具有响应性的最优电力需求响应契约

请注意，由于风险规避，生产者还承担波动的间接成本。一英尺-可测随机变量ξ称为契约，我们用ξ表示∈ C、 如果满足附加可积性性质suppν∈PEPνe-rmξ+ 支持ν∈PEPνepmξ< +∞, 对于某些m>1。（2.5）该可积性条件保证了消费者标准（2.2）和主要标准（2.4）得到了很好的定义。在本文中，我们将考虑以下两个标准合同问题：第一最佳合同对应于基准情况，即生产者有充分的权力向消费者实施合同，并规定代理人的效力vfb：=sup（ξ，Pν）∈C×PJP（ξ，Pν）：JA（ξ，Pν）≥ R, （2.6）o第二好的合同允许消费者对生产商的服务做出最佳反应。在多个最优响应的情况下，我们遵循委托代理文献中的标准约定？（ξ） ，消费者实现了对生产者最好的最佳响应。这导致了第二个最佳收缩问题vsb：=supξ∈ΞsupPν∈P（ξ） JP（ξ，Pν），其中Ξ：=ξ ∈ C:VA（ξ）≥ R, （2.7）与公约sup = -∞, 因此，将生产商可以履行的合同限制在ξ∈ C这样P？(ξ) 6= .2.3消费者的最佳响应和预订效用我们在这里收集了一些与消费者的最佳响应相关的计算结果，这些计算结果将在本文中非常有用。继Cvitani'c等人（2018）[15]之后，我们介绍了消费者的哈密顿量。H（z，γ）：=Hm（z）+Hv（γ），z，γ∈ R、 （2.8）其中，Hmand hv是对应于瞬时平均值和波动率的哈密顿量分量，分别为Hm（z）：=- infa公司∈A.a·1z+c（a）, 和Hv（γ）：=-免疫纳米荧光微球∈Bc（b）- γ|σ（b）|.

（2.9）这里，z代表消费减少的支付率，γ代表消费波动减少的支付率。两种付款率可以是正的，也可以是负的。考虑到这些付款，消费者将哈密顿量给出的瞬时收益率最大化，从而得出漂移的最佳响应ba（z）和波动的最佳响应bb（γ）。以下结果收集了最佳响应的闭合表达式。我们表示x-:= 0∨ (-x） ，x∈ R、 提案2.1。（消费者最佳响应）消费者对即时支付率（z，γ）的最佳响应为Baj（z）：=uj（z-∧ Amax）和bbj（γ）：=（1∧ （λjγ-)-) ∨ ε、 j=1，N、 因此，当|u：=u·1时，bσ（γ）：=σbb（γ）, bc（z）：=cba（z）, 和bc（γ）：=cbb（γ）,Hm（z）=uz-∧ Amax公司和Hv（γ）=-bc（γ）- γbσ（γ）.z付款诱导消费者对所有用途产生影响，以减少平均消费偏差，该影响与其成本1/ui成反比。γ付款仅对成本1/λjis低于付款的用途产生影响。作为之前符号的首次使用，我们提供了以下无合同消费者行为的特征描述。提案2.2。（无契约的消费者行为）设f（x）=κx，x∈ R、 对于某些κ≥ 那么，VA（0）=UA（`），其中`=κXT+E（T）and E（T）：=ZTHv- γ（t）dt和γ（t）：=-rκ（T- t） 。消费者对漂移和每次波动率使用的最佳影响分别为a=0和bj（t）：=ε∨ (1 ∧λj |γ（t）|-), j=1，d、 从而得出一个最优分布Punder，其偏差过程遵循动力学dXt=bσb（t）· dWt，对于某些P-布朗运动W。证据见附录A.1.3主要结果我们考虑的情况如下（f- g） （x）：=δx，x∈ R、 （3.1）对于某些常数参数δ：=κ- θ、 以下称为能量值差异。

案例δ≥ 0对应于高峰小时，而负δ对应于高峰小时。3.1第一–最佳合同提案3.1。（第一–最佳合同）出租（f- g） （x）=δx。然后：（i）第一个最佳值函数由vfb=U（(R)v（0，x）给出- 五十） 式中，v（t，x）=δ（t- t） x+ZTtmfb（s）ds和mfb（t）：=(R)u（δ-)（T- t） +高压- h类- ρδ（T- t）, ρ：=rpr+p。（ii）消费者的最佳效果由AFB（t）：=uδ给出-（T- t） ，和bfb（t）：=1∧λj（h+ρδ（T- t） （）-,从而得出偏差过程遵循动力学dXt的最优分布Pfbunder=-uδ-（T- t） ·1dt+σbfb（t）· dWt，对于某些Pfb-布朗运动W。（iii）最佳第一-最佳合同由以下公式得出：ξfb=L- κXT+ZTc（νt）dt+ZTπefb十、- Xt公司dt公司-ZTπvfbdhXit，其中πefb：=rr+pκ+pr+pθ，πvfb：=pr+ph。证明：见附录A.2。第一个最佳合同承认回扣合同的形式：向消费者支付其确定的等价预订效用减去如果没有回扣，他将消耗的能量平均值（κT X）ξffb：=L- κT X，然后是可变付款，包括在第一最佳状态下可观察和执行的工作成本，加上与X和波动性变化费用ξvfb之间的差异成比例的部分：=ZTc（νT）dt+ZTπefb十、- Xt公司dt公司-ZTπvfbdhXit。此表格是一份返利合同，其中X作为基准。如果消费者是风险中性的，则第一最佳合同将发电成本的所有不确定性转移给消费者，因为这是道德风险最优合同框架中的标准。能源的第一个最佳价格只是消费者和生产者对能源价值的风险厌恶程度的加权和。如果消费者规避风险且价格不变，则响应性的第一个最佳价格是波动性直接成本的恒定部分。

因此，我们发现，只有在消费者风险中性的情况下，仅根据生产者成本函数信息编制索引的合同才是最优的。只有在消费者风险中性的情况下，边际发电成本触发社会最优反应的经济直觉才是正确的。如果没有，消费者需要补偿他在合同中承担的风险。关于消费者对波动性的诱导行为，只有当使用量的边际成本（以1/λjis计量）低于生产者的边际波动成本（以h+ρδ（T）计量）时，才会进行减少- t） 。只有在生产者或消费者风险中性的情况下，或者如果他们同意能量值（δ=0），响应性才由仅仅比较h和λj.3.2次优合同提案3.2触发。（次优合同）出租（f- g） （x）=δx。然后：（i）生产者的次优值函数由Vsb=U给出v（0，X）- L, 确定性等效函数v（t，x）=δ（t- t） x+ZTtmsb（s）ds，其中msb（t）：=(R)uδ（t- t）-infz公司∈Ru（z-+ δ（T- t） （）- 2公顷- q（z）.式中q（z）：=h+rz+p（z- δ（T- t） ）。（ii）最优支付率是确定性函数SZSB（t）=Arg minz∈Ru（z-+ δ（T- t） （）- 2公顷- q（z）, γsb（t）=-q（zsb（t））。（iii）次优合同由ξsb=ξfsb+ξvsb给出，其中ξfsb：=L- κT X-ZTH（zsb，γsb）（t）dt，ξvsb：=ZTπesb（t）十、- Xt公司dt公司-ZTπvsb（t）dhXit和πesb（t）：=κ+zsb（t），πvsb（t）：=h+pzsb（t）- δ（T- t）.（iv）消耗减少的诱导动力学isdXt=-ba（zsb（t））dt+bσ（γsb（t））·dWt，对于某些Psb-布朗运动。参见附录A.3与第一个最佳案例类似，第二个最佳合同采用回扣合同的形式。

但是，在固定部分支付中，生产者不再收取消费者福利的实际成本（这是不可见的），而是收取其最佳福利的净收益。在高峰期，第二个最佳支付率达到了标量优化（提案3.2（ii））。如果消费者是风险中性的，我们可以得出：ξvsb=ZTθ（X- Xt）dt-ZTh dhXit。最优价格是能源和波动的边际成本。除此之外，能源的最佳价格是非常数和非线性的（参见第4节的说明）。我们在导言中看到，以返利形式编写的需求响应合同容易受到基线操纵的影响。如果我们将基线操纵定义为基线消费的艺术性增加，以获得更高的效用，那么当消费者的保留效用以绝对值表示时，命题3.2中给出的最优合约不会弥补这一缺陷。在这种情况下，无论初始消费水平如何作为基线，消费者得到的都不会超过所要求的确定的等效Lis。在工作高峰期，有可能获得命题3.2更明确的结果。推论3.1。认为（f）- g） =δ≥ 那么：（i）最优支付率是zsb（t）=pr+pδ（t）给定的时间的确定函数- t） ，和γsb（t）=-h类- ρδ（T- t） 命题3.2（iii）的第二个最佳契约由不变价格πesb：=rr+pκ+pr+pθ，πvsb：=h+ρrr+pδ（t- t） 。（ii）消费者对漂移和消费偏差波动的最佳影响isbazsb公司= 0和BBJγsb= 1.∧λjγsb（t）-,因此，消费者的最优响应会导致某些Psb的最优概率分布Psb，例如dxt=bσ（γsb）·dWt-布朗运动W。证据

（ii）将命题3.1和命题A.4（iii）应用于δ≥ 0直接给出zsb=pr+pvx=pr+pδ（T- t） 因此γsb如下。此外，将命题A.4（iv）与zsbg的表达式一起直接应用于ξsb。（iii）命题2.1的应用给出了结果。将前面的结果与命题3.1（i）和我们的猜测结合起来，给出了Vsbin（i）的表达式。在高峰时期，能源价格低于其对消费者的价值κ。因此，消费者没有动机以πesbma的价格出售对他来说价值κ的商品。消费是一个鞅。然而，漂移zsb（t）上的付款率为正，而不是如人们所预期的那样为零。当消费增加时，生产者向消费者付款。虽然这一发现似乎与制作人的目标不符，但解释如下。挥发分的支付率为γsb（t）+rzsb（t）=h+p（zsb（t）- δ（T- t） ）+rzsb（t），因此，它取决于提款时的付款率。采用zsb≡ 0不是最佳值。生产者最好在4月份支付高于其边际成本的消费增长，以换取波动性的更大降低。关于Volatity的价格，我们注意到它高于生产者的直接边际成本，这不是常数。生产者在这一时期开始时比结束时需要更多的福利。此外，生产者和消费者之间的风险分担过程可能会导致观察到的消费波动性增加。要了解这一点，请考虑δ=0和h=0的极限情况。然后，最优支付γsbi为零，这意味着生产者不提供响应激励，即使双方都规避风险。在这种情况下，观察到的波动率等于名义波动率。

但是，这一数量可能会大于收缩前观察到的波动率。如果消费者充分厌恶风险，他可能会采取一些措施来降低名义波动率。事实上，生产者为消费者承担波动性风险的参数值有很多。从风险分担的角度来看，这意味着最优收缩允许系统承担更多风险。图1.00.5100p1152h20RT0j（图1.5425263010500100h5150v（0；0）P2005250010）说明了这一现象。图1：（左）最优合约下消费偏差的总波动率，作为消费者直接波动成本h和风险规避参数p的函数，与无合约时的总波动率（曲面）相比。（右）作为直接波动成本h和风险规避参数p的函数，有合同和无合同生产者的确定性等价物。参数值：两种用法，T=1，u=（2，5），σ=（5，2），λ=（0.5，0.1），κ=5，δ=3。图1显示了当δ>0时，观察到的消费偏差总波动率和合同收益随波动率h的直接边际成本和生产者p的风险规避参数的变化。对于波动率边际直接成本为零的风险中性生产者，生产者不需要消费者的帮助，波动率等于名义波动率。对于波动率直接边际成本增加的风险中性生产者，我们观察到波动率保持不变，直到h值高于某个阈值，即降低消费者波动率的较低成本。

然后，生产者开始要求消费者提供帮助。然后，h值越高，观察到的波动率越低，直到需要一个将波动率降低到收缩前的值以下的效果。如果我们确定h的值并使生产者增加风险厌恶，我们还观察到波动率的逐步但缓慢的降低，因为波动的间接成本远低于其直接成本。此外，我们还观察到，从合同中获得的收益是p的一个非单调函数，但是h的一个非单调函数。事实上，即使合同的收益总是正的，直接边际成本很小的生产者也不会从消费者那里获得任何收益，因此，不能从消费者的行为中获得任何增加的收益。3.3比较为了评估响应性激励的效益，我们考虑了生产者没有对消费者的响应性提供激励的情况，尽管如果适当的激励，生产者可以降低其消费的波动性。我们考虑了生产者的问题（2.7），其中合同仅限于根据观察到的消费而非其波动性建立指数的激励。附录A.3中的命题3.2给出了该子类合同的确切含义。在这种情况下，我们用VSBM表示生产者问题的值。在这种情况下，命题2.2仍然给出了消费者无收缩的行为。提案3.3（第二好，无响应性激励）。假设f- g=δx。

然后：（i）Vsbm=Uw（0，X）- L式中，W（t，x）=δ（t- t） x+ZTtmsbm（s）ds和msbm（t）：=(R)uδ（t- t）-q（zsbm）|σ|+(R)u（z-sbm+δ（T- t） （）,q（z）：=h+rz+p（z- δ（T- t） ）。（ii）次优支付率为zsbm（t）=∧δ（t- t） 其中∧：=p |σ|+(R)u1{δ<0}（p+r）|σ|+(R)u1{δ<0}。（iii）次优合同由ξsbm=ξfsbm+ξvsbm给出，其中ξfsbm=L- κT X+ZTrzsbm（T）|σ| dt-ZTHm（zsbm（t））dt，ξvsbm=ZTπesbm十、- Xt公司dt和能量价格πesband波动率价格πvsbm的计算公式为：πesbm：=（1- ∧）κ+λθ，πvsbm：=0。证据见附录A.4能源价格仍然是消费者和生产者的能源价值的加权和。此外，我们有：πefb- πesbm：=（λ-pr+p）|{z}≥0δ.在有效峰值期间（δ>0），次优价格低于第一优价格。在高峰负荷期，生产者支付或收取的价格高于社会最优价格。现在我们来衡量消费者因其隐藏行为而产生的信息租金所造成的福利损失。将信息租金定义为I：=-图片博客（photo blog）VfbVsb. 附录A.5中给出了以下命题的证明，给出了信息的价值。提案3.4。（比较）假设f- g=δx。然后：（i）如果δ≥ 0，则无信息租金，I=0，ξsb=ξfb。（ii）当δ≤ 0和h+rδT≤λ，信息租金isI=δTr6（p+r）|σ|+p+ru。在工作高峰期，没有信息租金。在这种情况下，在降低波动性方面，最优合同与社会规划师的效果相同。在这种情况下，生产者只有一个目标要实现，即减少波动性，而不是预期消费。他可以通过两种工具实现这一目标，这两种工具是zsbandγsb的两种支付率。在高峰时期，情况不再如此。

这两种支付率相互制约，因为波动率上的支付率是漂移率上的支付率的确定函数。请注意，即使只有一种用途，在案例（ii）中，信息租金仍为正值。直觉是，如果只有一种用法，生产者可以通过观察二次变量来恢复效果，从而对波动性施加最佳效果。然而，这还不足以实施第一个最佳方案，因为生产者仍然无法观察到对漂移的影响。4数字说明本节的目的是提供实施响应性激励机制的潜在收益估计，包括消费者对价格事件响应的增加以及生产者的利益。我们首先在伦敦低碳定价试验的公开数据集上，使用线性能源估值和能源发电成本校准我们的模型，使用IDEATH，它对应于无响应性激励的最优合同的实施。除波动率降低的边际成本λi外，可以使用该策略估计所有参数。我们筛选最后一个参数的一系列潜在值的影响，设计参考值并进行稳健性分析。4.1数据和模型校准2012-2013年进行的低碳伦敦需求侧响应项目（DSR）试验是由英国能源监管局（Ofgem）与行业参与者和学术机构共同发起的，其中两个必须被引用用于我们的研究，帝国理工学院（Imperial College）负责处理实验数据，EDF Energy担任消费者的能源供应商和注册者。