应对动态定价竞争中的维度诅咒：

政策（i）和（iii）对所有人都非常相似 价值观如果 则策略（ii）与其他两个相似。如果 issmall then policy（ii）差异显著。最优策略和两种启发式策略的应用会导致随着时间的推移出现周期性价格模式，参见Edgeworth循环，例如Maskin、Tirole（1988）或Noel（2007）。优化响应策略和启发式策略的最终价格路径如图6所示。我们观察到，与启发式（ii）相比，最优政策（i）和启发式（iii）的周期长度和价格模式的幅度更小。最后，我们得到启发式（iii）与最优策略（i）非常相似。周期价格模式基本上与初始价格无关。因此，如果时间范围和贴现因子不是太“小”，那么预期的未来长期收益()*（n，p）和“V”()（n，p）分别对不同的初始价格p（几乎）相同（在我们的示例中，最大偏差为0.1）。剩下要出售的物品数量，尤其是反应时间 发挥着更加突出的作用。n（i）V（0.1）*（n，50）（ii）V（0.1）（n，50）（i）V（0.1）*（n，50）（iii）V（0.1）（n，50）（i）V（0.1）*（n，50）（i）V（0.9）*（n，50）（ii）V（0.9）（n，50）（i）V（0.9）*（n，50）（iii）V（0.9）（n，50）（i）V（0.9）*（n，50）1 23.3637 0.9801 0.9949 29.0480 0.9881 0.98522 34.5616 0.9766 0.9942 45.2496 0.9867 0.98413 39.7475 0.9716 0.9925 54.4413 0.9801 0.98035 41.9375 0.9584 0.9910 61.5614 0.9731 0.97617 40.6005 0.9473 0.9890 61.9205 0.9690 0.977410 37.7302 0.9413 0.9879 59.4264 0.9664 75 0.9795表2：销售概率不同估计的预期收益比较：最优政策（i）a()*, 参见（i），vs.启发式策略（ii）~a(), cf.（ii）和（iii）a(), 查阅

（iii）， = 0.1，0.9，n=1，2，3，5，7，10；示例5.2。在表2中，预期利润（i）V()*,（二）五(), 和（iii）V()比较示例5.2的 = 0.1和 = 0.9. 在我们的示例中，预期利润V()*和'V()对于5-7个项目的库存水平最大化。由于库存持有成本的原因，更多的项目并不有利。最后，我们观察到，我们的启发式算法的性能非常有希望。虽然启发式算法没有预测竞争对手的蓝色反应，但在案例（ii）中，获得了94-98%的理论最佳预期结果；在案例（iii）中，我们甚至可以获得98-99%。如果选手的反应时间 小，启发式（iii）的结果比启发式（ii）的结果好5%。原因如下：如果 则市场形势在一段时间内几乎没有变化，因此，P（1）和P（1）几乎相同。如果 如果规模较小，则市场状况会迅速变化，即P（1）和P（1）的差异显著，进而影响启发式支持的性能。5.2.4. 双寡头垄断中反应时间的比较由于反应时间的显著影响，企业将通过预测竞争对手的调整时间和优化价格调整时间来尽量减少反应时间。反过来，为了不采取可预测的行动，战略企业可能会随机化其反应时间。最后，企业拥有最新价格的时间百分比将由企业调整频率的比率决定。刷新价格的次数是竞争对手与我们的车型相比的x倍 := x/（1+x），或x=/(1 - ), x>0。例如，比率x=2.33对应的值为 = 0.7.

请注意，虽然一些公司每天调整一次价格，但其他公司每一个或两个小时调整一次价格。在下文中，我们研究了以下因素对我们的战略预期效益的影响程度. 根据示例5.2，我们将预期利润与()*最优策略的()具有基准利润V（0.5）的启发式政策*（对于本案例 = 分别为0.5或x=1）。战略竞争对手的反应时间 : 0.1 0.3 0.5 0.55 0.7 0.9（i）V()*（1，50）/V（0.5）*（150）0.8873 0.9444 1.0000 1.0135 1.0529 1.1032（i）V()*（5，50）/V（0.5）*（5，50）0.8101 0.9041 1.0000 1.0239 1.0954 1.1892（i）V()*（10，50）/V（0.5）*（10，50）0.7799 0.8878 1.0000 1.0284 1.1138 1.2284（ii）V()（1，50）/V（0.5）*（150）0.8697 0.9333 0.9908 1.0043 1.0429 1.0900（ii）(R)V()（5，50）/V（0.5）*（5，50）0.7765 0.8762 0.9730 0.9968 1.0669 1.1573（ii）V()（10，50）/V（0.5）*（10，50）0.7341 0.8478 0.9614 0.9898 1.0750 1.1884（iii）V()（1，50）/V（0.5）*（150）0.8828 0.9331 0.9882 1.0005 1.0370 1.0868（iii）V()（5，50）/V（0.5）*（5，50）0.8028 0.8858 0.9710 0.9988 1.0650 1.1601（iii）V()（10，50）/V（0.5）*（10，50）0.7705 0.8697 0.9722 1.0024 1.0838 1.2032表3：附加信息与反应时间：最优策略a()*, cf.（i）和启发式策略a(), 参见（ii）和（iii），不同竞争对手的反应时间为0.1≤  ≤ 与预期基准利润V（0.5）相比为0.9*政策a的（0.5）*万一 = 0.5，n=1，5，10；示例5.2。表3说明了比率V()*/V（0.5）*以及比率V()/V（0.5）*对于不同的n和 在实施例5.2的（i）-（iii）中。我们观察到反应时间 对预期利润有显著影响。一方面，我们的例子表明，小的反应频率可以使预期利润减少20%以上，cf。=0.1.

另一方面，分别使用更短的反应时间或更频繁的价格调整的启发式方法可以很容易地弥补信息的不足，参见。=0.55，预期利润增加20%以上，参见。=0.9. 我们得出结论，市场波动性越大，使用条件概率P的准确估计就越重要，条件概率P也具有自身调整频率的特点。注意，无需了解竞争对手的反应策略–竞争对手行为和市场动态的信息隐含在▄P中。备注5.2。（主要见解）（i）对于成功的战略来说，定期的价格调整以及对市场动态的预测非常重要。这两种影响都具有挑战性：一方面，动态系统的计算非常耗时；另一方面，现实生活中的市场动态通常是复杂的，其特点是有大量的因素。（ii）为了避免维度诅咒，我们简化了问题：虽然“时间和库存水平”的缩减状态空间允许快速优化，但在我们的模型中，市场演变的预期转移到模型的销售概率。我们简化的“稳定性假设”（这是分解的关键）的不准确可以得到补偿，因为频繁观察当前市场状况和相应的价格调整使系统保持最新。（iii）在实际应用中，可以使用最先进的回归模型（逻辑回归、决策树、神经网络等）从市场数据估计模型的条件销售概率。我们的示例验证了，即使涉及战略竞争对手，与最优策略（使用完整信息）相比，我们的启发式算法的性能也非常好。

虽然最优解仅限于极少数竞争对手，但启发式策略可以很容易地应用于即使是非常多的竞争对手。由于启发式方法的状态空间仅由两个维度组成，因此价格的计算速度一直很快。因此，可以确保能够计算复杂情况下的价格，并以高频率调整价格。5.3. 战略寡头竞争中的启发式与启发式反应策略在本小节中，我们研究了多家公司相互对抗的启发式策略。在下一个示例中，我们考虑这样一个场景。示例5.3。考虑示例5.1（i）的设置。设K=3，T=100，N=10，l=0.01，c=3，δ=0.9995，d=40，A：={1，2，…，100}。所有竞争对手都采用启发式策略，参见算法3.1。所有公司都使用随机反应时间：在每个时间点t=0，h。。。，T- h价格由各层调整，概率π=h，h=0.1。初始价格由p（k）给出：=20，k=1。。。，K、 对于评估，我们使用销售概率P（h）t（i，a，~ P）：=P ois（h·d·P（a，~ P））。对于启发式算法的计算，所有公式都使用▄P（1）t（i，a▄~P）：=P（1）t（i，a，~P）/K作为条件概率的简单估计。0 20 40 60 80 100T102034050PT（k）20 40 60 80 100t246810Xt（k）图7：相互对抗的启发式策略：模拟价格轨迹（左窗口7a）和库存水平超时（右窗口7b），k=3，N=10，T=100；示例5.3。图7a展示了一个场景，其中启发式策略（参见算法3.1）由多家公司执行。我们观察到，在达到一定的价格水平之前，企业之间相互削价。然后，企业一个接一个地将价格提高到某个最大值。这种演变类似于图6中的价格模式，参见。

示例5.2。我们观察到，如果涉及的企业较少，价格周期的长度就会更长。所有企业库存水平的演变如图7b所示。公司因缺货退出市场（t=88和t=96，参见图7b）。总的来说，我们观察到启发式反馈策略是“合理的渐进式”而不是“破坏性的”，有效地避免了价格下降（竞相触底）。注意，这个特征与平衡策略有相似之处。如果可以观察到反应时间和库存水平，并且企业是合理的，那么可以使用反向归纳法得出最佳反应策略。然而，这一假设似乎并不现实。企业的定价策略将取决于时间和库存水平，一般而言，竞争对手无法观察到这一点。因此，我们面临着信息不对称的竞争。在这种情况下，均衡定价策略将很难确定。共同最佳应对策略可能使用对不同价格的观察来估计竞争对手剩余库存的概率分布（隐藏马尔可夫模型），参见Schlosser，Richly（2018）。然而，由于维度的过程，此类模型的适用性再次受到限制。最后，我们的启发式策略是一种可行且成功的策略，可应用于竞争激烈的现实生活市场。此外，我们的启发式也是一种合适的策略，可以作为对自身的回应。5.4. 价格调整成本在前几节中，我们假设价格变动是免费的。因此，可以使用频繁的更新来弥补市场预期的不足。然而，在某些市场，价格更新的数量有限，甚至可能产生（隐藏）成本，因为频繁的价格调整可能会混淆客户并降低他们的信任。

因此，合理的做法是对价格变动进行处罚，以便只进行必要的价格调整。在这种情况下，我们提出了一个模型，每个价格调整都有固定的罚款z。为了能够将价格调整成本包括在动态规划框架中，请参见（4）-（7），我们将状态空间扩展了一个维度，即不同的价格-上期-∈ A、 如果价格更新与之前的价格A不同，则会发生价格变化的成本z，z>0-. 为了模拟不存在先前价格的情况，我们让-:= 对于任何市场情况，值函数的自然边界条件由，cf.（4）（5），n=0。。。，N、 t=0。。。，T，a-∈ A.∪ {0}，VT（n，~s，a-) = Vt（0，~ s，a-) = 0。（19）剩余值Vt（n，~ s，a-) 由HJB方程确定，n=1。。。，N、 t=0。。。，T-1，a-∈ A.∪{0}，Vt（n，~s，a-)= maxa公司∈A.xi≥0Pt（i，as）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l- z·1{a6=a-∧一->0}+δ·Vt+1（n）- i） +，~ s，a, （20） 其中指示器功能1{a6=a-∧一->如果a 6=a，则0}为1-和a-> 0，如果a=a，则为0-或a-= 0.新状态组件的转换很简单–新价格a变为旧价格a-下一个时期。同样，相关的定价策略由arg max（20）确定，n=1。。。，N、 t=0。。。，T- 1，a-∈ A.∪ {0}.算法3.1仍然可以以相同的方式使用。数值复杂性略高，不可编辑。由于调整成本，只有当机会成本（不更新价格）足够大时，才会更新价格。选择的z越大，更新的价格就越少。请注意，与我们之前的模型相比，一般而言，两次价格调整之间的较大延迟（即较低的调整频率）也会导致较少的价格更新，但它们牺牲了快速响应市场变化的优势。

因此，上述模型允许快速反应和合理限制价格更新的数量。6、实践评估为了评估所提出方法的实际性能，我们在亚马逊市场上应用了我们的启发式策略。亚马逊（Amazon）或易趣（eBay）等在线市场平台是高度动态的，因为卖家可以随时观察当前的市场状况，并立即调整价格。这种动态的ishard管理为定价决策需要处理每个竞争对手的多个维度（价格、质量、卖家评级等）。在这个实验中，我们与一家德国书商合作。该卖家是德国亚马逊二手书的前十大卖家之一，拥有超过10万本不同的图书（ISBN），每本都有多个项目（1-20）。我们的卖家可以在一定程度上决定二手书的补充（通过调整购买价格）。然而，供应有限，无法直接重新订购特定（二手）书籍。因此，挑战在于在合理的时间内从给定数量的书籍（参见库存水平）中提取尽可能多的利润。我们的项目合作伙伴的定价策略以基于规则的系统为特征，该系统是在过去几年中通过仔细调整规则，使之符合在亚马逊上销售书籍所学到的知识。由于我们的项目合作伙伴在市场上有十多年的经验，我们认为他的策略有效且准确。然而，市场动态越来越复杂，使得基于规则的策略越来越难以处理和维护。6.1. 实施和架构由于我们的方法设计用于实践，我们需要校准模型，即持有成本、运输成本、折扣率，尤其是基于多个维度的销售概率。

亚马逊市场（Amazon Marketplace）要求的特定产品的市场情况包括产品特定功能（如亚马逊销售排名）以及商家特定功能（价格、质量、销售更正、反馈计数等）。表4总结了最重要的影响因素。Offer Dimension Range/Unittime secondsAmazon销售排名ISBN 1–5000 000（按重量计算）gramoriginal price 0.01–500 Euro x 0.01二手Offer数量0–20 x 1 price 0.01–500 Euro x 0.01 Condition/quality new–acceptable（6级）评级0%–100%反馈计数0–5000 000（按1装运时间计算）0–30天（按1装运成本计算）0–10欧元（按0.01国内装运是/值得注意的4：产品和商户特定尺寸。图8展示了亚马逊市场上的实际价格模式，其中异构企业竞争一个市场。我们观察到以下典型特征：（i）主动和被动竞争对手，（ii）价格波动幅度大，（iii）企业的进入（参见公司6）和退出（参见公司4），以及（iv）埃奇沃斯式价格周期。这些特征与我们的示例相似，并验证了我们的模型的适用性，参见第4节和第5节。图9描述了卖家与亚马逊市场的沟通和数据流。

何时更新哪个产品的决策由产品队列决定，通过ISBN 3980283038公司1（Q：非常好，R:97-100%，FC:80422）公司2（Q：好，R:90-94%，FC:4802970）公司3（Q：好，R:90-94%，FC:56260）公司4（Q：非常好，R:80-89%，FC:4802970）公司5（Q：非常好，R:80-80）的价格轨迹将卖方的产品分开89%，FC:5156）公司6（Q：非常好，R:80-89%，FC:1169441）图8：亚马逊市场在寡头垄断中二手书销售随时间变化的真实价格轨迹示例（基于离散时间点的观察）；图例包含（i）产品质量Q、（ii）商户评级R和（iii）所有竞争企业的反馈计数FC。可调整优先级（步骤1），参见库存更新队列。为了更新给定产品的价格，卖方通过Marketplace Web Service API请求当前市场情况（步骤2）。集成启发式策略的主要组件是数据驱动定价组件（步骤3）。根据产品市场状况的预测销售概率（步骤4），参见需求学习，价格优化确定价格，并将价格更新发送回亚马逊（步骤5）。由于卖家请求市场情况和更新价格的速度有限，因此更重要的产品存储在最频繁更新的队列中。另一方面，不面临激烈竞争或预期客户访问频率较低的产品存储在租赁频繁更新的队列中。排队机制每2-12小时更新一次产品（即每天更新2-10本），每月可观察超过2000万个市场情况。