逆高斯求积与有限正态混合逼近

890]：Z∞g（x）图（x |σ，σ）dx-Xk=1wkg（Xk）=n！（2n）！H（2n）（ξ）对于某些ξ∈ (-∞, ∞),其中函数H（z）isH（z）=2go φ-1σ（z）1+φ-1σ（z）。因此，如果g（x）是解析函数，则期望n上的指数收敛。最后，求积计算速度非常快，因为它只是高斯-厄米求积的一种变换，可以从标准数值库或预计算值中获得。由于密度函数fig（x |γ，δ）和fgig（x |γ，δ，p）由fgig（x |γ，δ，p）=c（γ，δ，p）xp+/2fig（x |γ，δ）关联，其中c（γ，δ，p）=rπγpδp+1e-γδKp（γδ），我们可以进一步将求积推广到GIG分布。推论1（GIG求积）。设{xk}和{wk}是关于定理1中定义的tofig（x |γ，δ）的IG求积。然后，{xk}和{wk}由'wk=c（γ，δ，p）xp+/2kwk定义，作为关于fgig（x |γ，δ，p）的求积。求积精确计算r=1的Rth阶矩- n- α, . . . , n- α表示α=p+/2。证据修改后的权重{wk}从E（g（\'X））=E中获得c（γ，δ，p）Xp+/2g（X）对于函数g（x），其中'x~ gig（σ，σ，p）和X~ ig（γ，δ）。关于动量的陈述也是关系的直接结果，E（(R)Xr）=c（γ，δ，p）E（Xr+α）。注意，如果α不是整数，则不能保证Pnk=1'wk=1；因此，建议按1/Pnk=1'wk的系数缩放{'wk}，以确保Rpnk=1'wk=1。然而，如果| p |，则调整量非常小 n如下一节所示。4、数值示例我们对IG和GIG求积进行了数值测试。这些方法以R（3.6.0版，64位）在运行Windows 10操作系统的个人计算机上实现，该操作系统具有Intelcore i7 1.9 GHz CPU和16 GB RAM。首先，我们评估IG分布的矩。

rth阶矩'X~gig（γ，δ，p）有一个封闭形式的表达式（(R)Xr）=δγrKr+p（γδ）Kp（γδ），（9），可根据其测量正交评估的误差。图1显示了X的E（Xr）的相对误差~ 当n=10和20个正交点进行评估时，ig（1，1）。图1:X的rth阶矩的相对误差标志~ ig（1，1）用正交大小n=10（左）和20（右）计算。实线（蓝色）表示正误差，虚线（红色）表示负误差。由于对称性E（X1），省略了负力矩-r） =E（Xr）。0 2 4 6 8 10 12-7.-6.-5.-4.-3.-2rLog10（|相对误差|）0 5 10 15 20-10-8.-7.-6rLog10（|相对误差|）正如定理1所预测的那样，求积法精确地计算了1中整数r的矩- nto n.当1时，非整数r的误差也相当小- n≤ r≤ n、 E（Xr）的相对误差也可以解释为E（(R)X=1）=Pnk=1'wk与'X的1的偏差~ gig（1，1，r-/2); 因此，如果| p |，GIG正交权重之和非常接近1 n、 其次，我们测试了GIG分布的矩母函数（MGF）的准确性。由于MGF为'X，因此很容易测量正交近似的误差~ gig（γ，δ，p）由m'X（t）解析给出=γγ- 2吨p/2Kp（δpγ- 2t）Kp（Δγ）。（10） MGF可以用M'X（t）进行数值计算≈Pnk=1'wkexp（t xk），用于推论1中的GIG求积{xk}和{wk}。然而，我们发现，负p的数值近似比正p更准确，因为当p<0时，概率密度更集中在'X=0附近。

利用对称性，Kp（·）=K-p（·），我们以修正的方式评估MGF，p>0:M'X（t）≈γγ- 2吨max（p，0）nXk=1'wkexp（t xk），（11），其中{xk}和{wk}是'X的GIG求积~ gig（γ，δ，-|p |）。这是观察收敛行为的一个很好的测试示例，因为MGF包含随机变量的所有幂。此外，GH分布的MGF类似地由函数组成给出，MY（t）=exp（ut）M'Xβt+t/2. 因此，我们也可以从测试结果推断GH分布的MGF的准确性。图2显示了相对图2：用公式（11）计算的GIG分布的MGF的收敛性，作为平方大小n的函数。MGF在t=0.4σ（收敛半径的80%）下进行评估，对于'X~ gig（σ，σ，p），用于随p=-0.5（上面板），p=1（中间面板），p=90（下面板）。准确的MGF在inEq可用。(10).20 40 60 80 100-16-12-8.-6.-4n（正交大小）Log10（|相对误差|）σ=0。5σ=0. 75σ=1σ=220 40 60 80 100-16-12-8.-6.-4n（正交大小）Log10（|相对误差|）σ=0。5σ=0. 75σ=1σ=220 40 60 80 100-15-10-5 0n（正交大小）Log10（|相对误差|）σ=0。5σ=0. 75σ=1σ=2'X的MGF错误~ σ为0.5至2的gig（σ，σ，p）。测量误差att=0.4σ，即当γ=δ=σ时，在收敛半径| t |=0.5σ的80%半径处。对于p，我们使用两种重要的特例，NIG分布（p=-0.5）和双曲线分布（p=1），以及一种极端情况（p=90）。p=-0.5的情况清楚地显示了误差的指数衰减作为正交尺寸n的函数，而与σ值无关。然而，在p=1的情况下，σ越小，收敛速度越慢。

这似乎与这样一个事实有关，即GIG求积的矩阶是精确的阿伦诺整数值（r=±0.5，±1.5，···），并且当σ较小时，GIG分布更细。在p=90的情况下，误差迅速收敛到机器ε≈ |p |在小n中缓慢收敛后。p的收敛模式=-90非常相似，因为评估方法，公式（11）。表1：数值实验GH分布的参数集及其统计特性。参数集1集2集3集4u0 0.00029 0.000666 0.000048α=pβ+γ1 138.78464 214.4 9β0-4.90461-6.17 2.73δ1 0.00646 0.0022 0.0161p-0.5-0.5 0.8357 -1.663σ =√γδ1 0.9466 0.6866 0.3716￠β=βpδ/γ0-0.0335-0.0198 0.1183平均值0 6.16E-5 4.00E-4 5.47E-4方差1 4.66E-5 4.33E-5 1.84E-4偏斜度0-0.112-0.110 0.655ex-kurtosis 3 3.365 2.731 20.698第三，我们使用公式（3）评估GH分布的CDF。我们使用GeneralizedHyperbolicR包【11】作为基准。包中的pghyp函数通过内部调用通用积分函数（使用自适应求积）对概率密度进行数值积分。pghyp函数的错误由intTol参数控制，intTol参数又传递给INTEGLE函数。我们使用INTTOL=1E-14时获得的CDF值作为精确值。在表1中，我们显示了要测试的四个参数集及其汇总统计信息。集合1为thehttps://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/integrateFigure3：用求积法计算的GH分布CDF的收敛性，公式（3），作为求积大小n的函数。

误差测量为99个百分位上的最大偏差{yj=F-1gh（j/100）：j=1，···，99}。20 40 60 80 100-12-10-8.-6.-4n（正交大小）Log10（|误差|）集合1集合2集合3集合4标准NIG分布，gh（0，0，1，1，-/2） ，以供参考，其余为以往研究中根据经验财务数据估计的参数；第2组来自欧元/美元外汇汇率回报【9】，第3组和第4组分别来自纽约证券交易所综合指数和宝马股票的回报【5】。图3描述了正交方法误差随正交大小n增加的衰减。误差定义为所有百分位CDF值的最大绝对偏差{yj=F-1gh（j/100）：j=1，····，99}。虽然误差随着σ变小而增加，但它很快收敛到10-8或以下，所有测试集的n=100左右。在图4中，我们进一步研究了作为分布参数函数的精度。我们同样测量了归一化形式的CDF误差，Y~ gh（0，￠β，σ，σ，p），当￠β，σ和p中的每一个值与集合1中的值不同（￠β=0，σ=1，p=-/2). 图4显示，随着|β|变大（上面板）或σ变小（中面板），精确度会下降。因此，对于这样的参数范围，正交大小n应该更大。这也解释了图3中观察到的收敛模式；这四个集合的收敛速度主要由σ决定，因为在所有情况下￠β的值都很小。然而，下面板显示，当GH分布偏离NIG（p=-0.5）和双曲线（p=1）分布。这与图2（下面板）的观察结果一致。表2比较了求积法和数值积分法的计算时间。

为了公平比较，我们放宽了误差容限，以便pghyp函数图4：用求积法计算的GH分布CDF的误差，公式（3），作为n=60、80和100的参数函数。对于Y~ gh（0，|β，σ，σ，p），我们将|β（上面板）、σ（中面板）和p（下面板）从集合1中改变（|β=0，σ=1，p=-/2). 误差测量为99个百分位上的最大偏差{yj=F-1gh（j/100）：j=1，···，99}。在上面板中，由于对称性，省略了负▄β的结果。0 1 2 3 4-14-10-6 |β~ | Log10（|误差|）n=60n=80n=1000.2 0.4 0.6 0.8 1.0-12-8.-4σLog10（|误差|）n=60n=80n=100-15-10-5 0 5 10 15-16-14-12-10pLog10（|误差|）n=60n=80n=100表2：GIG求积中GH分布CDF的计算时间，公式（3）和密度积分[11]。我们测量时间（以毫秒为单位）来计算99%的CDF。方法集合1集合2集合3集合4密度积分误差7.55E-08 3.45E-06 4.45E-06 2.56E-06（intTol=2E-3）CPU时间（ms）26.28 42.67 53.16 41.5GIG正交误差7.99E-11 4.68E-10 8.06E-08 1.24E-06（n=50）CPU时间（ms）0.86 0.75 0.81 0.98运行更快。具体而言，intTol=2E-3的选择使得所有参数集的密度积分精度较低。尽管有设置，结果表明，求积方法比密度积分快至少一个数量级。由于正交法避免了对修正贝塞尔函数Kp（·）的昂贵评估，因此性能得到了改善。此外，表3报告了两个尾部CDF中的错误。求积法准确地捕捉到尾部事件。表3：用求积法计算的GH分布CDF的误差，公式（3），在几个非常分位数处，y=F-1gh（q）。

使用正交大小n=50。q组1组2组3组4-92.1E-17-1.4E-16 5.7E-17 4.6E-13-63.8E-13 8.8E-14 1.9E-13 1.5E-10-31.7E-10-1.5E-10 1.0E-09 6.3E-071- 10-3-1.7E-10-4.8E-10-2.9E-09 6.4E-061- 10-6-3.8E-13-6.8E-13 4.2E-13-1.5E-091- 10-9-2.1E-17-2.0E-16 1.1E-16 3.1E-14最后，我们测试了随机数生成方法，公式（5）。利用生成的GHrandom变量，我们评估了几个百分位的CDF值。在表4中，我们报告了以这种方式测量的CDF值的偏差和标准偏差。对于基准测试，我们使用GIGrvg R包[19]作为生成GIG随机变量的替代方法。包中的rgig实现了Dagpunar【15】和H¨ormann以及Leydold【16】的两种接受-拒绝算法，并根据参数优化选择一种。从表4的数值结果来看，我们没有发现证据表明求积法比GIGrvg：：rgig函数更有偏。虽然GIGrvg软件包平均需要98.1毫秒才能生成10GIG随机数，但正方形偏差需要57.4毫秒。类似地，通过intTol=1E-14的GeneralizedHyperbolic：：Pgyp函数测量偏差。表4：在几个百分位点用蒙特卡罗方法计算的GH分布CDF值的偏差和标准偏差。GIG随机变量由（a）GIG求积法，公式（5），n=50和（b）GIGrvg：：rgig R函数生成【19】。CDF值从10个随机数中获得，统计数据在重复1000个模拟集后获得。对偶法不适用。

报告值以10为单位-6.（a）百分位数组1组2组3组41st 1±100 1±98 1±99 3±9910 0±300-2±299-6±298-3±30030-8±449-4±447-3±444-5±44450-16±513-14±514-16±511-11±51270-19±463-21±458-13±458-17±45690-10±294-13±295-2±298-4±29899 1±100 1±99-2±99 0±98（b）百分位数组1套2套3套41st-1±101-4±101-1±97 1±10310 6±296 5±291-13±306-2±28830 1±459 6±454-24±455-20±45250th-12±505-19±485-46±512-37±49970th 13±473 2±454-24±459-24±45990th-21±2992±295-19±301-15±29799-4±99 4±99 4±99-6±103-2±99方法。结论GH分布在应用中得到广泛应用，但涉及该分布的期望在数值上具有挑战性。这项研究表明，GH分布可以近似为一个有限的正态混合物，并且期望值降低到正态分布。对于有限混合成分，我们为GIG分布、GH分布的混合分布构造了新的数值求积。新的Gig求积是从Gauss–Hermite求积中推导出来的。我们通过数值例子证明了该方法的准确性和有效性。致谢我们感谢两位匿名评论者的宝贵意见。参考文献【1】J.L.Pecks，R.S.Chhikara，《反向高斯分布及其统计应用——综述》，皇家统计学会杂志。系列B（方法学）40（1978）263–289。URL：https://www.jstor.org/stable/2984691.[2] A.E.Koudou，C.Ley，《全球信息栅格法的特征：调查》，概率调查11（2014）161–176。内政部：10.1214/13-PS227。[3] O.E.Barndorff-Nielsen，《粒子大小对数的指数递减分布》，伦敦皇家学会学报。A.

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