基于签名支付的衍生品定价

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英文标题：
《Derivatives pricing using signature payoffs》
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作者：
Imanol Perez Arribas
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce signature payoffs, a family of path-dependent derivatives that are given in terms of the signature of the price path of the underlying asset. We show that these derivatives are dense in the space of continuous payoffs, a result that is exploited to quickly price arbitrary continuous payoffs. This approach to pricing derivatives is then tested with European options, American options, Asian options, lookback options and variance swaps. As we show, signature payoffs can be used to price these derivatives with very high accuracy.
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中文摘要：
我们引入了签名支付，这是一系列路径相关衍生工具，根据标的资产价格路径的签名给出。我们证明了这些导数在连续收益空间中是稠密的，这一结果被用来快速为任意连续收益定价。然后用欧洲期权、美国期权、亚洲期权、回望期权和方差掉期对这种衍生品定价方法进行测试。正如我们所展示的，签名支付可以用来对这些衍生品进行非常高精度的定价。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Derivatives_pricing_using_signature_payoffs.pdf (505.72 KB)

2022-6-10 19:56:08 上传

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关键词：衍生品定价 衍生品 Quantitative Mathematical Applications

使用签名支付的衍生品定价*Imanol Perez Arribas1，2J。P、 牛津大学伦敦数学研究所摩根（Morgan），2018年9月26日摘要我们介绍了签名支付（signature Payoff），这是一系列路径依赖型衍生工具，根据标的资产价格路径的签名给出。我们表明，这些衍生工具集中在连续支付空间中，这一结果被用来快速为任意的连续支付定价。然后用欧洲期权、美国期权、亚洲期权、回望期权和方差掉期对这种衍生工具定价方法进行了测试。正如我们所展示的，签名支付可以用来对这些衍生品进行非常高精度的定价。关键词：衍生品定价、粗糙路径理论、签名、签名支付1简介在某种基础上将函数表示为线性泛函的想法并不新鲜。例如，RDI中的实值函数是连续的，当且仅当它可以用多项式（[10]）很好地局部逼近。因此，我们可以通过在Rd的多项式基础上分析其线性效应来研究此类连续函数。*本文中表达的观点是作者的观点，并不一定反映摩根大通的观点。路径的签名是一种映射，它在某种程度上与多项式基buton路径空间起着类似的作用。路径是在区间[0，T]上定义的连续映射，并在d维UCLIDEAN空间Rd上取值。其特征是一系列迭代积分[8，9]（精确定义在定义3中）。结果表明，签名上的连续函数可以被签名上的线性函数很好地局部逼近。这在各个领域都有广泛的应用，包括金融领域。假设我们有一些（可能是高维的）价格路径，我们想研究未知实值连续函数对价格路径的影响。

如果我们只知道函数在一组有限的价格路径上的图像，那么我们可以通过查看其对价格路径签名的线性影响来推断更多关于它的知识。然后，我们可以使用未知函数在签名方面的线性表示来预测未知价格路径上函数的值。本文的目的是利用路径上函数的这种线性表示来快速定价任意金融衍生品。我们通过在第4节中引入一系列称为SignaturePayoff的导数来实现这一点。与多项式类似，这些签名Payoff构成一个代数：两个签名Payoff的和是签名Payoff；两个签名付款的乘积是签名付款。此外，签名支付快于价格，可以很好地近似连续支付，即价格路径上定义的连续实值函数。在第6节中，我们使用签名支付法将该方法应用于欧洲期权、美国期权、亚洲期权、回望期权和方差掉期的近似价格，签名方法被证明在定价时非常准确。2符号给定d维欧氏空间Rd，我们定义张量代数（（Rd））：={（ai）i≥0：ai∈ （Rd）i} 。顾名思义，T（（Rd））是一个具有和+和张量积的代数. 同样，定义（Rd）：={（ai）i≥0：ai∈ （Rd）土地N≥ 0，使ai=0我≥ N} ，它是T（（Rd））的子代数。我们还将考虑n阶截断张量代数∈ N、 定义的asTn（Rd）：={（ai）ni=0:ai∈ （Rd）i} 。请注意，存在一个自然包含T（（Rd）*) → T（（Rd））*（[8]），其中（Rd）*和T（（Rd））*分别表示Rd和T（（Rd））的对偶空间，即。

所有线性泛函的空间。3路径的签名我们应首先定义具有有界p-变化的d维路径的空间。定义让p≥ 1，让X∈ C（[0，T]；Rd）。X的p变化定义为kxkp：=sup{ti}i[0，T]Xi | Xti+1- Xti | p！1/p，其中Supremum将接管[0，T]的所有分区。然后将有界p变量的连续路径空间定义为vp（[0，T]；Rd）：={X∈ C（[0，T]；Rd）：kXkp<∞},这是一个范数为kXkVp（[0，T]；Rd）：=kXkp+max0的Banach空间≤t型≤T | Xt |。我们现在可以定义d维路径X的特征，它是张量代数（（Rd））的一个元素。定义让p≥ 1、路径X的签名∈ Vp（[0，T]；Rd）定义为asS（X）：=（1，X，X，…）∈ T（（Rd）），其中xn：=Z。Z0<u<<un<TdXu . . .  dXun公司∈研发部n、 如果迭代积分定义良好。同样，n阶截断签名定义为n（X）：=（1，X，X，…，Xn）∈ Tn（Rd）。注：路径X的性质将决定迭代积分的定义方式。例如，ifX∈ Vp（[0，T]；Rd）与1≤ p<2积分可以定义为Young意义上的积分（[8]）。另一方面，如果X是布朗运动的一个样本，则积分可以理解为It^o或Stratonovich（[5]）。例如，设X为一条路径，该路径的签名已明确定义。签名的第一项由x=ZTdXu=XT给出- 十、∈ Rd.换句话说，签名的第一项等于周期[0，T]内路径的增量。另一方面，传感器X只是路径的Levy区域：路径和连接起点X和终点XT的弦之间的有符号区域。

签名的高阶项捕获了路径的其他方面，但它们的几何直觉变得不那么清晰。签名是路径的唯一表示，直到树状等价物（[6，1]），这些等价物是参数化不变的（[9，引理2.12]）。重新参数化的有限维组的减少使符号成为一种简洁的路径表示方式，因此，通过查看路径签名对函数的影响来描述路径上的函数是有意义的。这是我们在第4节中遵循的想法，我们将支付定义为价格路径上的支付，通过其签名以线性方式起作用。正如我们将看到的，这类支付足够丰富，可以将连续支付近似到任意精度。签名上的线性泛函将是本文的重点研究对象。因此，我们将引入一些符号来简化它们的描述。长度为n且字母表{1，2，…，d}的单词的顺序为I=（I，I，…，in） {1，2，…，d}n。空单词是唯一长度为零的单词，将由（）表示。给定一个单词I=（I，I，…，in）和一个d维路径X，该路径的签名已明确，我们定义了投影πI∈ T（（Rd）*) asπI（S（X））：=R。R0<u<<un<tDsui。dXinun。定义出租(Ohm, P、 F）为概率空间，设X为d维随机过程。假设X的签名几乎可以确定，并且E[S（X）]是有限的。

然后，E[S（X）]将被称为随机过程X的预期签名。与引言中讨论的多项式映射的情况类似，随机过程的预期签名包含关于过程定律的足够信息，以完全确定它（[4，2]）。在定义签名支付之前，我们将引入一维路径的扩充。定义Let X∈ Vp（[0，T]；R）是有界p-变分的连续路径，其中p≥ 1、X的增广为路径BX∈ Vp（[0，T]；R）定义为：=t、 Xt，XTt. 具有有界p-变差的所有增广连续路径的空间将由Ap（[0，T]）：Ap（[0，T]）：={bX:X表示∈ Vp（[0，T]；R）} Vp（[0，T]；R）。因此，路径的扩充是一个三维路径。然后将支付函数定义为增广路径上的面积值映射。定义让p≥ 1、支付函数P是映射P:Ap（[0，T]）→ R、 示例1。欧洲支付是形式P（bX）：=ψ（XT）表示所有bX的支付∈ Ap（[0，T]），对于某些连续ψ：R→ R、 2。带有浮动罢工的回望看涨期权的支付定义为P（bX）：=最大值0≤t型≤TXt文件- XT用于allbX∈ Ap（[0，T]）。请注意，在这两个示例中，payoff函数是连续的。许多其他衍生工具如美式期权、亚洲期权、方差掉期等都是如此。4签名支付现在将定义签名支付。定义让`∈ T（（R）*). 我们将到期日T>0的“签名付款”定义为4月b日的付款∈ 签字明确的Ap（[0，T]）在到期时向衍生工具持有人支付S`（bX）：=`（S（bX））的金额。换句话说，S`是映射定义的asS`:Ap（[0，T]）→ R（1）bX 7→ `（S（bX））。（2） 示例1。设K>0，并设置\'K（S（bX））：=(-Kπ（）+π（2）+π（3））（S（bX））=-K+（XT）-十） +（X-0）=XT- K

然后，“K-signature Payoff”K向衍生品持有人支付XT金额- Kat时间T。因此，S\'K对应于交货价格为K.2的远期合约。让K>0。定义“Kas”K（S（bX））：=-Kπ（）+Tπ（2,1）+π（3）（S（bX））=-K级+TRTXSD- 十、+（十）- 0）=TRTXSD- K、 当时的薪酬是一名亚洲前锋。正如我们所看到的，一些简单的支付实际上可以被视为签名支付，对于一些适当的`∈ T（（R）*).接下来自然会出现以下问题：签名付款人家族有多富有？他们近似的其他报酬是什么？现在我们将证明签名payoff的近似连续payoff是任意好的。引理4.1。由T（（Rd）诱导的T（（Rd））上的线性形式*), 当限制到签名的范围S（Vp（[0，T]；Rd））时，形成实值函数的代数。证据参见【8，定理2.15】。定理4.2。让p≥ 1，设P:Ap（[0，T]）→ R是一个支付函数。让E Ap（[0，T]）是一个紧集。假设对于每个HBX∈ E、 签名S（bX）是一条p-几何粗糙路径（[8，定义3.13]）。然后，假设P是连续的，给定任何ε>0，存在一个线性泛函ε∈ T（（R）*) 因此P（bX）- S′ε（bX）< ε bX公司∈ E.证据。LetbX公司∈ Ap（[0，T]）。由于bX的至少一个坐标是单调的，所以其签名S（bX）决定BxUniquely（[6，1]）。因此，映射P:Ap（[0，T]）→ R诱导映射bp:S（Ap（[0，T]））→ 因此，P（bX）=bP（S（bX）），其中S（Ap（[0，T]））具有由签名映射诱导的拓扑。由于P是连续的，映射bp也是连续的。设ε>0。很明显，T（（R）诱导T（（R））上的线性形式*) 分离点并包含常量函数。因为根据前面的引理，它也是一个代数，所以根据Stone–Weierstrass定理，存在一个`ε∈ T（（R）*) 使| bP（a）- `ε（a）|<所有a的ε∈ S（E）。

因此P（bX）- S′ε（bX）< ε bX公司∈ E、 注：根据[1]，使用S（bX）是p-几何粗糙路径的假设来确保签名的唯一性。如果X具有有界变化（即p=1），则被定义为黎曼-斯蒂尔杰斯积分的签名将始终是几何粗糙路径。如果X是半鞅，我们需要使用Stratonovichintegrals定义S（bX），以确保bX的签名是几何粗糙路径。示例重要的是要有满足定理4.2条件的支付示例。大多数金融衍生品，包括普通期权和奇异期权，都包含在定理4.2的框架内。一些示例包括欧洲期权、美国期权、亚洲期权、回望期权和方差掉期。请注意，例如，屏障选项原则上不包括在该设置中，因为屏障上的不连续性意味着它们不满足定理4.2的连续性假设。然而，可以通过平滑障碍物的支付来实现这一点，例如，通过障碍物弯曲。定理4.2的一个主要应用是，当我们发现一系列近似连续支付的衍生工具时，我们可以通过使用SignaturePayof近似来为给定的衍生工具或一篮子衍生工具定价。正如我们将在第5节中看到的，签名支付可以快速定价。因此，当对导数进行定价的计算成本很高时，使用签名对导数进行定价就变得特别有趣。在第6节中，我们将看到这种为任意连续支付定价的方法非常准确。5定价签名支付正如我们在第4节中看到的，签名可以近似于任意精度的连续支付。

因此，如该节末尾所述，我们可以利用这一点来为这些衍生产品定价：给定一个连续的payouff，我们会找到一个“签名payoff”，它近似于所需的精度。然后，带payoff P的衍生工具的公允价值可以近似为“-签名的公允价值。然而，为了使这种衍生品定价方法有用，我们必须证明签名支付可以快速定价。在这种情况下，人们将能够为计算价格昂贵的快速衍生品定价。让我们成为一个标志性的付款人。根据资产定价的基本定理（[3]），在没有免费午餐且风险为零的假设下（见[3，定义2.8（ii）]），S的公允价值将由ZTEQ[S`（bX）]给出，Zt为区间[0，T]的贴现因子，Q为风险中性度量。然而，由于签名支付被定义为签名的线性函数，我们有：ZTEQ[s`（bX）]=ZTEQ[`（s（bX））]=ZT`等式【S（bX）】.风险中性措施Q下的预期BX签名仅取决于独立于签名支付的风险中性措施（即市场）。假设现在有一篮子导数{P，…，PN}。这些支出的定价可能很昂贵，因此为整个篮子定价将需要相当长的时间。利用定理4.2，我们可以使用以下步骤对篮子进行定价：1。将篮子{P，…，PN}替换为一篮子签名payoffs{s\'，…，s\'n}，其中编码\'i是预计算的。2、利用当前市场条件，计算风险中性测度EQ[S（bX）]下增广价格路径的预期签名。3、计算每个线性泛函的计算期望签名，以获得{S`，…，S`n}的公允值，这是我们对{P，…，S`n}公允值的近似值。

，PN}。在上述过程中，步骤1不需要花费时间，因为编码不能根据市场条件进行预计算。第三步也不贵，因为基本上对每个“Ionlycons”的评估都是计算两个向量的内积。一般来说，步骤2是唯一可能需要的步骤。然而，由于预期签名只计算一次，然后用于整个篮子，因此该过程可能比单独为每个衍生工具定价快得多。此外，在许多情况下，如果我们在价格路径上假设一些模型，那么预期的签名EQ【S（bX）】实际上可以显式计算，我们将在第5.1节中看到这一点，从而使其计算变得便宜。这意味着，按照上述三个步骤，可以很快为单个衍生品甚至整个衍生品篮子定价。5.1在Black-Scholes模型下对签名支付进行定价正如我们所看到的，在无风险措施下，对任何`-签名支付进行定价的问题被简化为计算EQ[s（bX）]的问题。在本节中，我们将研究当我们假设基础股票价格遵循Black-Scholes模型时，如何计算预期签名。在Black-Scholes模型下，价格路径的Q动态由dxt=rXtdt+σXtdWt给出，（3）利率和波动率分别为r和σ，假设为常数，且为标准布朗运动。