1991】和Deschamps【2011】中使用。另一种可能性是Pinho et a l.（2016）和Cappuccio et al.（2004）使用和推动的偏态GED分布。然而，我们选择GEDdistribution，即不对称参数κ=0的偏态GED分布，如Deschamps【2011年】所述。

正如第2.3小节所示，将GED Gamma SVmodel扩展到其他情况并不困难。回归时间序列{yt}nt=1的GED Ga mma SV模型由GED分布组成，精度分布为伽马分布，定义如下：（A1）观测方程isp（yt |λt，ν）=rΓ（3/r）1/22Γ（1/r）3/2λ1/rtexp(-λtψ（r）| yt | r），（1）对于ytR, 其中ψ（r）=[Γ（3/r）/Γ（1/r）]r/2，ν是静态参数向量，潜态λt=h-1t（精度），Ht是时间t的波动率。如果r=1，则为拉普拉斯模型，如果r=2，则为正态模型【Deschamps，2011年】。我们考虑收益序列平均值中的相关结构，例如Yt=（Rt- ut），其中RTI是通常的返回序列，u是数据的平均值。该模型完全由以下剩余假设确定：o（A2）先验分布为λt | Yt-1, φ ~ γ（在| t-1，bt | t-1);o （A3）演化方程为ln（λt）=-α+φln（λt-1） +ηt，w此处ηt~ i、 身份证号码0, ση, α ∈ R, φ ∈ [0，1）和ση>0。o初始信息为λ| Y，Д~ γ（a，b），即ln（λ）| Y~对数伽马（f，q），其中平均值为f=ln（a）- γ（b），方差q=γ′（a）。那么，γ（·）和γ′（·）分别是digamma和trigamma函数。请注意，Yt-1=（Y，Y，…，yt-1） ′是截至timet的可用信息-1.

此外，波动率ht的演化方程（A3）可以写成ln（ht）=α+φln（ht-1)+ηt、 式中ηt型~ N0, ση和E（εtηt） =0，{εt}是观测方程的扰动项。与QML、MCL和MCMC【Kim等人，1998年】方法中的近似观测分布不同，我们的方法使用解析近似方法近似了潜态自然对数的分布、对数精度、两个一阶矩之间的分布。一旦潜在状态的自然对数分布为正态分布或可以近似为正态分布，我们可以根据其两个一阶矩来指定它。图1显示了状态对数伽马分布和正态分布的比较，以说明和评估两个第一矩的近似质量。在顶部，我们有形状参数（a）a t 2和比例参数（b），假设值为2和100，并通过正态分布合理近似对数伽马分布。当形状参数较大时，由于中心极限定理，分布之间的差异变得难以区分。在我们的模拟实验中，参数a和b的值是根据更新分布的形状和比例参数的通常值来选择的。这种方法与动态广义线性模型（DGLM）中采用的方法相似【West和Harrison，1997年】。此后，我们发送了该模型的拟议顺序分析（推断）程序，该程序与动态线性模型（DLM）的程序比DGLM的程序更相似（见图2）。这包括潜在状态λ={λt}t=1:n的一步超前预测和过滤（或在线）分布，以及观测值的一步超前预测分布。

如果模型按照本节的建议定义，我们可以使用状态分布的近似值来获得以下结果：命题1.1。tλt | Yt时潜态的一步超前预测（先验）分布-1, φ ˙~γ（在| t-1，bt | t-1） ，其中t | t-1=（φa-1吨-1+ ση)-1、（2）bt | t-1=exp（α）（在-1/bt-1)-φ（φa-t型-1+ ση). (3)2. 时间tλt | Yt，Д的更新或在线（后）分布~ γ（at，bt），其中t=at | t-1+1/r，（4）bt=bt | t-1+ψ（r）| yt | r.（5）3。时间t观测值的一步ahea d预测分布由p（yt | yt）给出-1，Д）=Γ（1/r+在| t-1） rΓ（3/r）1/22Γ（1/r）3/2（bt | t-1） 在| t-1Γ（在| t-1） [ψ（r）| yt | r+bt | t-1] 1/r+at | t-1，yt∈ R, （6） 对于t=1，n、 其中，n是时间序列的观测次数，Γ（·）是伽马函数。该预测分布是2at | t的广义Student t分布-1自由度，如果r=2，则为学生的t分布【Triantafyllopoulos，2008】，这是拟议模型的一个有趣特征。附录I给出了该建议的证明。λt | Yt的重要分布-命题1第1部分o中的1，ν通常保留λt分布的平均值-1年至今-1，Д并增加方差。近似的边际对数似然函数是广义Student t分布的乘积，由n L（ν；Yn）=lnnQt=1p（yt | yt）给出-1，Д）=nPt=1lnΓ（在| t-1+1/r）- lnΓ（在| t-1） +at | t-1ln bt | t-1+lnrΓ（3/r）1/22Γ（1/r）3/2-（1/r+at | t-1） ln[ψ（r）| yt | r+bt | t-1] ，（7）式中，Д由α、φ、ση和r组成；Yn=（Y，Y，…）。