资产定价模型中列维指数的确定

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英文标题：
《Determination of the L\\\'evy Exponent in Asset Pricing Models》
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作者：
George Bouzianis, Lane Hughston
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the problem of determining the L\\\'evy exponent in a L\\\'evy model for asset prices given the price data of derivatives. The model, formulated under the real-world measure $\\mathbb P$, consists of a pricing kernel $\\{\\pi_t\\}_{t\\geq0}$ together with one or more non-dividend-paying risky assets driven by the same L\\\'evy process. If $\\{S_t\\}_{t\\geq0}$ denotes the price process of such an asset then $\\{\\pi_t S_t\\}_{t\\geq0}$ is a $\\mathbb P$-martingale. The L\\\'evy process $\\{ \\xi_t \\}_{t\\geq0}$ is assumed to have exponential moments, implying the existence of a L\\\'evy exponent $\\psi(\\alpha) = t^{-1}\\log \\mathbb E(\\rm e^{\\alpha \\xi_t})$ for $\\alpha$ in an interval $A \\subset \\mathbb R$ containing the origin as a proper subset. We show that if the initial prices of power-payoff derivatives, for which the payoff is $H_T = (\\zeta_T)^q$ for some time $T>0$, are given for a range of values of $q$, where $\\{\\zeta_t\\}_{t\\geq0}$ is the so-called benchmark portfolio defined by $\\zeta_t = 1/\\pi_t$, then the L\\\'evy exponent is determined up to an irrelevant linear term. In such a setting, derivative prices embody complete information about price jumps: in particular, the spectrum of the price jumps can be worked out from current market prices of derivatives. More generally, if $H_T = (S_T)^q$ for a general non-dividend-paying risky asset driven by a L\\\'evy process, and if we know that the pricing kernel is driven by the same L\\\'evy process, up to a factor of proportionality, then from the current prices of power-payoff derivatives we can infer the structure of the L\\\'evy exponent up to a transformation $\\psi(\\alpha) \\rightarrow \\psi(\\alpha + \\mu) - \\psi(\\mu) + c \\alpha$, where $c$ and $\\mu$ are constants.
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中文摘要：
我们考虑在给定衍生品价格数据的情况下，在资产价格的利维模型中确定利维指数的问题。该模型是根据现实世界的度量值$\\mathbb P$制定的，由定价内核$\\{\\pi\\U t}\\UU{t\\geq0}$和一个或多个由相同的列维过程驱动的非股息支付风险资产组成。如果${S\\u t\\}u{t\\geq0}$表示此类资产的价格过程，则${\\pi\\u t S\\u t}u{t\\geq0}$是$\\mathbb P$-鞅。假设L砦vy过程$\\{\\xi\\u t}{\\t\\geq0}$具有指数矩，这意味着L砦vy指数$\\psi（\\alpha）=t ^{-1}\\log\\mathb E（\\rm E ^{\\alpha\\xi\\u t}）$for$\\alpha$在包含原点作为适当子集的区间$\\subset\\mathb R$中存在。我们表明，如果给定了一系列价值为$q$的幂收益衍生工具的初始价格，其中$H\\u T=（\\zeta\\u T）^q$，一段时间$T>0$，其中${\\zeta\\u T}{T\\geq0}$是由$\\zeta\\u T=1/\\pi\\u T$定义的所谓基准投资组合，则L25vy指数确定为一个不相关的线性项。在这种情况下，衍生产品价格体现了价格跳跃的完整信息：特别是，价格跳跃的范围可以从衍生产品的当前市场价格计算出来。更一般地说，如果由Levy过程驱动的一般非股息支付风险资产为$H\\u T=（S\\T）^q$，并且如果我们知道定价内核由相同的Levy过程驱动，达到比例因子，然后，从电力收益衍生工具的当前价格中，我们可以推断出L’evy指数的结构，直至转换$\\ psi（\\ alpha）\\rightarrow\\psi（\\ alpha+\\ mu）-\\ psi（\\ mu）+c \\ alpha$，其中，$c$和$\\ mu$是常数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Determination_of_the_Lévy_Exponent_in_Asset_Pricing_Models.pdf (214.69 KB)

2022-6-11 03:59:57 上传

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关键词：定价模型 资产定价 Mathematical proportional Quantitative

资产定价模型中L’evy指数的确定乔治·布齐安尼斯和莱恩·P·休斯顿伦敦大学金史密斯学院计算系，新十字，伦敦SE14 6NW，联合王国我们考虑在给定衍生品价格数据的情况下，在资产定价的L’evy模型中确定L’evy指数的问题。该模型由一个定价核{πt}t组成，在真实世界测度P下建立≥0与一个或多个由同一利维流程驱动的非股息支付风险资产合并。如果{St}t≥0表示此类资产的价格过程，然后{πtSt}t≥0是一个P-鞅。L'evy过程{ξt}t≥假设0具有指数矩，这意味着L'evy指数ψ（α）=t的存在-1区间A中α的log E（Eαξt） R将原点包含为属性子集。我们证明，如果对于q，wher{ζT}T的一系列值，在时间T>0时，功率payoff导数的价格为HT=（ζT）qf≥0是所谓的基准投资组合，由ζt=1/πt定义，然后L'evy指数确定为一个不相关的线性项。在这种情况下，衍生品价格体现了价格跳跃的完整信息：特别是，价格跳跃的范围可以从衍生品的当前市场价格中计算出来。更一般地说，如果HT=（ST）Qf对于由L'evy过程驱动的一般无股息支付风险资产，并且如果我们知道定价核由相同的L'evy过程驱动，达到一个比例因子，那么从电力支付衍生品的当前价格，我们可以推导出L'evy指数的结构，直到转换ψ（α）→ ψ(α + u) - ψ（u）+cα，其中c和u为常数。关键词：资产定价；L'evy模型；L'evy流程；L'evy指数；指数矩；期权定价；选项复制；电力支出s.I。

导言我们关心的是，在资产价格可以不连续移动的模型中，确定衍生产品价格在多大程度上可以用来影响潜在跳跃过程的性质。为此，我们考虑了几何L'evy模型的情况，并解决了衍生工具现值在多大程度上可用于确定驱动基础金融资产价格的L'evy过程的问题。自从Breeden&Litzenberger（1978年）和Dupire（1994年）的工作以来，一个新兴的文献已经基于这样一个想法发展起来，即给定期权和其他衍生品的价格，就可以推断出标的物价格过程的分布和动态特性。这项工作大多涉及连续的价格过程。在本工作中，我们考虑了不连续过程，并表明在指数L'evy模型的情况下，L'evy指数可以完全由一个双参数变换族决定。本文的结构如下。在第二节中，我们总结了一些关于列维过程的事实。然后，我们介绍了列维过程应允许指数动量的条件，并探讨了这一假设的一些含义。在第三节中，我们介绍了几何L'evy模型的类别。这些模型推广了标准几何布朗运动模型。它们使我们能够看到超额回报率随风险水平的变化形式，风险水平由波动性参数σ衡量，市场风险厌恶程度由参数λ衡量。在第四节中，我们陈述了我们用于衍生产品定价的框架，并说明了如何处理股息。在第五节中，我们提出了一种方法，用于确定给定一系列幂付款衍生价格的潜在跳跃过程，其结果总结在命题1中。

然后，在第六节中，我们在建议2中说明，如果已知衍生工具所基于的资产是自然数，则可以以更高的精度确定潜在的跳跃过程。本周进一步讨论了L'evy指数在PowerPayoff衍生品价格方面的代表性，并特别评论了为类似目的使用看涨期权价格的可行性。最后，在第七节中，我们建立了imaginarypower Payoff导数的类似结果，其中我们利用傅立叶分析技术表明，只要Payoff平滑且具有良好的渐近性质，一般的欧式导数可以表示为imaginarypower Payoff导数的组合。二、指数矩我们假设读者熟悉列维过程及其财务应用（安徒生和利普顿2013年、阿佩尔鲍姆2004年、伯顿2004年、布罗迪、休斯顿和麦基2012年、陈19 99年、康托夫和坦科夫2004年、格伯和肖1994年、胡巴莱克和斯加拉2006年、基普里亚努2006年、诺伯格2004年、普洛特2005年、佐藤1999年、肖滕斯2004年）。我们主要研究一维L'evy过程。为了方便起见，我们回顾了一些定义和经典结果。概率空间上取R值的随机过程{ξt}(Ohm, F、 P）如果（a）ξs+t，则称为L’evy过程- ξ砂{ξu}0≤u≤s、t独立≥ 0（独立增量），（b）ξs+t- ξ与ξt对于s，t的定律相同≥ 0（固定增量），（c）极限→0P（|ξs+t- ξs |>）=0表示>0（概率连续性），并且（d）存在Ohm′∈ F满足P(Ohm′) = 1使得ω∈ Ohm′路径{ξt（ω）}t≥0是t的正确连续值≥ 0，并为t>0留下了限制（c\'adl\'ag属性）。注意，（b）几乎可以肯定地表示ξ=0。

根据这一定义，t≥ 0和κ∈ Rξtca的傅里叶变换可以用公式E[exp（iκξt）]=ipκ表示-qκ+Z∞-∞（eiκx- 1.- iκx1{| x |<1}）ν（dx）。（1） 这里p和q>0是常数，ν（dx）是L'evy度量。如果ν（{0}）=0和z，则Ris上的Borel测度ν（dx）称为L'evy测度∞-∞1.∧ xν（dx）<∞, （2） 其中a∧b=最小值（a，b）。与L'evy过程相关的L'evy度量具有f或任何可测集B的属性 对于跳跃大小位于B的情况，跳跃发生的预期速率为ν（B）。L'evy过程的样本路径在一个非常紧的时间间隔内几乎肯定有界变化，当且仅当q=0和z∞-∞1.∧|x |ν（dx）<∞. （3） 在这种情况下，我们说{ξt}有界变差。让我们写ξt-= lims公司→tξs表示时间t时过程的左极限。然后，时间t的不连续性定义为ξt=ξt-ξt-,对于L'evy测度，我们有ν（B）=tEX0≤s≤t1级{ξs∈ B} （4）对于任何t>0。如果ν（R）<∞ 我们说{ξt}具有有限的活性，而如果ν（R）=∞ 我们说{ξt}具有有限的活性。（3）保持的一个必要和有效条件是thatX0≤s≤t型|ξs |<∞ （5） 几乎可以肯定的是，每t>0。如果支持|ξt|≤ 几乎可以肯定的是，对于某些常数c＞0，我们说{ξt}有界跳跃。为了使{ξt}产生资产价格的L'evy模型，我们需要一个额外的t，对于每t>0，随机变量ξt应满足形式e（eαξt）<∞ （6） 对于区间A中的α=（β，γ） 包含原点的R。这里我们设置β=infα：E（Eαξt）<∞γ=supα：E（Eαξt）<∞. 如果一个列维过程满足了这个条件，我们说它拥有六个单一时刻。

在这种情况下，可以得出（Sato 1999，定理25.17）存在所谓的L'evy指数ψ：CA→ R、 对于CA={α∈ C | Re（α）∈ A} ，使得e（eαξt）=eψ（α）t，（7），其中ψ（α）允许ψ（α）=pα+qα+Z形式的L'evy-Khinchin表示∞-∞（eαx- 1.- αx1{| x |<1}）ν（dx）。（8） L'evy过程满足α（6）的必要充分条件∈ A是关联的L’evy度量应该满足∞-∞eαx1{| x |>1}ν（dx）<∞ （9） 对于α∈ A（佐藤1999，定理25.3）。如果{ξt}允许指数矩，那么可以检查p>0时的t（|ξt | p）<∞. （10） 论点如下。现在，对于任何α∈ R我们有cosh（αξt）=∞Xk=0（αξt）2k（2k）！。（11） 因此，对于任何k∈ N我们有cosh（αξt）>（αξt）2k（2k）！。（12） 如果我们选择α，使|α|<min（|β|，γ），这确保α和-α在A中，则e（cosh（αξt））<∞. 因此，E（|ξt | n）<∞ 对于偶数n∈ N、 这意味着E（|ξt | p）<∞对于所有p∈ R+，因为对于每个n和任何随机变量X，它都认为E（| X | n）<∞表示E（| X | p）<∞ 对于0≤ p≤ n、 更一般地，对于任何α∈ A和任意p∈ R+我们有e（eαξt |ξt | p）<∞. （13） 这可以如下所示。因为A是开放的，所以f或任何α∈ A我们可以选择>0，这样α（1+）仍然在A中。然后通过H¨older不等式我们得到e（eαξt |ξt | p）≤E（Eα（1+）ξt）1/(1+)E（|ξt | p（1+）/））/(1+). （14） 但我们已经确定，右侧的条款是有限的，并且给出了（13）。类似的论证表明，如果{ξt}允许指数矩，则z∞-∞eαx | x | p1{| x |>1}ν（dx）<∞ , （15） 对于α∈ A和p>0。设置α=0和p=1，我们可以看到∞-∞|x | 1{| x |>1}ν（dx）<∞, （16） 这意味着可以通过删除指示符函数并重新定义方程（8）中的常数p，将（8）右侧的截断项扩展为整个R上f或mr | x |ν（dx）的积分。

积分（13）和（15）的完整性允许我们计算指数L'evy模型中各种衍生支付的希腊人。允许指数矩的L'evy过程的例子包括：（a）布朗运动，其中ψ（α）=α，α∈ R（b） 速率为m的泊松过程，其中ψ（α）=m（eα- 1） 和ν（dz）=mδ（dz）；（c） 具有r atem的复合泊松过程，其中ψ（α）=m（θ（α）- 1） 式中，θ（α）是矩母函数f或典型跳跃的分布u（dx），ν（dz）=mu（dx）；（d） 速率为m的伽马过程，其中ψ（α）=-m日志（1- α） ，α<1，其中ν（dz）=1{z>0}z-1exp(-z） d z（Dickson&Waters 1993、Heston 1993、Brody、Macrina&Hughston 2008、Yor 2007）；（e） 方差γ（VG）过程，其中ψ（α）=-m日志（1- α/2m），我们有-21/2m<α<21/2m（Madan&Seneta 1990，Madan&Milne 1991，Madan，Carr&Chang1998）；（f） L'evy过程的截断稳定族，包括伽马过程和VG过程作为特例（Koponen 1995，Carr，Geman，Madan&Yor 2002，Andersen&Lipton 2013，K¨uchler&Tapp e 2014）；（g） 双曲线过程（Eberlein&Keller1995，Eberlein，Keller&Prause 1998，Bingham&Kiesel 2001）；（h） 广义双曲过程（Eberlein 2001）；（i） 正态逆高斯过程（Barndorff-Nielsen 1998）；（j）Meixner工艺（Schoutens&Teugels 1998）。三、 几何L'EVY模型资产价格的几何L'EVY模型可以看作是著名的计量布朗运动模型对L'EVY制度的扩展。为简单起见，我们考虑由一维过程{ξt}t驱动的模型≥高维L'evyprocess的推广很简单。我们假设{ξt}允许指数矩，并用{ψ（α）}α表示相关的L'evy指数∈对于A=（β，γ），β<0<γ。

进程{mt}t≥0定义为mt=eαξt-ψ（α）t，（17）对于α的某些选择∈ A、 是对应的具有波动率α的几何L'evy鞅。通过平稳和独立增量性质，我们发现Es（mt）=ms。这里我们写下Et（·）=E（·| Ft），其中{Ft}表示{ξt}产生的增强过滤。相关的几何L'evy模型由定价核心、货币市场账户和一个或多个所谓的投资级资产组成。有关无套利资产定价模型中定价核理论的一般方面，请参见杜菲（1992）、亨特和肯尼迪（2004）、科克伦（2005）。关于定价核{πt}t的构造≥0在aL'evy模型中，我们让r∈ R和λ>0为常数，并假设-λ ∈ A、 然后我们设置πt=e-rt公司-λξt-ψ(-λ） t.（18）我们指的是相关过程{ζt}t≥0由ζt=1/πtas定义为增长-最佳投资组合或自然计价资产（Flesaker&Hughston 1997）。它是相对于其他非股息支付资产的鞅的基准。在某些计算中，参考自然数字而不是定价核是很方便的。货币市场账户≥0表示值Bt=时间t，其中bde以某种固定的记账单位记录其初始值。投资gra de资产的理念是，其回报率应严格高于利率。普通股和债券在这个意义上是投资级别，而普通股和债券中的看跌期权和空头头寸则不是。我们假设资产在考虑的时间范围内不支付股息（股息将很快处理），我们写{St}t≥0对于几何L'evy模型中的典型非股息支付风险资产的价值过程。

我们要求定价核和资产价格的乘积应该是一个鞅，我们认为它是πtSt=Seβξt形式的几何L'evy鞅-ψ（β）t（19）对于某些β∈ A、 从上面的公式中，我们推导出St=Sert+σξt+ψ(-λ） t型-ψ(σ-λ） t，（20），其中σ=β+λ。我们假设σ>0∈ A、 因此，价格可以用以下形式表示：st=Sert+R（λ，σ）t+σξt-ψ（σ）t，（21），其中r（λ，σ）=ψ（σ）+ψ(-λ) - ψ( σ - λ). （22）因此，我们看到σ是相对于给定L'evy过程的资产价格波动率，而R（λ，σ）是高于利率的超额回报率。参数λ可以解释为市场风险厌恶程度的度量。计算表明，当且仅当{ξt}是布朗运动时，超额收益率在λ和σ上是双线性的（Brody et al 2012）。它遵循λ作为“市场风险价格”的解释，这对于基于布朗过滤的模型是有效的，但并不直接适用于一般的列维制度。尽管如此，超额收益率的概念已经很明确，在我们假设L'evy指数的严格凸性意味着超额收益率是严格正的情况下。为了证明R（λ，σ）>0，我们可以使用L'evy Khinchin公式（8）来推导R（λ，σ）=Z∞-∞（eσx- 1)(1 - e-λx）ν（dx）。（23）通过对（23）的检验，得出超额回报率是波动性和风险规避水平的递增函数。对于由单个L'evy过程驱动的单个资产，可以在不损失一般性的情况下设置σ=1。这可以通过设置ξt=σξt来定义重标L'evy过程{ξt}。然后定义ψ（α）=ψ（σα）并设置λ=λ/σ，我们得到πt=e-rt公司-？λ？ξt-ψ(-\'λ）t，St=Sert+\'\'R（\'λ，1）t+\'ξt-ψ（1）t，（24），其中R（|λ，1）=ψ（1）+ψ(-λ) -ψ(1 -λ).

如果我们放弃这些标准，我们就会回到对已经建立的模型的厌恶，但σ=1。然而，将参数σ作为理论的一部分保持不变是有帮助的，因为在某些情况下，我们可能会比较模型的不同版本，以获得不同的参数值，例如敏感性分析和希腊人的计算。另一方面，也有一些情况需要利用σ=1的设置所产生的简化；这方面的一个例子可以在命题1的证明中找到。应该注意的是，（21）得出的资产价值并不取决于列维过程的漂移，因为如果我们用ξt+t替换ξt∈ 然后用ψ（α）+α替换L′evy指数ψ（α），组合离子σξt-资产价格公式中出现的ψ（σ）t保持不变。这意味着，如果试图从导数的价格中确定L'evy指数，则会留下形式ψ（α）的不确定性→ ψ（α）+cα表示一些未知常数c。值得一提的是，Mandelbrot（1963）指出的在金融中生成L'evy模型的动机之一是有可能解释收益分布中明显存在的“厚尾”。但似乎他脑子里想的不是构建价格过程的特定动态模型，而是引入具有有限时刻的不可分分布来建模此类资产的回报，这一假设使得构建动态模型变得困难。