用量子计算预测金融崩溃

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英文标题：
《Forecasting financial crashes with quantum computing》
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作者：
Roman Orus, Samuel Mugel, Enrique Lizaso
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A key problem in financial mathematics is the forecasting of financial crashes: if we perturb asset prices, will financial institutions fail on a massive scale? This was recently shown to be a computationally intractable (NP-hard) problem. Financial crashes are inherently difficult to predict, even for a regulator which has complete information about the financial system. In this paper we show how this problem can be handled by quantum annealers. More specifically, we map the equilibrium condition of a toy-model financial network to the ground-state problem of a spin-1/2 quantum Hamiltonian with 2-body interactions, i.e., a quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) problem. The equilibrium market values of institutions after a sudden shock to the network can then be calculated via adiabatic quantum computation and, more generically, by quantum annealers. Our procedure could be implemented on near-term quantum processors, thus providing a potentially more efficient way to assess financial equilibrium and predict financial crashes.
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中文摘要：
金融数学中的一个关键问题是预测金融崩溃：如果我们扰乱资产价格，金融机构会大规模倒闭吗？这最近被证明是一个难以计算的（NP难）问题。金融崩溃本质上很难预测，即使对于一个拥有完整金融系统信息的监管机构来说也是如此。在本文中，我们展示了量子退火机如何处理这个问题。更具体地说，我们将玩具模型金融网络的平衡条件映射到具有两体相互作用的自旋1/2量子哈密顿量的基态问题，即二次无约束二元优化（QUBO）问题。然后，可以通过绝热量子计算，更一般地说，通过量子退火机，计算网络突然受到冲击后机构的均衡市场价值。我们的程序可以在短期量子处理器上实现，从而为评估金融平衡和预测金融崩溃提供了一种潜在的更有效的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Quantum Physics        量子物理学
分类描述：Description coming soon
描述即将到来
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PDF下载：
--> Forecasting_financial_crashes_with_quantum_computing.pdf (369.61 KB)

2022-6-10 21:50:18 上传

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关键词：Institutions Quantitative interactions Applications Optimization

利用量子计算预测金融崩溃：美国1、2、3、4萨缪尔·穆格尔，3、4和恩里克·利萨索，4诺斯蒂亚国际物理中心，帕西奥·曼努埃尔·德拉迪扎巴尔4号，E-20018圣塞巴斯蒂安，西班牙巴斯基科学基金会，玛丽亚·迪亚兹·德哈罗3号，E-48013毕尔巴鄂，SpainQuantum for Quants Commission，量子世界协会，巴塞罗那，SpainMultiverse Computing，西班牙圣塞巴斯蒂安市Mikeletegi街83号，邮编：20009金融数学中的关键问题是预测金融崩溃：如果我们扰乱资产价格，金融机构会大规模倒闭吗？这最近被证明是一个计算上难以解决的（NP难）问题。金融崩溃本质上很难预测，即使对于拥有金融系统完整信息的监管机构来说也是如此。本文介绍了量子退火机如何处理这个问题。更具体地说，我们将玩具模型金融网络的平衡条件映射到具有两体相互作用的自旋1/2量子哈密顿量的基态问题，即二次无约束二元优化（QUBO）问题。然后，可以通过绝热量子计算，更一般地说，通过量子退火算法，计算出网络突然受到冲击后机构的均衡市场价值。我们的程序可以在短期量子处理器上实施，从而为评估金融平衡和预测金融崩溃提供了一种可能更有效的方法。一、 简介设想一个金融网络，其中机构（银行、公司……）持有大量资产以及网络中的部分其他机构。

资产价值的微小变化是否会导致这些机构的市值大幅下降？或者换句话说，会不会发生金融崩溃？目前，我们主要依靠实证或统计工具来回答这个问题[1-6]。目前尚不清楚这些方法是否能够系统且可靠地预测金融崩溃【7，8】，因为危机指标通常无法预测下一次危机【9】。我们未能预防这些事件，是经济危机及其毁灭性后果的直接责任。从数学上讲，即使对于极其简单的金融网络，预测崩溃的问题也是不可忽视的。参考文献[10]最近表明，即使对于非常简单的玩具模型，该问题也属于复杂类NP难问题，这意味着没有已知有效的经典算法来解决该问题。一般来说，通过压力测试或机构评估无法避免金融崩溃（由于隐私问题，缺乏对网络的全面了解，因此依赖重建方法）。即使对20-30家机构组成的简单网络中的所有资产和交叉持股有了全面的了解，也需要比宇宙年龄（137亿年）更多的时间计算扰动的影响。从数学上讲，NP（又名非确定性多项式）是一类非确定性经典验证师可以在多项式时间内检查解的有效性的问题。请注意，这并没有说明找到问题解决方案的难度。NP-Hard是一类问题，对于这类问题，可以在多项式时间内将求出的解简化为求出任何问题的解。那些同样属于NP的NP难问题被称为NPComplete。

在实践中，NP完全问题和NP难问题是计算机科学中最难解决的问题。虽然这种情况看起来很可怕，但有证据表明，无论是在理论上还是在实践中，量子计算都可以更有效地解决这类问题。特别是，量子计算已被证明是解决一些复杂金融问题的有效选择【17–19】。在本文中，我们表明，预测金融崩溃以及更一般地评估金融网络平衡的问题，至少对于简单的金融玩具模型而言，可以通过量子退火来解决。这些量子处理器使用绝热量子计算的思想来解决问题，该思想利用自然界的显著能力来发现复哈密顿量的最低能量本征态——基态【20】。我们首先表明，找到一个简单玩具模型金融网络的平衡条件相当于找到一个具有两体相互作用的特定自旋1/2哈密顿量的基态。这就是我们的问题哈密顿量，它的形式是二次无约束二元优化（QUBO）问题，商用量子退火机非常适合解决[12]。一旦退火炉找到一个候选基态，我们可以通过读取系统的状态来预测潜在的崩溃，该状态被解释为财务平衡配置。本文的结构如下。以秒为单位。我们描述了金融网络的玩具模型。以秒为单位。IIIW展示了如何计算这样一个金融网络的平衡配置，相当于找到一些量子自旋哈密顿量的基态。InSec。我们讨论了实现哈密顿量所需的资源，特别是所需的量子比特数。以秒计。

V我们用一个简单的数值实验来举例说明金融网络模型，观察一个随机生成的网络崩溃。最后，以秒为单位。最后，我们总结了我们的结论和意见。二、金融网络模型我们在此考虑参考文献[21]中最初提出的一个简单的金融网络模型。在这种模式中，既没有机构，也没有资产。机构可以是国家、银行、公司。。。而资产是任何具有内在价值的对象或项目。金融机构可以拥有标的资产的股份。此外，由线性依赖建模的机构之间存在相互依赖关系。这种交叉持股模型表明，一些机构可能拥有其他机构的股份，以及机构之间的近似债务合同。从数学上讲，我们用pk表示资产的价格，用Dik表示≥ 0机构i拥有的资产份额（百分比）。我们定义为所有权的n×m矩阵。此外，设C为机构间交叉持股的n×n矩阵。组件Cij≥ 0是机构i拥有的机构j的分数。遵循参考文献中的约定。[21]和[10]，我们将Cii设置为0，并定义J≡ 1.-因此，机构j.MatrixeC的自我拥有量是一个以对角线为中心的对角线矩阵。然后可以从复杂的相互依赖网络的角度来看待该模型。根据参考文献【10】，我们进一步确定了机构i的股权价值VIOVI=PkDikpk+PjCijVj，即，由于资产所有权和交叉持股，机构i的价值。在矩阵记数法中，我们可以写出V=dp+cv，这样V=（I-C）-1D~p.如参考文献[10]中所述，矩阵I-Cis保证是可逆的。此外，机构i的市场价值VIO是其自身所有权重新调整的股权价值，即vi=eCiiVi。

然后，市场价值是线性方程v=eC ~ v=eC（I）的解- C）-1D～p.（1）如参考文献所述。[10，21]，该模型进一步引入了失败的概念。这意味着，如果一家机构的市场价值下降到某个临界阈值以下，那么该机构将承受额外的不连续权益价值损失。这种非线性行为模拟了这样一个事实：如果一个机构无法支付自己的运营成本，那么它可能会看到收入突然下降。此外，如果该机构的信心被降级，那么它的价值也可能会突然下降，因为它将难以吸引投资者，例如。从数学上讲，这是由一个阶跃函数建模的，如果机构i的市场价值VIO下降到临界阈值vci以下，那么它将发生故障，其股本价值将下降额外的βi（~ p）。因此，如果我们定义i（vi，~ p）≡ βi（~p）（1- Θ（vi）- vci）与Θ（x）Heavisidestep函数，则市场价值满足~v=eC（I- C）-1.D ~ p-~b（~ v，~ p）. （2） 虽然公式（参考Eq1）是线性的，但由于存在失效项b（~ v，~ p），公式（2）是高度非线性的。实际上，这种非线性使得在资产价格发生微小变化后，很难确定机构的市场价值。具体而言，假设均衡满足式（2），如果所有资产的价格之和下降d，那么一旦达到新均衡，就很难确定可能发生的最大失败次数【10】。这意味着预测由于个别资产价格的微小变化而导致的金融网络崩溃是一个计算上难以处理的问题。我们还要指出，这种简单、最小的金融网络模型并不是针对价格发生变化的可能性，而是针对一旦发生这种变化，网络将发生什么。三、

财务平衡作为定量基础状态在下文中，我们将描述如何在aquantum退火炉上找到满足财务平衡条件的状态。首先，我们将金融平衡条件（式（2））描述为一个变分问题。然后，我们用经典的二元变量来表示这个变分问题，并将其推广到发现具有许多量子比特相互作用的自旋1/2哈密顿量基态的问题。最后，我们将多量子比特相互作用减少为2量子比特相互作用，这在实验上更容易实现[22]。我们还将计算解决此问题所需的计算资源。A、 变量设置给定一组机构、持股和价格，金融均衡时的市场价值v满足式（2）。这种平衡可能不是唯一的。不过，一般来说，一个人会有≡~v-eC（I- C）-1.D ~ p-~b（~ v，~ p）≥ 0。（3）上述表达式严格大于平衡时的零，等于零，因此在平衡时最小。因此，我们将发现均衡市场价值的问题重新描述为一个变分问题：均衡时的向量v将是一个最小化agiven网络配置的经典成本函数F（~ v）的向量。B、 市场价值的位变量现在用经典位变量来写F（~ v）。这可以通过使用常用的二进制表示法vi来近似2q+1个经典位的活变量来实现≈qXα=-qxi，α，（4）位为xi，α=0，1。然后，通过一串位（xi，-q、 xi，-q+1，···，xi，q）。这设定了市场价值viof Vmax=Pqα的上限=-qα。C

故障的多项式展开下一步，我们需要一个程序来处理高度非线性且由不连续的Heaviside单位阶跃函数建模的故障。为了获得量子退火炉的适当哈密顿量，最好使用一个连续函数。此外，我们将需要一个能被有效描述的阿哈密尔顿，即使它有那么多的量子位相互作用。在这些约束条件下，我们发现最可行的选择是通过多项式展开来逼近Heaviside函数。当然，这种扩张并不是唯一的。虽然可以找到在给定区间内和给定误差范数下逼近函数的给定次数的最佳多项式[23]，但存在标准近似，例如移位勒让德多项式[24]，这足以证明我们方法的有效性。特别地，可以利用傅里叶LegendreexpansionΘ（x）=+∞Xl=1（Pl-1（0）+Pl+1（0））Pl（x），（5）在区间内[-1，1]，其中Pl（x）是第l个勒让德多项式。如图1所示，对于中等阶多项式，截断级数对故障的突然中断产生了合理的近似。在本例中，我们可以选择x=（vi- vci）/vmaxi，这样我们就可以直接得到Θ（vi）的展开式-vci）=Θ（（vi-vci）/Vmax）在正确的范围vi内∈ [0，Vmax]。因此，从现在开始，我们将取近似值bi（vi，~p）≈ βi（~p）Polyr（vi- vci），（6）其中Polyr（vi- vci）是（vi）中的r次多项式-vci）和域[0，vmaxi]。这种近似使失效项更容易处理，因为它是强非线性的。D、 提升到量子哈密顿量在这一点上，我们在上述近似下，将等式（3）中的函数F（~ v）提升到量子哈密顿量。

具体来说，我们现在有一个经典函数G（xi，α）≈ F（~ v），其中xi，α是机构i市值vio的位，其中我们还使用了-1-0.5 0 0.5 1x-0.200.20.40.60.811.2（x）order 10 order 30 order 50 order 70图1。区间内阶跃函数的多项式逼近[-公式（5）中的傅里叶-勒让德级数，以无量纲单位按10、30、50和70阶截断。阶数越高，近似值越精确。公式（6）中阶跃函数的多项式近似。考虑等式。（3） ，（4）和（6）加在一起，经过一些检查，我们可以看到G（xi，α）也是位变量xi，α中的多项式。更具体地说，G（xi，α）=Poly2r（xi，α），（7），即它是2r次的布尔多项式。然后，我们通过将经典比特变量xi（α=0，1）提升为对角量子比特算子（xi，α，特征值为0，1）来定义量子哈密顿量，即^xi，α| 0i=0，^xi，α| 1i=| 1i。就自旋1/2泡利算符而言，这些算符可以写成^x=（1+^σz）/2，带有^σzthez泡利矩阵。量子哈密顿量为^H≡ G（^xi，α），（8）只不过是等式（3）的左侧，失效项近似多项式，如等式（6）所示，并用量子位运算符表示。这个哈密顿量是自动厄米的。它也是量子位算符中2r阶的多项式。^H中的每个项涉及不同量子比特集的许多量子比特相互作用，范围从0个量子比特项到最多2r个量子比特项。哈密顿量的显式形式可以在必要时根据具体情况进行计算。^H中的项数将在后面详细分析。E、 从多量子位到2量子位，等式（8）中的哈密顿量已经可以用作量子退火器的输入，允许多量子位相互作用[22，25]。

然而，出于实际原因，最先进的量子处理器的目标是最多具有2个量子比特相互作用的哈密顿量。从数学上讲，找到这些哈密顿量的基态可以解决曲波问题。然后，理想的情况是jja ^σ1 ^σ2 ^σ3 ^σ4 ^σa1 ^σa2 ^σa3 ^σa4图2。哈密顿量inEq的相互作用拓扑。（10） ，遵循参考文献[22]的图1，对于与σzσzσzσz成比例的4qubit相互作用的情况。左手侧（深灰色）的量子比特是逻辑量子比特，右手侧（白色）的量子比特是辅助量子比特。使哈密顿量最多由2个量子比特的相互作用组成。因此，我们推导的最后一步是将等式（8）的哈密顿量中的相互作用最多降低到2个量子位项。为了得到这样一个修正的哈密顿量，我们使用了参考文献[22]中提出的技术，该技术允许只使用k个额外的辅助量子比特和2个量子比特相互作用来实现有效的k量子比特相互作用。假设我们给出了k-qubit相互作用，其类型为Hk=Jkσz···σzk，（9），为了方便起见，我们现在使用z-Pauli矩阵中的符号，Jk是相互作用的前置因子。诀窍是写出另一个哈密顿量^H，由大多数2量子位相互作用组成，这样它就能再现^Hk的低能谱。这是通过引入k个额外的辅助量子位和哈密顿量^H=JkXi=2i来实现的-1Xj=1^σzi^σzj+hkXi=1^σzi+JakXi=1kXj=1^σzi^σzj，a+kXi=1hai^σzi，a。（10）相互作用的拓扑结构如图2所示。所有的“逻辑”量子位^σzi都通过与强度J的2体相互作用在它们自己之间耦合。每个辅助量子位^σzi，aare与每个逻辑量子位耦合，与强度Ja的2体相互作用。此外，还有磁场h和磁场Hai占1量子位项。该想法如参考文献所述。