国际价格比较多边指数体系：

Hajargasht&Rao（2010年）和Rao&Hajargasht（2016年）讨论了CPD方法及其与多边体系的联系的更多细节。在Ikl'e（1972）首次提出的系统中，随后Dikhanov（1997）和Balk（1996）对该系统进行了简化和澄清，使用了支出份额权重以及（7）中所示的调和平均值。PPPj=NXn=1wnjPnpnj（j=1，…，M）（7a）Pi=MXm=1w*IMPPMPIM（i=1，…，N）（7b）注意，在（6）中的Rao系统中，购买力平价和购买力平价被定义为国家价格的几何平均数，而在（7）中的Ikl'e-Balk-Dikhanov（IDB）系统中，换算后的国家价格的调和平均数以类似方式使用。Hajargasht&Rao（2010）提出了一个类似的方程组，但使用了算术平均值：PPPj=NXn=1wnjpnjPn（j=1，…，M）（8a）Pi=MXm=1w*impimPPPm（i=1，…，N）（8b）Hill（2000）提出了下文定义的“等权重GK系统”（EWGK），并发现其性能优于GK系统PPPj=NXn=1wnjPnpnj（j=1，…，M）Pi=MXm=1w*impimPPPm（i=1，…，N），其中PPPJ方程与GK和Ikl'e指数中的方程相同，且P方程与算术指数中的方程相同。包含（6）、（7）和（8）中所述系统的新通用指数系统可定义为：PPPj=NXn=1wnjpnjPnρ1/ρ（j=1，…，M）（9a）Pi=MXm=1w*感应电动机PIMPPPPMρ1/ρ（i=1，…，N）（9b）我们遵循Diewert（2013），并将该系统称为Ikl'e-Dikhanov-Balk（IDB）系统。ρ的不同值导致不同的指数。例如，ρ=0导致Rao系统，ρ=-1表示IDB系统，ρ=1表示算术指数。本文证明的定理5可以用来证明所有这些系统的存在唯一性等。3.3.

Neary（2004）和Rao（1976）系统Neary（2004）和Rao（1976）系统将经济理论和生活指数成本的概念引入购买力平价的定义中。科努斯生活成本指数定义为在两组不同价格下达到一定效用水平所需的最低支出比率。Neary（2004）系统使用科努斯指数定义购买力平价如下：购买力平价j=NXn=1pnjq*n（P，qj）PNn=1pnjqnjpnj（j=1，…，M）（10a）Pi=MXm=1qimPMm=1q*i（P，qm）pimppppm（i=1，…，N）（10b）q*（10a）和（10b）中的i（P，qj）是作为以下成本最小化问题的解决方案获得的最优（成本最小化）数量，其中U（.）是一个性能良好的实用函数rgmin（q*,..., q*N） NXn=1Pnq*N受U（q）影响*, .., q*N）≥ U（qj）（10c）该问题针对每个国家分别解决。Nearysystem和GK系统之间的主要区别在于未观测量q的使用*ij。在Neary系统中，我们有数量q*ijs，取决于国际平均价格P的向量。

这就需要一个不同的定理来证明存在性和唯一性。Rao（1976）提出的系统与Neary（2004）系统相似，只是国际平均价格定义不同：Pi=MXm=1qimPMm=1qimpppm（i=1，…，N）（11）Rao（1976）使用非线性特征值定理研究了该系统解的存在性，但他的证明不完整。有可能将随机模型与该系统相关联，从而估计ρ或这些指数之间的统计检验。Diewert（1976）详细讨论了科努斯指数。符号q*i（P，qj）可以用q代替*ij表示这些数量取决于国家i通过数量向量qj获得的效用。更多详情见Neary（2004）和Rao（1976）。事实上，他无法证明λ*= 1（有关条件的相关性，请参见第4节），由于缺乏兼容性条件，预计一般情况下不会出现这种情况。4、多边指数系统的存在性定理如前所述，多边指数系统可分为两组：第一组基本上是PPPJ或Pis方面的线性系统，或PPPJ和Pis的某些函数方面的线性系统，而第二组是非线性系统。在本节中，我们提供了可以应用于这两种情况的理论。为了陈述和证明这些定理，我们需要附录a.4.1中总结的各种数学概念和工具。线性系统的一个存在定理下列定理证明了最一般形式的线性系统类的存在唯一性。定理1。

考虑以下M+N方程的一般系统：fj（PPPj）=NXn=1anjgn（Pn）（j=1，…，M）（12a）gi（Pi）=MXm=1bimfm（PPPm）（i=1，…，N）（12b），其中fj（.）和gi（.）可以是R中的任何双射函数+→ R+；aijand bijare非负权重。在以下假设下：（T.1）aijand BIJC可以写成aij=dijPNn=1CNJ，bij=cijPMm=1DIM，qij>0<=> dij>0和QIJ>0<=> cij>0。存在唯一正解（达到正标度因子）的一个必要和充分条件是数量矩阵q的连通性。在证明该定理之前，我们先研究该定理的一些方面注意，对于非平凡解的存在性，aijand-bijin方程（12）不能完全独立，需要一个相容条件。上述假设（T.1）给出了一个这样的条件。Khamis&Rao（1989）认为一个有趣的系统，其中条件T.1不满足；他们表明，该系统只有一个微不足道的解决方案正如我们在界定购买力平价指数时所讨论的那样，每个购买力平价指数通常被设定为国际价格指数所反映的某类平均购买力平价指数（i以上），每个购买力平价指数被设定为购买力平价指数所反映的某类平均购买力平价指数（j以上）。通过对dijand cij的适当定义，fjand giwe可以很容易地涵盖此类情况。例如，考虑GK系统（3），即PPPj=NXn=1pnjqnjPNn=1Pnjqnjpnj（j=1，…，M）Pi=MXm=1qimPMm=1QImpppm（i=1，…，N），很容易看出，通过定义定理1中的dij=qij、cij=pijqij、fj（x）=1/x和gi（x）=x，我们获得了该系统。为了证明这个定理，我们建立了以下两个引理，其中我们使用了符号fj=fj（PPPj）和gi=gi（Pi）。如果我们获得fjand gi的解决方案，那么我们可以通过调用这些函数的双射性质来获得Pppjand Pi的解决方案。引理1。