CVA的神经网络：学习未来值

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英文标题：
《Neural Network for CVA: Learning Future Values》
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作者：
Jian-Huang She, and Dan Grecu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A new challenge to quantitative finance after the recent financial crisis is the study of credit valuation adjustment (CVA), which requires modeling of the future values of a portfolio. In this paper, following recent work in [Weinan E(2017), Han(2017)], we apply deep learning to attack this problem. The future values are parameterized by neural networks, and the parameters are then determined through optimization. Two concrete products are studied: Bermudan swaption and Mark-to-Market cross-currency swap. We obtain their expected positive/negative exposures, and further study the resulting functional form of future values. Such an approach represents a new framework for modeling XVA, and it also sheds new lights on other methods like American Monte Carlo.
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中文摘要：
在最近的金融危机之后，定量金融面临的一个新挑战是对信贷估值调整（CVA）的研究，这需要对投资组合的未来价值进行建模。在本文中，继[渭南E（2017），韩（2017）]最近的工作之后，我们应用深度学习来解决这个问题。通过神经网络对未来值进行参数化，然后通过优化确定参数。本文研究了两种具体产品：百慕大掉期期权和按市价交叉货币掉期。我们获得了他们预期的正/负风险敞口，并进一步研究了由此产生的未来价值函数形式。这种方法为XVA建模提供了一个新的框架，同时也为美国蒙特卡罗等其他方法带来了新的启示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Neural_Network_for_CVA:_Learning_Future_Values.pdf (1.82 MB)

2022-6-11 04:26:01 上传

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关键词：神经网络 CVA 神经网 Quantitative Applications

CVA的神经网络：学习未来价值Jian Huang She*, Dan Grecu+修订版：2018年11月6日第一版：2018年11月6日摘要在最近的金融危机之后，定量融资面临的新挑战是信用估值调整（CVA）研究，这需要对投资组合的未来价值进行建模。在本文中，继[2，3]中的最新工作之后，我们应用深度学习来解决这个问题。通过神经网络对未来值进行参数化，然后通过优化确定参数。本文研究了两种具体产品：百慕大掉期期权和按市价交叉货币掉期。我们获得了他们预期的正/负风险敞口，并进一步研究了未来价值的函数形式。这种方法代表了XVA建模的新框架，也为其他方法（如美国蒙特卡罗）带来了新的启示。1简介2008年的金融危机已将交易对手信用风险置于核心地位。此后，对信贷估值调整（CVA）或更广泛的XVA进行评估已成为银行的一项关键任务，此外还包括债务估值调整（DVA）、资金价值调整（FVA）、保证金价值调整（MVA）等。XVA的关键概念是投资组合的未来价值。从今以后，除了时间零价格外，我们现在还需要对未来的价格分布进行建模。此外，对于抵押交易，我们需要对未来不同时间的价格联合分布进行建模。对于MVA，我们需要对未来价值的衍生品（未来希腊人）进行建模。事实上，在具有早期行使特征的产品（如百慕大掉期期权）的（时间零点）定价中，人们已经面临在未来时间点获取价格的问题：行使日期的持有价值。

这指向*富国银行公司模型风险部，电子邮件联系人：黄健。She@wellsfargo.com+富国银行公司模型风险部2018富国银行，N.A.版权所有。本出版物中表达的观点是我们的个人观点，不一定反映富国银行、其母公司、附属公司和子公司的观点。XVA和callable产品之间的密切关系。对于可赎回产品，虽然偏微分方程（PDE）和树方法在低维度下工作良好，但当维度变高时，例如对于Libor市场模型，唯一的方法仍然是蒙特卡罗方法。为了获得灵感，让我们更仔细地研究蒙特卡罗方法在可调用产品中的应用。很明显，传统的蒙特卡罗方法在这里不起作用，因为每个未来值都需要一个单独的蒙特卡罗定价器，而这种嵌套的蒙特卡罗方法成本太高。取而代之的是所谓的美国蒙特卡罗（AMC）[1]。接下来，我们从一个非常明显的观察开始，即未来价值取决于截至该日期的可用信息。更正式地说，未来价值是根据未来相应时间可用信息过滤的条件预期价值。这一观察结果的直接后果是，未来价值是单个蒙特卡洛路径上所有风险因素的历史时间序列的函数。在没有任何障碍或亚洲特征的情况下，进一步简化了futurevalue是特定日期和特定路径上所有风险因素的函数。

也就是说，对于i=1，···，d的所有风险因素xi，未来值是这些d变量的函数：V（Tn）=f（X（Tn），··，Xd（Tn））。请注意，该函数通常高度非线性，并且在高维中定义。确定此类函数的一种方法是通过AMC，AMC继续进行进一步观察：（1）给定整个交易生命周期的蒙特卡罗路径，可以从贴现现金流中获得特定路径在给定日期的交易价值；（2） 由此获得的值表示未知函数f（X，···，Xd）的采样。通过这种方式，可以获得单个函数的大量样本，然后可以使用统计方法来推断此函数。在实践中，由于效率高，通常使用线性回归。线性回归方法以基函数的形式，假定对手头的问题有相当多的先验知识。这种方法的性能关键取决于这些基函数的智能选择。例如，用于对冲该产品的流动性更强的产品的价格通常包含在基本函数集合中。在这里，我们探讨了在不使用产品先验知识的情况下确定未来价值的功能形式的可能性。更具体地说，我们寻求为高维非线性函数f（X，···，Xd）找到一个“通用近似器”。我们密切关注渭南E及其合作者的开创性工作（见[2，3]），将神经网络（NN）用作“通用逼近器”。

这种方法很大程度上受到了最近将神经网络应用于计算机视觉、语音识别、机器翻译、玩棋盘游戏和医疗诊断等各个领域的成功经验的启发（参见[4、5、6、7]）。神经网络有两个吸引人的特点：（1）能够表示高维非线性函数[8，9]，（2）使用高效的优化算法很容易确定包含的参数[10]。神经网络方法已在【11】中使用随机控制问题的双重公式应用于CVA，并在【12】中使用伦敦银行同业拆借利率市场模型应用于百慕大掉期期权的时间零定价。[13]中提出了一种新算法，用NN直接参数化未来值，探索自动微分的威力。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了CVA/DVA的基本概念，然后提出了神经网络方法来建模未来值并计算CVA/DVA。第3节和第4节研究了两种具体产品，即百慕大掉期和按市价交叉货币掉期。计算了它们的EPE/ENE，研究了未来值的函数形式。在第5节中，我们总结了我们的方法，并对未来的方向进行了评论。2形式2.1 CVA/DVACVA和DVA是交易对手风险的风险中性价格。它们被定义为（参见例[14，15]）：CV A=ZTEQ(1 - RC（t））D（0，t）V+（t）1t≤τC<t+dt, （2.1）DV A=ZTEQ(1 - RB（t））D（0，t）V-（t） 1吨≤τB<t+dt, （2.2）使用贴现因子D（0，t），投资组合的未来价值V（t），回收率R和RB，交易对手（C）和银行（B）的违约时间τCandτB。此处V+≡ 最大值（0，V），V-≡ 最小值（0，V）。指标函数表示交易对手/银行在时间间隔【t，t+dt】内违约的情况。该预期是在信息为零的风险中性措施下进行的，即。

估价时间。在假设违约事件和未来价格是独立的情况下，CVA/DVA可分为市场部分和信贷部分：CV A=ZT（1- RC（t））EP E（t）dP RC（t），（2.3）DV A=ZT（1- RB（t））ENE（t）dP RB（t）。（2.4）信贷部分在恢复率RC/波段违约概率DP RC（t）中进行编码≡ P r（t≤ τC<t+dt）和dP rB（t）≡ P r（t≤ τB<t+dt）。市场部分编码为预期正暴露（EPE）和预期负暴露（ENE）：EP E（t）=等式D（0，t）V+（t）, （2.5）ENE（t）=等式D（0，t）V-（t）. （2.6）请注意，EPE代表具有零敲打权的投资组合的看涨期权，andENE代表看跌期权。在本文中，我们将重点讨论EPE和ENE，它们涉及未来值V（t）的建模。2.2未来值神经网络我们调用深度学习来建模未来值。在这一小节中，我们概述了问题的表述。虽然[2，3]的方法从PDE开始，然后将其转换为倒向随机微分方程（BSDE[16，17，18]），但我们发现在SDE的框架内直接开始更方便。我们从风险因素动力学开始。我们考虑d风险因素XI，i=1，···，d（例如Libor远期利率）和Xt≡（X（t），···，Xd（t））。它们的动力学读数为：dXi（t）=ui（t，Xt）dt+Xjσij（t，Xt）dWj（t），（2.7），关联度<dWj（t），dWk（t）>=ρjkdt，和j，k=1，··，k来自aK维布朗运动。然后考虑未来值V（t），它被定义为根据时间t的可用信息过滤的条件预测：V（t）=B（t）E“XnCF（Tn）B（Tn）| Ft#，（2.8），现金流量CF和数值B。未来值的BSDE的自然变量是相对于数值B（t）的相对值，即V（t）≡ V（t）/B（t），因为它是相应测度下的鞅。

由此产生的动态不涉及漂移，只涉及差异：dV（t）=XijVXi（t，Xt）σij（t，Xt）dWj（t）。（2.9）如果需要，可以从上述方程式中获得V（t）的BSDE。最重要的是未知向量函数VXi（t，Xt），在财务方面代表相应风险因素的增量。我们将时间方向离散化。在给定的时间步Tn，每个Delta是Tn处所有风险因素的函数：VXi（Tn）=f（n）i（X，···，Xd），（2.10），其中函数形式f（n）未知。[2，3]的观点是通过神经网络对该函数进行参数化：VXi（Tn）\'F（n）i（X，···，Xd），（2.11），然后通过优化得到函数形式。考虑一个完全连接的神经网络，它是通过重复应用两个简单的操作形成的：o所有输入变量的线性组合，即zj=Piwjixi单变量的非线性映射，即yj=φ（zj），其中φ（z）可以是tanh（z），max{z，0}（relu），1/（1+e-z） （乙状结肠）。我们可以将函数的神经网络表示与非语法表示进行比较：关键的区别在于神经网络可以有多层。有了足够的层次，神经网络本质上可以代表复杂的非线性函数。这种方法的威力来自于一种快速优化算法的存在【10】。一旦给出了δ的函数形式，就可以确定未来价值的演变：△V（Tn+1）=V（Tn）+XijF（n）i（Xn）σij（Tn，Xn）[Wj（Tn+1）- Wj（Tn）]。（2.12）此外，当出现现金流或期权行使时，投资组合价值可能会跳跃。我们使用T±表示日期Tn之后和之前的时间。在现金流日期，有一个跳跃条件：VT-n- 五、T+n= CF（Tn）。

（2.13）在期权行使日期，有一个跳跃条件：VT-n= 最大值五、T+n, Un（Tn）, （2.14）其中Un（Tn）表示行使价值。注意选项运动状态的时间不对称性：给定运动值Un（Tn），我们可以确定-n） 从V（T+n），但我们不能从V（T）确定V（T+n-n） 。从数学上讲，这是因为max函数没有反函数。从财务上来说，这是因为公允价值是由对未来的预期决定的。其结果是，对于涉及早期行使的产品，必须将投资组合价值在时间上向后推：V（Tn）=V（Tn+1）-XijF（n）i（Xn）σij（Tn，Xn）[Wj（Tn+1）- Wj（Tn）]。（2.15）这适用于所有形式，包括PDE、trees、AMC以及NN方法（见【12】）。给定控制未来值演化的方程，要获得其完整历史，我们仍然需要边界条件。最终条件是，在到期日TN之后，投资组合价值应为零：VT+N= 0。（2.16）初始条件未知，将参数化并通过优化获得。我们参数化初始值V（0）=V，以及初始增量五、Xi（0）=Z（0）i。给定（1）风险因素Xi（Tn，ωp）的蒙特卡罗路径，其中ωp表示蒙特卡罗路径，（2）未来值的初始条件，根据参数Vand Z（0）i，（3）未来值的BSDE，使用神经网络参数w（n）i，我们可以获得所有未来值sv（Tn，ωp）的“暂定”历史。根据这样的历史，我们可以构建一个损失函数，表示相关试验参数的偏差五、 Z（0）i，w（n）i从他们的“真实”价值观。损失函数的一个可能选择是未来值与目标值SL的均方误差五、 Z（0）i，w（n）i=AXMp[V（TM，ωp）- Vtarget（TM）]，（2.17），具有归一化因子a，例如路径数。

如果使用远期归纳法，我们可以使用到期日的偏差，即TM=TN，其中vTarget=0。如果使用反向归纳法，例如早期练习，我们可以使用估值日期的偏差TM=T，其中Vtarget=V。利用构造的损失函数，可以应用优化来训练神经网络。我们使用Adam优化算法[19]，该算法已被广泛用于计算机视觉和自然语言处理领域的最新深度学习应用。2.3暴露计算未来值已知后，EPE和ENE可通过以下公式计算：。（2.5）和（2.6）。由于我们已经建立了蒙特卡罗，这一步骤对于线性积来说相对简单。我们使用已经训练好的参数再次进化未来值，在此过程中，根据公式（2.5）和（2.6）计算PE和ENE。期权的风险敞口计算更为复杂。我们仍然会使用经过训练的参数再次演化未来值，但在此过程中，我们还需要跟踪每个蒙特卡罗路径ωp的执行时间τpf。如果尚未执行期权，则投资组合值就是期权的值。如果期权已经行使，有两种不同的情况需要分别处理：对于现金结算期权，投资组合价值为零；对于实物结算期权，投资组合价值是基础的价值。总结一下，一个hasV（t，Xp）=τp>t的选项（t，Xp），τp为0≤ t和现金结算，vUnderlieng（t，Xp）forτp≤ t和物理固定。（2.18）3百慕大swaption 3.1算法是一个具体的例子，我们在本节中考虑百慕大swaption。ABermudan掉期期权是在给定日期（行权日期）签订掉期合同的期权。为简单起见，我们考虑现金结算的情况，如图3.1：左：百慕大群岛现金结算掉期期权的EPE和ENE。

右图：损失函数随训练步骤的演变。图3.2：百慕大swaption未来价值随培训的演变（1stexercise日期）。蓝色线表示投资组合价值，橙色线表示执行价值。行使期权后，风险敞口消失。百慕大群岛掉期期权敞口的计算包括三个阶段。第一阶段（预训练）使用正向归纳法生成所有不需要神经网络知识的量。在此阶段，将执行以下操作：o向前演化风险因素，并将其存储在张量Xipn中，其中维度指数i、路径指数p和时间指数n。o计算运动值，并将其存储在张量Upm中，路径指数p、时间指数m表示运动日期。第二阶段是构建和训练神经网络，使用反向归纳法。在这一阶段，将进行以下操作：图3.3：百慕大沼泽地未来价值的演变与训练（第四次普查日期）。图3.4：百慕大Swaption未来值与Bachelier公式的拟合建立神经网络。在每个时间步Tn，为Delta构建一个神经网络，即。五、xi≡ Zi。每个神经网络的形式都是映射向量Xpn的函数≡ （X1pn，···，Xdpn）到矢量zpn≡ （Z1pn，···，Zdpn），即F（n）：Xpn→ Zpn.o反向感应。根据后向形式的微分方程（2.15）和早期运动的跳跃条件（2.14），发展未来值。结果存储在tensor Vpn中，路径索引为p，时间索引为n。o从Vpn构建损失函数。损失函数的形式为五、 Z（0）i，w（n）i=AXp（Vp0- 五） 。（3.1）o训练神经网络，例如使用Adam优化器。o在tensor Vpn中存储上次运行中的未来值。