复利公式的一些非平凡性质

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英文标题：
《Some Nontrivial Properties of a Formula for Compound Interest》
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作者：
Isaac M. Sonin and Mark Whitmeyer
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We analyze the classical model of compound interest with a constant per-period payment and interest rate. We examine the outstanding balance function as well as the periodic payment function and show that the outstanding balance function is not generally concave in the interest rate, but instead may be initially convex on its domain and then concave.
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中文摘要：
我们分析了具有固定分期付款和利率的复利的经典模型。我们检验了未偿余额函数和周期支付函数，并表明未偿余额函数在利率上通常不是凹的，而是在其域上可能先凸后凹。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：Quantitative Mathematical Contribution Optimization Applications

复利公式的一些非平凡性质*Mark Whitmeyer+2018年9月28日摘要我们分析了复利的经典模型，其中每期付款和利率为常数。我们检验了未偿余额函数和定期支付函数，结果表明，未偿余额函数在利率中通常不是凹的，而是在其域上先凸后凹的。*北卡罗来纳大学夏洛特分校数学系+通讯作者；德克萨斯大学奥斯汀分校经济系：马克。whitmeyer@utexas.edu.1当人们的思想开始扩大，当真正的宗教和真正的自由复兴时，商业再次发展为信贷；再次介绍了其不可分割的伙伴，即利息贷款原则-英国法律评论（William Blackstone）复利公式已经为人类所知数千年了，甚至可以追溯到古苏美尔，4000多年前，那里的商人正在计算贷款的复利（Muroi，2015）[12]。不出所料，复利引发的敌意和怨恨同样由来已久。借贷利息受到许多国家政府和传统的管制，自然引起了许多宗教和历史人物的愤怒，如亚里士多德、柏拉图、威廉·莎士比亚和卡尔·马克思等。另一方面，有更有力的论点认为，复利应该被视为推动文明本身的引擎之一。尽管复利具有重大意义，而且它在人类知识领域存在的时间也很长，但它的一些基本特征却没有被描述出来。

因此，本文的目的是讨论与复利相关的两个重要函数的性质。我们看一看简单的贷款合同，其中借入的金额C必须在T个时期内以确定且恒定的利率r和恒定的定期付款P（r，T）偿还。然后C=P1+r+P（1+r）+···+P（1+r）T=P（1+r）T- 1r（1+r）T（1） 其中P=P（r，T）是定期付款T。未清余额B=B（r，T，T）是T，0时刻的到期金额≤ t型≤ t如果定期付款在t时刻停止。也就是说，B由等式1=P1+r+P（1+r）+···+P（1+r）t+B（1+r）t（2）定义。有关利息在整个历史中的重要性的更多详细信息，请参阅哈德逊（2000）[9]的优秀文章，以及霍默和西尔拉（1963）[8]和戈茨曼（2016）[6]的著作。在我们的第一个结果，即命题2.1中，我们表明，对于固定T和T，未偿平衡函数是r的递增函数。如果T- 2吨+3吨≥ 0那么B是r的凹函数，并且是凸凹函数。接下来，我们看周期支付，P（r，T），是利率r和摊销间隔T的函数。在Proposition2.2中，我们确定，对于固定的T，周期支付在r中是增加和凸的。Dunn和Spatt（1999）[5]中使用了关于这些函数的结果。在引理2中（本文的命题2.2），他们刻画了周期支付函数，但忽略了证明。在引理3中，作者写道，未偿余额函数是利率的严格凹函数。然而，这里我们表明，这只适用于t和t的某些值，与所有值都适用的断言相反。最后，我们想提及的是，利率的概念与内部收益率这一重要且尚未完全理解的概念有着深刻的联系。

参见经典论文，Arrow和Lehtani（1969）[1]，D orfman（1981）[4]，和Samuelson（1937）[13]；以及最近的工作，Atsumi（1991）[2]，Hazen（2003）[7]和Sonin（1995）[14]。2结果从现在起，我们假设C=1，并重新排列表达式n1以获得p（r，T）=r（1+r）T（1+r）T- 1=r+r（1+r）T- 1（3）我们可以重新排列未偿平衡函数中的项，B（r，T，T）到o bt ainB（r，T，T）=（1+r）T- （1+r）t（1+r）t- 1= 1 -（1+r）t- 1（1+r）T- 1（4）如果函数在定义的区间上是第一个凸的，则称其为凸凹函数，然后是一个凸函数。提案2.1。未偿平衡函数B（r，T，T）是利率r的增函数。此外，如果T- 2吨+3吨≥ 0和r的凸凹函数。提案2.2。周期支付函数P（r，T）是利率r f或任何给定固定T的递增凸函数。这些证明是微积分中简单而乏味的练习。我们稍后将描述主要步骤（第2.1节），但首先简要提及这些事实的一些可能应用。在经济学和金融学中，函数的凸性主要是在涉及随机性时。如果在一个简单的例子中，借款人有可能获得一笔利率为r±a且概率相等的贷款，那么命题2.2立即暗示预期的定期付款将高于利率r的定期付款。

对于同一个例子，如果定期付款在时刻t被终止，那么预期的未偿余额是更低还是更高取决于表达式t的符号- 2吨+3吨。Dunn和Spatt（1999）[5]利用未偿余额函数（据称）的凹度，以确定对于三个具有相同到期日的可赎回贷款，（贴现）点是利率r（命题5）的严格凹函数。邓恩和斯帕特论文的一个独特优势是模型的节俭性，它允许作者在没有特定参数假设的情况下得出清晰的经济预测。更复杂的相关论文包括Kau et al.（1992）[10]，该论文试图为固定利率抵押贷款提供一个估值模型，其中房屋估值和利率的变化遵循连续时间随机过程；和Mele（2003）[11]，其描述了债券价格和短期利率之间的一些简单关系。如[10]中所述，利率（以及短期利率的波动性）是连续时间马尔可夫过程，作者提供了债券价格在（短期）利率中严格下降和凸的条件。值得一提的最后一篇论文是Berk（1999）[3]，作者在这篇论文中提出了一个修改后的净现值投资规则，可用于投资者有权推迟其投资决策的情况。2.1命题2.1和2.2的证明为了方便起见，我们使用符号1+r=x，T=n和T=k。然后，表达式（4）和（3）可以重写为b（x，n，k）=xn- xkxn- 1= 1 -xk公司- 1xn- 1（5）和p（x，n）=xn+1- xnxn- 1=x- 1+x- 1xn- 1=x- B（x，n，1）（6）很容易检查B（1，n，k）=（n- k） /n和P（1，n）=1/n。

为了证明命题2.1，我们必须分析B（x，n，k）的一阶和二阶导数的符号，它们分别是Bx和Bxx。我们有bx（x，n，k）=-xk公司-1.xn（k- n） +nxn-k- k（xn- 1)≡ -xk公司-1（xn- 1） B（x）很明显，B（1）=0，B′（x）=xn-k-1n（k- n） （xk- 1） <0对于所有x>1。因此，由于B（x）严格为负，Bxis严格为正，即B（x，n，k）是x的递增函数。接下来，我们取B对x的二阶导数，Bxx:Bxx（x，n，k）=-xk公司-2.Ax2n+Cx2n-k+Dxn+Exn-k+F（xn- 1)≡ -xk公司-2（xn- 1） B（x）（7），其中A=（n-k） （n）-k+1），C=-n（n+1），D=-2k（k-1） +2kn+n（n-1） ，E=-n（n-1） ，且F=k（k- 1). 我们介绍以下函数序列，B（x）、B（x）和B（x），其中xn-k-1B（x）=B′（x），nxk-1B（x）=B′（x）和xn-k-1B（x）=B′。全部细节留待附录A。直接计算表明，B（1）=B（1）=B（1）=0，B（1）=kn（n-k） （n）- 2k+3）。此外，B（x）=2n（n+k）Axk+（n- k） （2n- k） C.相应地，sinceA>0，函数B（x）在x中增加，对于大x为正，并且接近+∞ 因为xbecomes非常大。如果n- 2k+3≥ 0则B（x）对于所有x>1为正，并且由于B（1）=B（1）=B（1）=0，对于函数B、B和B也是如此。因此，通过（7），B（x）的二阶导数对于所有x>1为负，即B（x）对于所有x为凹函数≥ 1、另一方面，如果n- 2k+3<0那么函数B（x）（x）在一些非空区间l上为负，在r之后为正，并且接近+∞ 在极限内。因此，对于某些非空区间的函数B、B和B也是如此，这意味着函数B（x）的二阶导数在某些区间上是正的，之后是负的。因此，对于n和k的这些值，函数B（x）是凹凸的。

这证明了命题2.1。凹度代替凸度的弯曲点可以通过多项式方程B（x）=0的解在数值上找到（见表达式7）。接下来，为了证明命题2.2，我们取P（x，n）对x，Px的偏导数：Px（x，n）=xn-1.xn+1- （n+1）x+n（xn- 1)≡xn公司-1（xn- 1） P（x）很明显，P（1）=0，P′（x）=（n+1）（xn- 1） >0表示所有x>1，因此Px>0i。e、 P（x，n）在x中增加。最后，fr om命题2.1，B（x，n，1）是凹的（sinceT- 2 + 3 > 0). 然后-B（x，n，1）是凸的，通过表达式6，函数P（x，n）也是凸的。参考文献[1]KennethJ.Arrow和DavidLevhari。投资寿命可变的内部收益率的唯一性。《经济杂志》，79（315）：560–5661969。[2] Atsumi Hiroshi。《新奥地利资本理论中的利率》，第393-409页。英国帕尔格雷夫·麦克米兰，伦敦，1991年。[3] 乔纳森·B·伯克。决定何时投资的简单方法。Ame ri canEconom i c Review，89（5）：1319–13261999年12月。[4] 罗伯特·多夫·马恩：《内部收益率的意义》。《金融杂志》，36（5）：1011–10211981。[5] 肯尼斯·B·邓恩和切斯特·S·斯派特。对债务合同的看涨期权、积分和支配权限制。《金融杂志》，54（6）：2317-2337，19 99。统一资源定位地址http://www.jstor.org/stable/797996.[6] 威廉·戈茨曼。金钱改变一切：金融如何使文明成为可能。普林斯顿大学出版社，2016年。[7] Gordon B.Hazen。多重内部收益率的新视角。《工程经济学家》，48（1）：31–51，20 03。[8] 西德尼·荷马和理查德·席拉。利率历史。Wiley，第4版，2005年。[9] 迈克尔·哈德逊。利率是如何设定的，公元前2500年至公元1000年。《东方经济和社会历史杂志》，43（2）：132–1612000年。[10] Walter J.Muller III James B.K au、Donald C.Keenan和James F。

Epperson。固定利率住房抵押贷款的广义价值模型。《货币、信贷和银行杂志》，24（3）：279–2991992年8月。[11] 安东尼奥·梅勒。短期利率模型中债券价格的基本性质。《金融研究评论》，16（3）：679–7162003。[12] Kazuo Muroi。苏美尔最古老的复利例子：三分之七的幂。Mimeo，2015年。统一资源定位地址https://arxiv.org/abs/1510.00330.[13] 保罗·A·萨缪尔森。纯粹资本理论的某些方面。《经济学季刊》，51（3）：469–4961937。[14] 艾萨克·M·索宁。投资模型中的增长率、内部收益率和收费公路。《经济理论》，5（3）：383–400，1995年10月。命题2.1计算微分函数B（x）我们得到B′（x）=2nAx2n-1+（2 n- k） Cx2n-k-1+nDxn-1+（n- k） Exn公司-k-1=xn-k-1.2nAxn+k+（2 n- k） Cxn+nDxk+（n- k） E类≡ xn公司-k-1B（x）然后b′（x）=2n（n+k）Axn+k-1+（2 n- k） nCxn公司-1+knDxk-1=nxk-1.2（n+k）Axn+（2 n- k） Cxn公司-k+kD≡ nxk公司-1B（x）和b′（x）=2n（n+k）Axn-1+（2 n- k） （n）- k） Cxn公司-k-1=xn-k-1.2n（n+k）Axk+（2 n- k） （n）- k） C类≡ xn公司-k-1B（x）