阿尔法-赫斯顿随机波动率模型

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英文标题：
《The Alpha-Heston Stochastic Volatility Model》
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作者：
Ying Jiao, Chunhua Ma, Simone Scotti and Chao Zhou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce an affine extension of the Heston model where the instantaneous variance process contains a jump part driven by $\\alpha$-stable processes with $\\alpha\\in(1,2]$. In this framework, we examine the implied volatility and its asymptotic behaviors for both asset and variance options. Furthermore, we examine the jump clustering phenomenon observed on the variance market and provide a jump cluster decomposition which allows to analyse the cluster processes.
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中文摘要：
我们引入了赫斯顿模型的仿射扩展，其中瞬时方差过程包含由$\\α$-稳定过程驱动的跳跃部分，其中$\\α$\\ in（1,2]$。在此框架中，我们研究了资产和方差期权的隐含波动率及其渐近行为。此外，我们还研究了方差市场上观察到的跳跃聚类现象，并提供了跳跃聚类分解，用于分析聚类过程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_Alpha-Heston_Stochastic_Volatility_Model.pdf (639.1 KB)

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关键词：波动率模型 波动率 阿尔法 Mathematical Quantitative

阿尔法-赫斯顿随机波动率模型*Ma Chunhua+Simone ScottiChao Zhou§2018年12月6日摘要我们引入了Heston模型的一个有效扩展，其中瞬时方差过程包含由α稳定过程驱动的跳跃部分，α∈ （1，2）.在此框架中，我们研究了资产和方差期权的隐含波动率及其渐近行为。此外，我们还研究了方差市场上观察到的跳跃聚类现象，并提供了跳跃聚类分解，用于分析聚类过程。MSC:91G99，60G51，60J85关键词：随机波动率和方差，a ffine模型，CBI过程，ImpliedVolability曲面，跳跃聚类。1引言随机波动率模型在文献中得到了广泛的研究，其中一种重要的方法是赫斯顿模型及其扩展。在标准赫斯顿模型中，内方差是平方根均值回复CIR（Cox-Ingersoll-Ross[10]）过程。一方面，与Black-Scholes框架相比，Heston模型具有在股票和外汇期权市场中产生一些程式化事实的优势。该模型提供了定价公式的分析可跟踪性，允许有效校准。另一方面，也仔细检查了赫斯顿模型的局限性。例如，即使使用非常高的波动率（vol-vol）参数，它也无法在危机期间产生极端的波动路径。此外，Feller条件在实践中经常被违反，例如Da Fonseca和Grasselli【11】，Feller条件是在赫斯顿模型中假设的，以确保波动率保持严格的正。为了提供与实证研究更一致的结果，一个自然的扩展是考虑随机波动率模型中的跳跃。

在赫斯顿框架中，贝茨[5]增加了资产动态的跳跃，而Sepp[42]包括了资产收益和方差的跳跃，两者都是*法国里昂托尼加尼尔大道50号科学金融家与保证研究所克劳德·伯纳德·里昂大学1号，邮编：69007，里昂，北京大学，BICMR，中国北京100871。英。jiao@univ-里昂1。fr+南开大学数学科学与LPMC学院，中国天津300071。mach@nankai.edu.cn巴黎迪德罗大学巴黎7号，法国巴黎苏菲日尔曼分校概率与模型实验室，75013。scotti@math.univ-巴黎狄德罗。fr§新加坡国立大学。matzc@nus.edu.sgpapers使用泊松过程。在Barndorff-Nielsen和Shephard[4]中，波动过程是一系列正的非高斯Ornstein-Uhlenbeck过程的叠加。Nicolatoet al【40】研究了瞬时方差过程中加入跳跃项的情况，该过程依赖于递增和无漂移的L'evy过程，他们分析了跳跃差异对已实现方差微笑和波动率指数期权隐含波动率的影响。更一般而言，Duffee等人[13][14]提出了资产和随机方差过程的跳跃式差异框架。赫斯顿模型还有其他扩展。格拉塞利（Grasselli）[23]将标准赫斯顿模型与所谓的3/2模型相结合，其中波动率与赫斯顿模型相反。Kallsen等人[32]考虑了股票演化包括时间变化L'evy过程的情况。在粗糙波动率模型的框架内（例如，见El Euch et al.【17】和Gatheral et al.）。

[21]），El Euch和Rosenbaum[16]提出了粗糙的Heston模型，其中布朗项被分数布朗运动所取代，他们通过分数Riccati方程提供了特征函数。本文通过在瞬时方差中加入自激跳结构，引入了Heston模型的一个扩展，称为α-Heston模型。在金融市场上，引入了英国央行波动率指数（VIX）作为标准普尔500指数市场波动性的衡量指标。从2004年开始，该指数通过波动率指数期货进行交易，其衍生品在过去十年中发展迅速。图1显示了2004年1月至2017年7月VIXindex的每日关闭值。历史数据清楚地表明，波动率可以如图1所示：2004年1月至2017年7月，芝加哥期权交易所的波动率值。2004年、2006年、2010年、2012年、2016年、201801020030405060708090有很大的变化和跳跃，特别是在危机期间，部分原因是缺乏“存储”。此外，跳跃在集群中频繁发生。我们注意到几个重大跳跃集群，第一个与2008-2010年次贷危机相关，第二个与2010-2012年希腊主权危机相关，最后一个与2016-2017年脱欧事件相关。在跳跃群之间，VIX值在正常期间下降到相对较低的水平。模拟金融集群效应的一种方法是采用霍克斯过程，其中需要指定跳跃过程及其强度。因此，不便之处在于相关随机过程的维数增加。对于波动率数据，El-Euch等人[17]强调市场是高度内生的，并证明在其框架中使用几乎不稳定的Hawkes过程是合理的。

此外，Jaissonand Rosenbaum[29]证明，经过适当的重标度后，几乎不稳定的Hawkes过程收敛到CIR过程。因此，为了描述跳跃集群，很自然地将赫斯顿框架与合适的跳跃结构相协调。与标准Heston模型相比，α-Heston模型在瞬时方差过程V=（Vt，t≥ 0). 额外参数的数量是备用的，只有主参数α决定了跳跃行为。该模型允许以简洁和连贯的方式描述集群效应。我们采用了与移民相关的连续状态分支过程（CBI过程）。根据Dawson和Li[12]中DE的一般积分特征，V可以被视为一个显著的霍克斯过程，其有限活性受到布朗噪声的影响（见Jiao等人[30]），这适合于模拟自激励跳跃特性。在该模型中，α-稳定跳跃过程是轻量级的、重尾的。参数α对应于Blumenthal-Getoor指数。因此，它能够在危机期间抓住大小波动，甚至是极端高峰。此外，跳跃定律遵循帕累托分布。经济学和金融领域的经验规律常常表明帕累托定律的形式：Liu等人[37]发现，已实现的波动率与幂律尾相匹配；最近，Avellaneda和Papanicolaou【2】表明，波动率时间序列的右尾分布可以符合帕累托定律。

我们注意到，相同的感觉条件适用于标准Heston情况，α-Heston模型更容易遵守该条件，因为具有有限活动的小跳跃行为类似于布朗运动，因此跳跃部分允许减少vol-vol参数。由于菲利波维奇[19]建立了CBI和a ffine过程之间的联系，我们的模型属于Du ffe等人[13]、[14]中的a ffine跳跃扩散模型，特征函数的一般结果适用于α-赫斯顿跳跃结构。然而，AssociatedGeneratedRiccati操作符不是解析的，这打破了从复杂分析中借用的某些参数。一个重要的观点是，虽然对于一般a fine模型建立了广义riccati算子的理论结果，但在许多显式示例中，与V的状态因变量相关的广义driccati方程是二次的。α-赫斯顿模型允许增加累积量生成器函数的灵活性，因为其广义Riccati算子包含一个补充的α-幂项。我们研究了Keller-Ressel[33]之后资产和方差过程的动量爆炸行为。我们还研究了隐含波动率曲面及其基于Lee的无模型结果的渐近行为[34]。对于资产期权，我们证明了波动率smileat极端打击的翅膀行为是最尖锐的。对于方差期权，我们首先估计方差过程尾部概率的渐近性。α-赫斯顿模型最有趣的特征之一是，通过使用Li和Ma[36]中的CBI特征，我们可以彻底分析跳跃集群效应。

受Duquesne和Labbe【15】的启发，我们为方差过程V提供了一个分解公式，其中包含一个基本部分和一系列跳跃集群过程。这种分解意味着一种分支结构，即每个集群过程都是由“母跳”引起的，然后是“子跳”。母亲的跳跃代表着市场上的一种触发性冲击，通常是由外部消息驱动的，而孩子的跳跃可能反映出某种传染效应。然后，我们研究了相关的属性，如一个簇的持续时间和在给定时间段内发生的簇的数量。我们对主要参数α所起的作用特别感兴趣。论文的其余部分组织如下。我们在第2节中介绍了模型框架。第3节专门讨论模型的特性和相关特性。第四章，我们研究了资产和方差期权的渐近隐含波动率行为。第5节讨论跳跃簇的分析。我们通过在附录中提供标题来结束本文。2模型frameworkLet us fix a概率空间(Ohm, A、 Q）配备过滤器F=（Ft）t≥0满足正常条件。我们首先通过使用随机领域SDE的广义综合表示，提出了一系列随机波动率模型。

考虑资产价格过程S=（St，t≥0）给定bydStSt=rdt+ZVtB（dt，du），S>0（1），其中r∈ R+是恒定利率，B（ds，du）是R+上的白噪声，强度为dsdu，过程V=（Vt，t≥ 0）由VT=V+Zta（b）给出- Vs）ds+σZtZVsW（ds，du）+σNZtZVs-ZR+ζeN（ds，du，dζ）（2）式中a，b，σ，σN∈ R+，W（ds，du）是R+上与B（ds，du）相关的白噪声，使得B（ds，du）=ρW（ds，du）+p1- ρW（ds，du），其中W（ds，du）为独立白噪声，ρ∈ (-1，1），eN（ds，du，dζ）是R+上的独立补偿泊松随机测度，强度dsduν（dζ），其中ν（dζ）是R+上的L'evy测度，满足R∞(ζ ∧ζ） ν（dζ）<∞. 测度Q表示风险中性概率测度。我们将在第3.1节中更详细地讨论概率的变化。上述方差过程V是一个CBI过程（c.f.Dawson和Li[12，Theorem3.1]），其分支机制由ψ（q）=aq+σq+Z给出∞（e）-qσNζ- 1+qσNζ）ν（dζ）（3）和移民率Φ（q）=abq。[12]和[36]证明了（2）强解的存在唯一性。从财务角度来看，菲利波维奇（Filipovi\'c）[19]展示了CBI过程如何自然进入短期结构建模领域。

积分表示法提供了一系列过程，其中（2）中的积分间隔取决于过程本身的值，这意味着跳变发生时，跳变频率将增加，这与自激特性相对应。我们特别感兴趣的是以下模型，称为α-赫斯顿模型，dStSt=rdt+pVtdBt（4）dVt=a（b- Vt）dt+σpVtdWt+σNαpVt-dZt（5），其中B=（Bt，t≥ 0）和W=（Wt，t≥ 0）是相关的布朗运动d hB，W it=ρdt，Z=（Zt，t≥ 0）是具有参数α的独立谱正补偿α稳定L'evy过程∈ （1，2）的拉普拉斯变换，对于任何q≥ 0，再见e-qZt公司= 经验值-tqαcos（πα/2）.方程（5）对应于L'evy度量να（dζ）=-{ζ>0}dζcos（πα/2）Γ(-α)ζ1+α, 1 < α < 2. （6） 在（2）中。然后，这两个SDE系统的解承认相同的概率定律，并且在[35]所扩展的概率空间中几乎肯定相等。α-赫斯顿模型是标准赫斯顿模型的扩展，其中方差过程的跳跃部分取决于α-平方根跳跃过程。特别是，我们将（5）中定义的过程称为α-CIR（a，b，σ，σN，α）过程，Fu和Li中建立了强解的存在性和唯一性[20]。在这种情况下，通过（3）和（6），方差V具有明确的分支机制ψα（q）=aq+σq-σαNcos（πα/2）qα。（7） 与标准Heston模型相比，参数α表征了瞬时方差过程V的跳跃行为和尾部肥满度。当α接近1时，V更可能有大的跳跃，但由于深度负性补偿，大跳跃之间的值往往很小（c.f.[30]）。当α接近2时，大跳跃会减少，但小跳跃会更频繁。

在α=2的情况下，过程Z简化为一个独立的布朗运动，其标度为√2，模型简化为标准赫斯顿模型。Feller条件，即不等式2ab≥ σ、 通常在赫斯顿模型中假设，以确保过程V的积极性。在α-赫斯顿模型中，同样的条件仍然有效。更准确地说，对于任何α∈ （1，2），点0是（4）的不可访问边界当且仅当2ab≥ 任意σN的σ≥ 0（c.f.[30，提案3.4]）。从财务角度来看，这意味着跳跃对波动率到达原点的可能性没有影响，这可以通过以下事实来解释：只添加了正跳跃，并且它们的补偿器与过程本身成比例。当α=2时，伐木条件变为2ab≥ σ+2σNsince Z变为标度布朗运动。实证研究表明（参见Da Fonseca和Grasselli【11】、Graselli【23】），在实践中，由于在对股票市场数据进行校准时，需要高vol vol来再现较大的变化，因此违反了伐木条件。这一点通常被视为赫斯顿模型的一个缺点。在α-赫斯顿模型中，vol-vol参数的一部分被跳跃部分捕获。事实上，正如Asmussen和Rosinski[3]所示，L'evy过程的小跳跃可以用图2：方差过程V的模拟来近似。0 2 4 6 8 10 12 14 T00.10.20.30.40.50.60.70.8VT布朗运动，因此方差过程的有限活动引起的小跳跃产生类似于布朗运动的行为。这允许减少布朗部分的机械贡献，从而减少vol-vol参数。