具有短暂价格影响的超级复制的扩展限制

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英文标题：
《Scaling Limits for Super--replication with Transient Price Impact》
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作者：
Peter Bank and Yan Dolinsky
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We prove a scaling limit theorem for the super-replication cost of options in a Cox--Ross--Rubinstein binomial model with transient price impact. The correct scaling turns out to keep the market depth parameter constant while resilience over fixed periods of time grows in inverse proportion with the duration between trading times. For vanilla options, the scaling limit is found to coincide with the one obtained by PDE methods in [12] for models with purely temporary price impact. These models are a special case of our framework and so our probabilistic scaling limit argument allows one to expand the scope of the scaling limit result to path-dependent options.
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中文摘要：
在一个具有瞬时价格影响的考克斯-罗斯-鲁宾斯坦二项模型中，我们证明了期权超复制成本的标度极限定理。结果表明，正确的标度可以保持市场深度参数不变，而在固定时间段内的弹性与交易时间之间的持续时间成反比增长。对于普通期权，发现比例限制与【12】中PDE方法获得的纯暂时价格影响模型的比例限制一致。这些模型是我们框架的一个特例，因此我们的概率缩放限制参数允许我们将缩放限制结果的范围扩展到路径相关选项。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Scaling_Limits_for_Super--replication_with_Transient_Price_Impact.pdf (295.51 KB)

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关键词：Mathematical Quantitative Replication mathematica QUANTITATIV

具有瞬时价格影响的超级复制的扩展限制Peter Bank*Yan Dolinsky+2019年12月17日摘要我们证明了具有瞬时价格影响的Cox–Ross–Rubinstein二项模型中期权超复制成本的标度极限定理。结果表明，正确的标度可以保持市场深度参数不变，同时弹性在特定时间段内随交易时间的持续时间成反比增长。对于普通期权，比例极限与[12]中PDE方法获得的纯暂时价格影响模型的比例极限一致。这些模型是our框架的特例，因此我们的概率缩放限制参数允许我们将缩放限制结果的范围扩展到路径相关选项。数学学科分类（2010）：91G10，60F05关键词：超级复制，流动性，二项式模型，极限定理*柏林理工大学数学研究所，17街。Juni 136，10623柏林，德国，电子邮件bank@math.tu-柏林。de.+希伯来大学统计系和莫纳什大学数学科学学院。给yan发电子邮件。dolinsky@mail.huji.ac.il.ISF赠款160/171的引入部分支持autho r YD在连续时间金融模型中的超级复制，众所周知，市场摩擦通常会导致微不足道的买入和持有结果。对于具有比例交易成本的市场，这是由[18]首次严格确立的。对于离散时间模型，[14]使用了超级复制成本的双重描述来确定一个制度，该制度产生了一个非平凡的缩放限制，以使交易成本消失。

最近，在[7]中的多变量情况下，对于[3]中的固定成本，以及[12、10、6]中[8]中规定的纯时间非线性成本，都获得了此类标度限值。对于具有瞬时价格影响的模型，如果lso过去的交易影响当前交易执行的价差，则当前pa per会产生这样的比例限制结果；关于最优清算问题的此类模型，请参见【15、2、16】，关于此类模型的最优投资研究，请参见【5】。本文的动机是[4]，它也证实了具有瞬时价格影响的连续时间模型中超级复制成本的琐碎性。因此，我们在本文中引入了[4]中考虑的模型的离散时间版本，对于二项Cox–RossRubinstein参考模型的特殊情况，当市场弹性变得有限时，计算超级复制成本的比例限制。结果表明，所得到的标度极限与具有纯粹时间价格影响和修正市场深度的二项式模型的标度极限一致，如【12、10、6】中所研究的（几何随机游走情况）。在这方面，它很好地补充了[17]所进行的高弹性渐近，他们证明了财富动态概率的收敛性。我们计算标度极限的方法纯粹是概率的。下限的消除分两步完成。在第一步中，我们根据具有“小”价差的一致价格体系，为超级复制价格建立了一个简单的下界。第二步是使用Kusuoka在[14]中的技术，对于具有适当规则波动过程的Wiener空间上的给定鞅M，构造一系列具有消失扩散的二项式参考模型的一致价格系统，其收敛于。

Kusuoka的技术在这里特别有用，因为它们还允许我们控制M的二次变化的近似值。上界的概率更为复杂。首先，我们注意到，在二次成本设置中，瞬时价格影响中的订单价值在组合价值之上占主导地位，市场深度可以被视为[8]中引入的临时价格影响模型的二项式版本。然后，关键的一步是建立具有此类二次成本的超级复制价格的上限。利用[1]中的路径Doobinequalities，我们认为，基本上有必要超级复制当潜在的影响“太大”时所产生的支付效果。对于这种“驯服”的回报，我们确定了一个足够丰富的约束交易策略子类，对于这种子类，超级复制成本保持渐近不变，但其双重一致的价格体系却很紧。这种在完全二次成本问题中获得紧密性的新技术是我们分析的关键，并允许我们解决[10，6]提出的一个悬而未决的问题，他必须对交易成本施加线性增长约束，并且只允许在一个越来越小的零附近区域内的二次成本。作为我们概率方法的副产品，我们得到了[12]的极限结果的扩展，他使用PD E技术，从普通期权扩展到路径相关期权。本文组织如下。

在第2节中，我们将具有瞬时价格影响的超级复制问题形式化，并给出一个对偶结果。第三节提出并讨论了我们的标度极限结果，并给出了证明。2离散时间内具有瞬时价格影响的超级复制2.1具有瞬时价格影响的离散时间模型在本节中，我们开发并分析了[4]中研究的连续时间金融模型的离散时间版本，其中大型投资者的交易以瞬时方式影响资产价格。具体而言，我们定义了一个过滤概率空间(Ohm, F，（Fn）n=0，。。。，N、 P）并考虑一个适应的实值过程P=（Pn）N=0，。。。，为了描述资产基本价值在n=0时的演变，N、 除了这项资产外，一位大型投资者还拥有一个银行账户，为简单起见，该账户不计息。她被赋予一个初始位置X，X∈ R资产单位，可自由选择其位置Xn∈ Fn公司-1她将面临第n次根本性冲击Pn，Pn- Pn编号-1，n=1，N、 我们将让X表示所有这些策略的集合X。根据[13]，投资者的交易对资产价格的影响超过其基本价值。因此，中间价根据toPXn，Pn+ιXn，n=0，N、 此外，投资者的交易会影响一半价差，即在投资者购买（分别出售）资产时，高于（或低于）中等价格PX的加价，投资者的订单在该价格下完成。我们通过ζX，ζ，ζXn，（1- r） ζXn-1+| Xn- Xn公司-1 |δ，n=1，N、 （2.1）此处，ζ≥ 0是给定的初始半排列。投资者的交易扩大了价差，与市场深度δ>0成反比，为简单起见，假设为常数。常数0<r≤ 1衡量市场的自由度，并描述在一个交易期内息差将减少的fr行为。

假设交易会影响中间价并逐渐扩大，让第n笔交易的第一位Xn，这很方便（也很合适）-Xn公司-1按有利的交易前中价Pn填写-1+ιXn-1和交易前价差（1- r） ζXn-1虽然最后一位是在较不利的交易后水平填充的，但Pn-1+ιXn=PXn-Pnand（1-r） ζXn-1+| Xn-Xn公司-1 |/δ=ζXn。因此，投资者的固定现金头寸ξx从其给定的初始水平ξ开始波动∈ R根据ξX、ξ、ξXn、ξXn-1.-Pn编号-1+ι（Xn+Xn-1)（Xn- Xn公司-1) (2.2)-(1 - r） ζXn-1+2δ| Xn- Xn公司-1||Xn公司- Xn公司-1 |有时n=1，N、 下面的引理给出了投资者现金头寸更具体的描述。引理2.1。投资者在n=1时的现金头寸，N为ξXn=ξ-nXm=1Pm-1（Xm- Xm公司-1) -ι（Xn- x）- κXn（2.3）=ξ+xP- XnPn+nXm=1Xm（Pm- 下午-1)-ι（Xn- x）- κXn，其中κxd描述了流动性成本κXn=（1- r） nXm=1ζXm-1 | Xm- Xm公司-1 |+2δnXm=1（Xm- Xm公司-1） （2.4）=δ（ζXn）+（1- (1 - r） ）X1≤m<n（ζXm）- (1 - r） ζ！（2.5）ζXn=（1- r） nζ+δnXm=1（1- r） n个-m | Xm- Xm公司-1 |，n=1，N、 证明。同一性（2.3）很容易从（2.2）中得出，其中，由于toPnm=1（Xm+Xm），κXnis的表示（2.4-1） （Xm- Xm公司-1） =Pnm=1Xm- Xm公司-1=Xn-x；（2.5）表示| Xm-Xm公司-1 |根据ζXm和ζXm-1可通过（2.1）实现。特别是，我们发现流动性成本κX是投资者交易策略X的凸函数∈ 十、这一观察为凸集对偶方法打开了大门，它确实将是我们后续分析的关键。2.2超级复制双重性建立了投资者的财富动态，我们现在可以考虑超级复制由支付指定的或有债权的问题∈F受投资者交易的影响。更准确地说，我们将尝试描述超级复制成本π（H），inf{ξ：ξXN≥ H a.s。

对于某些X∈ X，XN=0}。对于具有完全弹性（r=1）的模型（如[8]），在[10]中获得了超级复制成本的双重描述。对于弹性有限的模型（r∈ （0，1））这样的描述由以下引理给出，该引理补充了[4]中建立的连续时间分析：命题2.2。I f r∈ [0，1），任何意外情况下的超级复制成本≥ 0具有对偶描述π（H）=sup（Q，M，α）（等式[H]-公式“NXn=1 |αn- ζ|un#- Mx公司-ιx），（2.6），其中un，δ（1- (1 - r） ）（1- r） 2对于n=1，N- 1，且uN=δ（1- r） 2N，以及当s upremum被用于度量Q的所有三元组（Q，M，α）时<<P、 平方可积Q-鞅M和Q-平方可积可预测过程α与| Pn-1.- 明尼苏达州-1| ≤δ(1 - r） nEQ“NXm=nαmumFn公司-1#，n=1，N、 在r=1的情况下，对应于纯粹的暂时冲击，我们有简单的对偶π（H）=sup（Q，M）（等式[H]-2δEQ“NXn=1 | Pn-1.- 明尼苏达州-1|#- Mx公司-ιx）具有概率Q上的上确界<< P和所有s方可积Qmartingales M.证明。使用引理2.1中的财富动力学，证明可以类似于[4]中的连续时间模拟，因此省略。对于r=1，可以按照[10]中的方法，结合拉格朗日乘子参数，从[4]中选择鞅M。因此，在我们的模型中，具有价格影响的超级复制成本采用凸风险度量的形式。成本双重描述的结构与比例交易成本模型中观察到的结构类似：支付函数的评估是使用一致的价格系统进行的，鞅在某种意义上接近标的价格过程P。

与这些具有固定利差的模型相比，在我们的设置中，贴近度是通过一个过程α来衡量的，该过程α需要被选择，以平衡从L距离到超级复制成本函数中出现的初始利差（2.6）的更大的灵活性。如【4】所示，连续时间内的超级复制价格通常是由简单的买入并持有策略产生的，由于最不可能的，但仍然是最相关的对冲工具价格的短期波动，这些模型中通常可能出现这种波动，因此无法改善这种策略。与Kusuoka在[14]中提出的用固定价差来定义时间模型的方法类似，我们需要重新调整价格影响，以确保我们的模型具有非传统的缩放限制。这将在下一节中进行精确描述。3超级复制成本的缩放限制在本节中，我们将从上一节中得出超级复制成本的缩放限制结果，使时间跨度[0，1]内的交易周期数趋于完整，同时将交易间隔时间重新缩放为1/N。对于价格波动，我们现在关注的是一个二元模型，其中Ohm = {-1, +1}{1,2,... }利用坐标映射ξn（ω）=ω9，表示塞纳里奥基本资产价值的上下移动ω=（ωn）n=1,2，。。。∈ Ohm. 过滤（Fn）n=1,2，。。。是由这些坐标映射生成的，我们假设P是ξ，ξ。i.i.d.与P[ξn=-1] =P[ξn=+1]=1/2。假设我们给出的基本资产价格的加法模型，使用通常的平方根比例，PNt，p+σ√N【Nt】Xn=1ξN，0≤ t型≤ 1，（3.1）其中p∈ R是初始基本资产价格，σ>0表示资产的可用性。价格影响参数ι≥ 0，r∈ （0，1）和δ>0是我们重新缩放时的keptconstant。

因此，在更短的时间段（1/N）内，也会获得相同的弹性效果，这意味着我们的扩展具有很高的弹性极限。本文的主要结果是支付函数h的超复制价格的标度极限定理，我们需要以下正则性假设。假设3.1。函数h:D[0，1]→ R对于Skorohod metricd（p，q），infχ是非负的和Lipschitz连续的sup0≤t型≤1吨- χ（t）|+sup0≤t型≤1 | p（t）- q（χ（t））|, p、 q∈ D[0，1]，其中，最大值是严格递增的连续时间变化χ：[0，1]→ [0，1]，其中χ（0）=0，χ（1）=1。观察地图p→ p（1），p→ sup0≤t型≤Tp（t）对于上述Skorohod度量是Lipschitz连续的。因此，我们的设置中包括了看涨期权、看跌期权和回望期权；然而，淘汰赛通常会导致我们的假设没有涵盖的不连续性。这使我们能够统计极限定理：定理3.2。对于满足假设3.1的支付函数h，N期模型中的超级复制成本πN（h（PN）），N=1，2，具有高弹性标度极限limnπN（h（PN））=supν∈DEPW公司h（Pν）-rδ8σ（2- r） Z |νt- σ| dt- 二甲苯-ιx，其中D是维纳空间上所有有界、非负渐进可测过程ν的集合(OhmW、 FW，（FWt）0≤t型≤1，PW），其中pνt，p+ZtνsdWs，0≤ t型≤ 1、上述定理以凸风险度量的形式确定了离散时间超级复制价格的标度限制。这一指标适用于一个模型，通过其波动率文件ν确定，该惩罚由其局部方差与参考方差σ的L距离决定。

有趣的是，这也是价格影响模型中出现的比例限制，这些模型具有纯粹的暂时影响，尽管权重不同；参见【12、10、6】。在【17】中已经观察到高弹性极限的瞬时和临时影响之间的联系，他们证明了价值过程的概率收敛。我们的结果补充了这一点，在超级复制的背景下，这是第一个严格的结果。在技术层面上，值得一提的是，据我们所知，我们下面的证明是第一个纯概率方法，它允许我们获得具有完全二次临时成本的缩放极限结果。因此，我们还能够涵盖非常规则的路径依赖型期权，从而超越了[12]粘度解决方案技术所涵盖的普通期权案例。这里的关键挑战是找到一个可以证明适当的双变量序列的紧密性的设置。在证明上限的过程中，我们明智地选择了一套约束对冲策略来应对这一挑战。3.1下限的证明在本节中，我们将证明infNπN（h（PN））≥ supν∈DEPW公司h（Pν）-rδ8σ（2- r） Z |νt- σ| dt- 二甲苯-ιx.（3.2）首先，让我们观察到，通过[10]中引理7.3的密度参数，上述上确界与接管Dofvolatility pro filesν类的上确界一致∈ 在f或某些常数C>0的意义下，有νt（ω）的D远离零和Lipschitz≥ 1/C，|νt（ω）- νt′（ω′）|≤ C | t- t′|+sups∈[0,1]|ω（s）- ω′（s）|！对于t，t′∈ [0, 1], ω, ω′∈ C[0，1]。对于任何这样的ν，开创性的论文【14】构建了一个概率，其中马尔丁格尔“接近”随机游动pn，而Chin分布收敛到Pν=P+R。νsdwsa总结在下面的引理中。引理3.3。