隐含寿命曲线：市场认为你的寿命有多长

CANNEX有能力拨入保险公司的内部服务器，并提取任何预先指定的人寿年金报价，以获取各种参数，如年龄、性别、特定时期等。财务顾问、保险经纪人和财富经理利用CANNEX的服务获取当前报价（在某些情况下对保险公司具有约束力）。它们是最新人寿年金报价最广泛使用和最全面的来源。CANNEX向订阅其系统的用户收取最低的“调查”费用，这是他们产生收入的方式。在美国，年金可以通过税后（合格）基金或税前（非合格）基金购买。尽管CANNEX系统提供了两种类型的报价，但我们决定利用非合格（NQ）年报数据解决各种数据完整性和可靠性问题。请记住，NQ年金收入的一部分是免税的（本金返还），另一部分是应税的。8 MOSHE A.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER Chigodaev从保险公司的角度来看，这些报价是他们有义务提供特定（NQ）终身年金的价格。这类似于打电话给外汇交易商，询问他们在特定交货日期特定数量的特定货币上的出价或要价。CANNEX系统有效地在准确的时间对所有保险公司进行抽样，询问许多不同年金的价格。我们强调，保险公司有义务在几天内对这些报价负责，这不仅仅是一个假设性的查询。在数据生成过程的第二阶段，CANNEX将每周向QWeMA集团（一家软件公司）发送一份包含多个年龄/担保报价的数据文件，QWeMA集团将检查并验证内部一致性，然后将其存储在（大型）数据库中。

该数据库现在包含200多万个报价。QWeMA集团根据这些报价的平均值构建了各种年金价格指数。该公司为研究人员提供了总结和各种时间序列。最后，我们（作者）从QWeMA小组获得了从2004年9月15日开始的478周的每周数据（包括缺少数据的9周）。该数据包括7个年龄段（50-80岁）、6个担保期（0-25岁）和2个性别的平均年金报价（各公司平均，删减最高和最低）。从今以后，我们将此称为CANNEX QWeMA数据集，感谢公司员工对本研究的帮助。5、结果分析所引用的年金提供每月付款，这与连续付款非常接近，如（3）所示。对于在第z周发布的报价，我们假设定价基于aspot利率Rzan和Go-mpertz-Makeham（G M）参数的选择，如所示不等式（2），我们将其标记为λ、b（z）和M（z）。如附录所述，我们假设B（z）和m（z）在z中是线性的，因此总共有五个GM参数。我们将结果方程的修改/增强版本倒置，并求解各种即期汇率和GM参数，从而得出每周的ISP和ILE。笔记最近，QWeMA被CANNEXTHE暗示寿命曲线9收购。我们强调，我们暗示的是年金报价中的每周即期利率。理论上，我们可以在市场上观察到这些情况，例如美国国债曲线或公司债券曲线。但事实上，目前尚不清楚应在年金的背景下使用哪一条特定的外源性spot曲线（而且，由于我们的数据是平均的超限值，这可能以不同的方式设定点鼠e，因此似乎没有任何外源性曲线是完全“正确的”）。

为了与本文的方法保持一致，我们让市场价格“告诉”我们有关参数的信息，我们也对即期汇率这样做。见图（1）。我们需要解决的最后一个建模项目是利率的期限结构如何影响年金定价方程。换句话说，我们需要具体说明年金提供者对未来利率演变的假设。我们以两种不同的方式实现了这一目标；一个简单的模型和一个真实的模型。对于简单模型，weassumed提供者使用fl a t term结构，因此，一旦估计了该周的现货价格，则公式（3）适用。我们称之为FLAT模型。这是对隐含寿命变化给出某种直觉的第一步。然后，我们实现了一个更复杂的模型（我们称之为c曲线模型），在该模型中，我们假设提供者采用一种称为Cox Ingersoll-Ross（CIR）（1985）模型的函数形式。这增加了三个CIR参数（假设在10年期间保持不变），我们也从数据中暗示了这三个参数，以及暗示的寿命参数和每周短期风险值（作为潜在变量）。我们给出了这两组结果，因为这表明了结果对术语结构模型的敏感性。在技术附录中，我们提供了有关如何精确实施反演程序的更多详细信息。我们现在继续描述结果。表（1）[置于此处]总结了我们的简单（FLAT）模型下的参数。假设估值期限结构为FL时，在（简单）模型中总共有五个fr EEP参数需要估计。它们分别是λ，这是意外脱色，初始模式和尺度参数（m，b），以及它们随时间变化的速率（m，b）。表格显示其点估计值。

因此，例如，在简单（fl-at）模型中，女性的隐含生命模式值（2004年）为93岁，男性为88岁。请注意，即使是我们简单的收益率曲线模型也表明死亡率会随着时间的推移而提高。10 MOSHE A.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER CHIGODAEVTable（2）[放在这里]提供了简单（期限结构）模型中部分F统计检验的总结。F旨在测量使用改进死亡率模型时减少的误差分散度。这是对死亡率预期是否随时间而变化的测试。表达式F[p-g、 n个-k] [β]是F分布的1β百分位数。所有这一切意味着（即使在简单的模型中），我们也可以拒绝m=0，b=0的无效假设，并且t隐含死亡率随时间没有变化。实际上，这意味着，例如，从预期寿命的角度来看，2004年的65岁与2013年的65岁截然不同。在图（2）[置于此处]中，我们显示了简单（浮动期限结构）模型中收益率rz（即即期利率参数）的估计（每周）值。这些数字应解释为保险公司（合计）用于贴现现金流以定价人寿保险的汇总利率或平均利率。2004年至2013年期间，最高比率为5.5%（2008年10月左右），最低比率为2.5%（2012年下半年）。在更现实的（曲线）模型中，我们假设年金定价的基础是CIR期限结构，我们估计了三个自由利率（diffusion）参数，以及即时（即期）利率rz。这些显示在表（3）[此处放置]中。男性和女性在参数上的差异并不一定意味着一个人的比率比另一个人高。

相反，这反映了数值噪声的存在，并且该模型没有完全区分死亡率和利率参数。表（4）[放在这里]显示了曲线模型中的mo r tality参数估计值。应将这些值与表（1）所示FLAT模型中的隐含死亡率参数进行比较。请注意，一旦定价过程中包含了更现实的收益率曲线模型，男性的死亡率改善率将高于女性。这与人口统计数据一致，但也可能反映出在区分利率和死亡率方面的困难。图（3）[置于此处]显示了在所考虑的时间段内，产量曲线上不同点的隐含利息率。回想一下，在我们估算的CIR模型中，对于样本中的每一周，瞬时即期利率rz将隐含寿命曲线11与三个全局参数α、β、σ结合在一起，将形成一条完整的收益率曲线。在该图中，我们显示了1年期、10年期和30年期的利率。在某种意义上，图（2）应被视为这些数字的加权平均值。作为比较手段，图（4）[置于此处]叠加了30年期美国抵押贷款利率（基于美联储数据）和我们分析期间CIR模型隐含的30年期利率。根据与保险公司实际情况的讨论，30年期抵押贷款利率是决定年金价格的重要因素。尽管金融危机后，利差似乎有所下降，但总体上达到峰值后，它们彼此之间的跟踪情况良好。转到我们的研究结果，图（5）[放在这里]显示了将表（4）中的隐含女性死亡率替换为Gompertz Makehammodel的ISP。

图（6）[放在这里]显示了雄性的模拟结果。这些曲线告诉我们，根据CIR期限结构，市场认为一个典型的年金受益人（女性和男性）在任何给定的一周内，在SPS方面会活多久。请注意，两者都表示随着时间的推移会有长期的改进。关于更具体的数字，表（5）[放在这里]显示了他们从55岁、65岁和75岁开始，在选定日期的90岁年龄段的SPS。请注意ISP从2004年9月到2013年11月的增长。例如，2004年9月的年金价格表明，一名75岁的男性有40.1%的几率活到90岁。截至2013年11月，隐含价值已增至46。1%. 我们还报告了2020年的预计生存概率，假设当前趋势持续。根据我们的模型，到2020年，75岁的男性将有49.7%的机会活到90岁，而相同年龄的女性将有54.3%的机会活到90岁。表（6）[放在这里]重复了55、65和75岁时的相应计算。例如，2004年9月，一名75岁男性的ILE为wa 13。09年。到2013年11月，这一数字增加到14.28年，每年增加6.78周。我们将基于市场的增长率与表（7）中基于人口的增长率进行了比较，得出了大致一致的结果。人口统计数字来自人类死亡率数据库中周期生命表中死亡日期（1970-2010）的回归平均寿命，代表美国总人口（关于替代比较指标的评论，请参见附录）。12 MOSHE A.MILEVSKY，THOMAS S。

索尔兹伯里和亚历山大·奇戈代夫拉斯特（AlexanderChigodaevlast），但并非最不重要的是，表（8）[放在这里]得出了我们关于年金定价的主要结论。如果利率保持在2004年9月的水平，年金因素就会增加（而支付额也会下降），因为寿命有所改善。例如，一名65岁的男性会支付13美元。与2004年的12.73美元相比，2013年的终身收入为15美元（这比养老金贵3.3%），即使利率保持在2004年的水平。6、结论6.1。结果摘要。在过去十年中，美国的终身年金支付率逐年下降，但总体上大幅下降。例如，2008年10月底，一名65岁的男性可以获得每月680美元的终身收入（保证10年），基于10万美元的保费。截至2013年第二季度末（2013年11月中旬），相同初始保费产生的等价收入仅为550美元，按名义价值计算，产生的现金流减少了19%。不用说，按实际价值计算，下降的幅度甚至更为明显。在过去的十年里，同样的“储蓄”产生的收入减少了，而安全的退休也变得更加昂贵。对于人寿年金支付下降趋势的传统解释是，这一时期美国利息率的变动相当。在这十年中，长期利率从5%上升到高达8%到低至3%。但遗憾的是，利率期限结构只是故事的一部分。寿险赔付率下降的第二个同样重要的因素是，在同一个10年期间，年金受益人的预期寿命增加。

对长寿年金受益人的期望意味着付款必须持续更长的时间，这将导致新一代退休人员的现金流减少。这是基本的算术。非专家错误地认为，新的研究发现了对保险定价基础“死亡率表”的改变，但随后很少实施，也许只有一次：我们对55岁女性的结果感到困惑，这可能是由于数字不稳定和/或模仿年轻人的GM法则所致。正如我们在论文的数据部分所解释的，这个数字是基于美国各保险公司提供的报价的平均值。隐含寿命曲线13每隔几十年，在保险监管机构或精算师协会的推动下。本文和我们的研究表明，情况并非如此，至少与市场价格有关。我们每周都能检测到细微的变化。在方法上，我们将年金支付的每周变化分解为两个不同的组成部分：（i.）货币利率变化的时间价值，和（ii。）预期的生物或人口变化。这使我们能够确定这两个组成部分在解释年金支付下降方面的相对重要性。因此，例如，我们的方法论使我们能够得出结论，在2004年初，“市场”预期一个典型的75岁男性年金受益人可以活到8岁加1个月。到2013年底，同样的市场价格意味着89岁加3个月的预期寿命，在这十年中每年大约增加1.5个月。

此外，如果这种情况继续下去，那么预计2020年的市场价格将意味着在2020年购买终身年金的75岁男性的预期寿命将超过90年，而不管当时的利息率在哪里。表（5）和（6）（分别显示ISP和ILEs）显示了其他年龄段的相应值。消息中的ma是相同的。寿命年金的时间序列价格只是随着时间的推移预期寿命的增加。而且，虽然我们的结果取决于驱动死亡率的参数的假定线性变化，但我们完全拒绝了根本没有变化的假设。我们的论文（以及详细的技术附录）也可以被视为是对如何“让数据说话”和从年金价格的时间序列中提取长寿预期的方法或算法的贡献。同样的过程也可以应用于世界各地不同的市场和国家，以比较基于市场的长期预期，而无需依赖人口统计或精算师的数据。当然，通过调查保险公司内的定价精算师，尤其是询问他们在不断变化的死亡率表中嵌入的寿命假设，我们本可以获得同样的“人活得更长”见解，但我们相信，了解直接按市场价格得出的结论是有价值的。我们的方法和途径进一步证实了他们的独立统计和生物学预测。至少我们的研究提供了一个很好的例子，说明在解决寿命隐含因素时，如何利用CIR14 MOSHE a.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER CHIGODAEVmodel来控制潜在利率过程。值得注意的是，随着时间的推移，男性预期寿命的增长超过了女性预期寿命的增长。

换言之，年金价格告诉我们，尽管男性死亡率明显高于女性死亡率人们预计，随着时间的推移，这两种情况都将继续下降，市场表明，男性的改善将更加明显。当然，只有时间才能证明市场是否会被证明是正确的，就像冷冻果汁期货市场预测弗洛里达的天气一样。6.2. 实际影响。我们设想在养老金和退休领域，有两组从业人员可能对这些结果和方法感兴趣。首先，有一个养老金买断和买断的欠债市场，其中D B计划发起人使用批量年金和长寿保险安排减少（或冻结或转移）其负债。这些交易显然基于一定的死亡率和长期假设，保险公司精算师通常“推动”这一过程。因此，财务分析师（即非精算师）可以使用我们的方法（以及结果）作为独立来源，来暗示各种价格对寿命假设的影响。或许，这种大宗安排的隐含生存概率和预期寿命可以与市场年金价格进行比较，作为基准价格的一种方式。这项工作的第二个（或许是更多）受众是财富管理。财务顾问或财富经理必须就动态资产配置或多样化投资组合中的股票和债券组合随时间的变化向客户提供指导。随着客户接近退休，他们需要关于最佳产品配置的建议，即养老金年金工具和传统非保险解决方案的混合。