求解非线性高维偏微分方程

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英文标题：
《Solving Nonlinear and High-Dimensional Partial Differential Equations
  via Deep Learning》
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作者：
Ali Al-Aradi, Adolfo Correia, Danilo Naiff, Gabriel Jardim, Yuri
  Saporito
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this work we apply the Deep Galerkin Method (DGM) described in Sirignano and Spiliopoulos (2018) to solve a number of partial differential equations that arise in quantitative finance applications including option pricing, optimal execution, mean field games, etc. The main idea behind DGM is to represent the unknown function of interest using a deep neural network. A key feature of this approach is the fact that, unlike other commonly used numerical approaches such as finite difference methods, it is mesh-free. As such, it does not suffer (as much as other numerical methods) from the curse of dimensionality associated with highdimensional PDEs and PDE systems. The main goals of this paper are to elucidate the features, capabilities and limitations of DGM by analyzing aspects of its implementation for a number of different PDEs and PDE systems. Additionally, we present: (1) a brief overview of PDEs in quantitative finance along with numerical methods for solving them; (2) a brief overview of deep learning and, in particular, the notion of neural networks; (3) a discussion of the theoretical foundations of DGM with a focus on the justification of why this method is expected to perform well.
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中文摘要：
在这项工作中，我们应用Sirignano和Spiliopoulos（2018）中描述的深层伽辽金方法（DGM）来解决定量金融应用中出现的许多偏微分方程，包括期权定价、最优执行、平均场博弈等。DGM背后的主要思想是使用深层神经网络来表示未知的兴趣函数。这种方法的一个关键特征是，与其他常用的数值方法（如有限差分法）不同，它是无网格的。因此，它不会（像其他数值方法一样）受到与高维偏微分方程和偏微分方程系统相关的维数灾难的影响。本文的主要目的是通过分析DGM在许多不同PDE和PDE系统中的实现，阐明DGM的特点、功能和局限性。此外，我们还提出：（1）简要概述了定量金融中的偏微分方程及其数值求解方法；（2） 深度学习的简要概述，尤其是神经网络的概念；（3） 讨论了DGM的理论基础，重点讨论了为什么该方法预期表现良好的理由。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Solving_Nonlinear_and_High-Dimensional_Partial_Differential_Equations_via_Deep_L.pdf (2.55 MB)

2022-6-11 04:28:18 上传

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关键词：偏微分方程 微分方程 非线性 偏微分 Quantitative

通过深入学习团队OneALI AL-ARADI求解非线性和高维偏微分方程，TorontoADOLFO CORREIA大学，Pura e AplicadaDANILO NAIFF研究所，里约热内卢联邦大学JARDIM，Fundac,ao Getulio Vargasupervisor：YURI SAPORITO，Fundac,ao Getulio VargasEMAp，Fundac,ao Getulio Vargas，Rio Janeiro，巴西内容1简介42偏微分方程简介62.1概述。62.2 Black-Scholes偏微分方程。82.3福克-普朗克方程。102.4随机最优控制和最优停车。112.5平均场比赛。183 PDEs的数值方法213.1有限差分法。213.2伽辽金法。253.3有限元法。263.4蒙特卡罗方法。274深度学习导论294.1神经网络和深度学习。304.2随机梯度下降。344.3反向传播。344.4总结。364.5普遍逼近定理。374.6其他主题。375深伽辽金法415.1简介。415.2数学细节。425.3神经网络近似定理。445.4实施细节。

. . . . . . . . . . . . . . . 446深伽辽金法的实施476.1本章的组织方式。486.2欧洲看涨期权。496.3美式看跌期权。516.4福克-普朗克方程。546.5随机最优控制问题。576.6系统性风险。636.7平均场比赛。676.8结论和未来工作。71第1章导言在这项工作中，我们提出了一种使用深度神经网络数值求解一类广泛的偏微分方程（PDE）和PDE系统的方法。我们考虑的偏微分方程与定量金融中的各种应用有关，包括期权定价、最优投资以及平均场博弈和系统风险研究。数值方法基于Sirignano和Spiliopoulos（2018）中描述的深伽辽金方法（DGM），并根据感兴趣的应用进行了修改。DGM背后的主要思想是使用深度神经网络表示感兴趣的未知函数。注意函数必须满足已知的偏微分方程，通过最小化与微分算子、初始/终端条件和初始值和/或边界问题中给出的边界条件相关的损失来训练网络。神经网络的训练数据由函数的不同可能输入组成，通过从定义PDE的区域随机采样获得。这种方法的一个关键特征是，与其他常用的数值方法（如有限差分法）不同，它是无网格的。

因此，它不会（像其他数值方法一样）受到与高维偏微分方程和偏微分方程系统相关的维数灾难的影响。本文的主要目标是：1。简要概述偏微分方程，以及偏微分方程如何在定量金融中出现，以及解决偏微分方程的数值方法。2、简要概述深度学习；特别是神经网络的概念，以及对它们如何训练和使用的阐述。3、讨论DGM的理论基础，重点讨论为什么该方法预期表现良好。通过分析DGM在许多不同PDE和PDE系统中的实现方面，阐明DGM的特点、能力和局限性。xt（ti，xj）initialconditionmesh网格点图1.1：基于网格的有限差分法（左）与深伽辽金法（右）我们以一种突出我们自己的学习过程的方式呈现结果，其中我们展示了我们的失败以及我们为解决所面临的任何问题而采取的步骤。主要信息可以归纳为三个要点：1。抽样方法问题：DGM基于随机抽样；在何处以及如何选择用于训练的抽样随机点是决定该方法准确性的最重要因素。2、先验知识事项：与其他数值方法类似，拥有能够指导实施的解的信息可以显著改善结果。3、训练时间很重要：神经网络有时比weafford需要更多的时间，只需让算法运行更长时间，就能获得更好的结果。第2章偏微分方程导论2.1概述偏微分方程（PDE）广泛存在于科学、工程、经济和金融的许多领域。它们通常用于描述自然现象和多维动力系统的模型。

在金融领域，找到偏微分方程的解决方案对于衍生品定价、最优投资、最优执行、平均场博弈等问题至关重要。在本节中，我们将讨论偏微分方程的一些介绍性方面，并通过一些示例来激发其在定量金融中的重要性。简而言之，偏微分方程描述了多变量函数与其部分导数之间的关系。在形式和复杂性方面，人们可以遇到各种各样的PDE。它们可以按顺序变化；它们可能是线性的或非线性的；它们可能涉及各种类型的初始/终端条件和边界条件。在某些情况下，我们会遇到多个函数通过其partialderivatives相互连接的耦合节点系统。在其他情况下，我们会发现自由边界问题或变分不等式，其中函数及其域都未知，必须同时求解。为了用数学方法表达最后一段中的一些想法，让我们提供一些定义。一个k阶偏微分方程的形式是：FDku（x），Dk-1u（x）。。。，Du（x），u（x），x= 0 x∈ Ohm  Rn其中dk是k阶和u阶所有偏导数的集合：Ohm → R是我们想要求解的未知函数。PDE可以采用以下形式之一：1。线性偏微分方程：导数系数和源项不依赖于任何导数：X |α|≤kaα（x）·Dαu{z}线性微分方程=f（x）{z}源项2。半线性偏微分方程：最高阶导数的系数不依赖于低阶导数：X |α|=kaα（X）·Dαu |{z}线性内高阶导数+a丹麦-1u。。。，Du、u、x| {z}源项=03。

准线性PDE：最高阶导数中的线性，系数取决于低阶导数：X |α|=kaα丹麦-1u。。。，Du、u、x| 高阶导数的{z}系数项·Dαu+a丹麦-1u。。。，Du、u、x| {z}源项不依赖于最高阶导数=04。完全非线性偏微分方程：非线性依赖于最高阶导数。偏微分方程系统是几个涉及多个未知函数的偏微分方程的集合：FDku（x），Dk-1u（x）。。。，Du（x），u（x），x= 0 x∈ Ohm  RNU，其中u：Ohm → Rm。一般而言，以上PDE表格按不同程度排列。此外：o高阶偏微分方程比低阶偏微分方程更难求解；oPDE系统比单个PDE更难解决；o随着状态变量的增加，偏微分方程的难度增加。在某些情况下，我们要求未知函数u等于其域边界上的某个已知函数Ohm. 这种条件称为边界条件（或处理时间维度时的初始/最终条件）。我们将在第5章中研究的PDE的形式也是如此。接下来，我们将展示一些例子来说明PDEsin在金融应用中的普遍性。Evans（2010）进一步讨论了偏微分方程的基础知识（以及更高级的主题），如适定性、解的存在性和唯一性、经典解和弱解以及正则性。2.2 Black-Scholes偏微分方程定量金融中最著名的结果之一是Black-Scholes方程以及Black和Scholes（1973）开创性工作中讨论的相关Black-Scholes偏微分方程。

虽然它们被用于求解各种金融衍生品的价格，但为了便于说明，我们从与欧式未定权益定价相关的该方程的简单变体开始。2.2.1欧洲风格的衍生工具欧洲风格的未定权益是基于不确定性来源编写的金融工具，其回报取决于预定到期日的基础水平。我们假设一个简单的市场模型，即BlackScholes模型，其中风险资产遵循具有恒定漂移和波动参数的几何布朗运动（GBM），其中短期利率是恒定的。也就是说，风险资产的价格过程动力学X=（Xt）t≥0和无风险银行账户B=（Bt）t≥0在“真实世界”下，概率度量P由以下公式给出：dXtXt=udt+σdWtdBtBt=r dt，其中W=（Wt）t≥0是一个P-布朗运动。我们有兴趣为写在资产X上的索赔定价，该索赔具有支付函数G（X）和到期日T。然后，假设债权的价格函数g（t，x）——当基础资产处于Xt=x的水平时，它在时间t确定债权的价值——足够平滑，可以通过动态定价和无套利论证表明g必须满足Black-Scholes PDE：(tg（t，x）+rx·xg（t，x）+σx·xxg（t，x）=r·g（t，x）g（t，x）=g（x）此简单模型和相应的偏微分方程可以以多种方式扩展，例如纳入其他不确定度源；o将非交易流程作为不确定性的潜在来源；o考虑更丰富的资产价格动态，例如跳跃、随机波动；o定价更复杂的支付函数，例如。

路径相关收益。2.2.2美式衍生工具与欧式未定权益相比，美式衍生工具允许期权持有人在到期日之前行使衍生工具，并根据标的物的现行价值立即收到回报。这可以描述为一个最优停止问题（更多关于此主题的信息，请参阅第2.4节）。为了描述美式期权的定价问题，假设T[T，T]是期权持有人可以行使的[T，T]中的允许停止时间集，Q是风险中性度量。然后美式应急保险的价格由以下公式得出：g（t，x）=supτ∈T[T，T]等式-r（τ-t） G（Xτ）Xt=使用动态规划参数可以证明，最优停止问题承认一个动态规划方程。在这种情况下，该方程的解产生美式期权的价格。假设与前一节相同的市场模型，可以证明美式期权g（t，x）的价格函数和支付函数g（x）-假设充分平滑-满足变分不等式：最大{(t+L- r） g，g-g} =0，对于（t，x）∈ [0，T]×R，其中L=rx·x+σx·xxis是微分算子。最后一个等式有一个简单的解释。在花括号中的两项中，一项等于零，另一项为负。当g（t，x）>g（x）时，第一项等于零，即当期权价值大于内在（提前行使）价值时，期权不会提前行使，且价格函数满足通常的Black-Scholes偏微分方程。当第二项等于零时，我们得到g（t，x）=g（x），换句话说，期权价值等于行使价值（即期权被行使）。

因此，将g（t，x）>g（x）的区域称为连续区域，将g（t，x）=g（x）的曲线称为运动边界。请注意，不可能使g（t，x）<g（x），因为这两个项都以0为界。还值得注意的是，这种变分不等式可以写成如下：tg+rx·xg+σx·xxg- r·g=0{（t，x）：g（t，x）>g（x）}g（t，x）≥ G（x）（t，x）∈ [0，T]×Rg（T，x）=G（x）x∈ rw为了简洁起见，我们放弃了对（t，x）的显式依赖。该问题中的自由边界集为F={（t，x）：g（t，x）=g（x）}，必须与未知价格函数g一起确定。集F称为行使边界；一旦标的资产价格达到边界，投资者的最佳行动就是立即行使期权。2.3福克-普朗克方程我们现在开始关注偏微分方程在随机过程中的另一个应用。假设我们有一个与时间无关的漂移和扩散系数为：dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dw的It^o过程，并假设初始点是一个随机向量x，其分布由概率密度函数f（x）给出。一个自然的问题是：“该过程在给定区域A中的可能性是多少？” Rdat时间t？”这个量可以计算为随机向量Xt的概率密度函数的积分，用p（t，x）：p（Xt）表示∈ A） =ZAp（t，x）dx福克-普朗克方程是一个偏微分方程，p（t，x）可以满足：tp（t，x）+Pdj=1j（uj（x）·p（t，x））-Pdi，j=1ij（σij（x）·p（t，x））=0（t，x）∈ R+×Rdp（0，x）=f（x）x∈ Rdwhere公司詹德ij分别是关于xjand和xind xj的一阶和二阶偏微分算子。在初始分布f上的某些条件下，上述PDE允许唯一解。

此外，该解满足了p（t，x）为正且积分为1的性质，这是概率密度函数的要求。例如，考虑一个Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程X=（Xt）t≥0根据均值为0且方差为v的独立正态随机变量分布随机起点。也就是说，X满足随机微分方程（SDE）：dXt=κ（θ- Xt）dt+σdWt，X~ N（0，v），其中θ和κ是表示平均回复水平和速率的常数。然后，时间t处过程位置的概率密度函数p（t，x）满足PDE：tp+κ·p+κ（x- θ) · xp系统-σ· xxp=0（t，x）∈ R+×Rp（0，x）=√2πv·e-X2V由于具有固定起点的OU过程是高斯过程，使用非正态分布的随机起点相当于将条件分布过程与其（共轭）先验相结合，这意味着XT是正态分布的。在这种情况下，我们省略了p（t，x）的精确形式的推导。2.4随机最优控制和最优停止两类具有PDE特征的问题是随机最优控制和最优停止问题。在本节中，我们将简要概述这些问题，并给出一些示例。有关详细概述，请参见Touzi（2012）、Pham（2009）或Cartea等人（2015）。在随机控制问题中，控制器试图通过采取影响过程动力学的行动（选择控制措施）来最大化成功度量（称为性能标准），这取决于某个随机过程的路径。