投资组合理论、信息理论和Tsallis统计

事实上，q-portfolio在67天内呈现出更高的相对财富，三只股票的相对财富为75%。我们在表1中给出了这一时期相对于两支、三支和四支股票的财富结果，这强化了相对于q-Portfolio的财富在几乎所有情况下，在这一时期结束时都表现出较高的价值，BBAS3和PETR4除外。在21天的移动期结束时，我们可以看到q投资组合的相对财富带来了更好的结果，在分析的11个案例中，高斯覆盖的投资组合有10个。在11种情况中，有8种情况下，q-portfoliobegin的价值高于Gaussian Cover的投资组合，在期末会带来更好的结果，这表明我们的方法比Gaussian Cover的portfoliotheory更好地处理巴西股市数据，能够预测更高的财富相对价值。在所有情况下，参数q都在1.39到1.65之间，更接近于[27，28]中获得的值，这表明股市遵循的行为在Tsallis统计中很好地表现为这一系列参数。

同样，我们可以将我们的形式主义应用到几个股票的案例中，并分析多种规模的投资组合。（a） （b）（c）（d）（e）（f）图1:2018年1月5日至2018年5月31日期间q组合和高斯覆盖组合（CP）的相对财富，两支股票：a）PETR4和VALE3，b）BBDC4和PETR4，c）BBAS3和PETR4，d）BBAS3和BBDC4，e）BBAS3和VALE3，f）BBDC4和VALE3。（a） （b）（c）（d）（e）图2:2018年1月5日至2018年5月31日期间q组合和高斯覆盖组合（CP）的相对财富，三支股票：a）PETR4、VALE3和BBDC4，b）PETR4、VALE3和BBAS3，c）BBAS3、BBDC4和VALE3，d）BBAS3、BBDC4和PETR4。；和四只股票：e）BBAS3、BBDC4、PETR4和VALE3。可以通过计算夏普比率=E[Rt]来衡量投资组合的风险调整后回报- Rf]σ[Rt]（23）和Sortino比率=E[Rt- T]T DD（24），其中Rtis投资组合的回报率，Rf表示无风险回报率，σ[Rt]是投资组合回报率的标准差，T表示投资的目标或回报要求，T DD=qNPNi=1min（0，Ri- T）是目标下行偏差。我们使用无风险利率和要求收益率Rf=T=0，并计算q-投资组合和GaussianCover投资组合的Sharpe和Sortino比率。

结果如表2所示，对于63个案例，6%的案例，q-Portfolio在Sharpe比率和Sortino比率方面的表现都优于高斯覆盖的投资组合。表2:Gaussian Cover投资组合（CP）的Sharpe比率和Sortino比率，以及两支、三支和四支股票的qportfolio理论。股票BBBAS3 BBAS3 BBAS3 BBDC4 BBDC4 PETR4BAS3 BBDC4 BBAS3 BBAS3 BBAS3 BBAS3 BBAS4 PETR4 BBDC4 BBDC4 PETR4 VALE3 PETR4 VALE3 VALE3 PETR4 VALE3 VALE3 0.8016 0.9042 1.2921 0.1398 1.7122 0.1398 0.1398 1.5155高斯CPShape比率0.5707 1.3652 0.9919 1.0694 1.5666 1.551 84 1.4712 1.2452 1.0881 0.7198 0.9869q-PortfolioSortino比率0.1889 1.3411 1.56062.0246 0.1826 2.9201 2.9201 0.1827 0.1827 0.1826 2.5377高斯CPSortino比率0.8820 2.3338 1.7462 1.6042 0.8478 2.7156 2.5691 2.0111 1 1.737 1.1545 1.5813q-Portfolioth表2中的值表明，考虑到总波动率和下行风险，q-Portfolio表现出更好的风险调整绩效，能够产生比高斯覆盖的投资组合更高的回报。结论Tsallis统计量允许我们通过一个非扩展参数q来概括通常的概念→ 1、恢复常用表达式。感兴趣的例子包括函数变形和代数运算。我们在Cover从信息理论到投资组合理论的方法中探索这些工具。通过这种方式，我们确定了阿斯托克市场投资组合的增长q率WQO，最佳增长q率W*q、 q-n天后财富使用投资组合b*我们证明了最优投资组合n天后的q-财富是由q-指数函数给出的。在因果投资组合的背景下，我们研究了渐近最优性，我们得出，对于股票市场的几乎每个序列，n天后的最优q财富都大于任何投资者的q财富。

需要注意的是，参数q建立了每天股价之间的相关性。事实上，通过等式（7），我们可以注意到，所提出的q-高斯不是q-高斯的乘积，而是q-积。基于这种方法，对少量股票进行了巴西股市分析。我们表明，与标准财富相比，q财富更适合于经验数据，并且是非广泛参数q在1.39到1.65之间的最佳值。对夏普比率和索蒂诺比率的分析也可以评估使用Q投资组合的优势。作为展望，我们打算在这种情况下调查i.i.d.市场和时间相关的市场过程。此外，我们假设应用这个公式来分析后现代投资组合理论，探索下行风险和对数正态分布的非扩展版本。参考文献[1]H.Markowitz，《投资组合选择》，《金融杂志》第7期（1952）77-91页。[2] W.Sharpe、G.Alexander和J.Bailey，《投资》，新泽西州普伦蒂斯大厅，1985年。[3] T.Cover，J.Thomas，《信息论要素》，WileyInterscience，纽约，2006年。[4] R.Bell，T.Cover，《对数投资的竞争最优性》，数学。操作。第5号决议（1980年）147-152。[5] R.Bell，T.Cover，博弈论最优投资组合，管理。Sci。34(1988) 724-733.[6] A.Barron，T.Cover，《信息财务价值的界限》，IEEE Trans。Inf.理论34（1988）1097-1100。[7] J.Kelly，《信息率的新解释》，贝尔系统。《技术J 35》（1956）917-926。[8] P.Algoet，T.Cover，对数最优投资的渐近最优性和渐近均分性，人工神经网络。问题。16 (1988) 876-898.[9] T.封面、通用投资组合、数学。《金融学1》（1991）181-209。[10] H.Theil，C.Leenders，《阿姆斯特丹证券交易所明天》，商业杂志38（1965）277-284。[11] E.F。

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