阿尔法-赫斯顿随机波动率模型

因此，我们的模型更可能保持Feller条件和挥发过程的正性。图2模拟了（5）中定义的T=14期间的方差过程V，并与图1中的经验波动率数据（2004年至2017年）进行了比较。参数选择为a=5、b=0.14、σ=0.08、σZ=1和α=1.26。根据2004年1月2日的波动率数据，初始值固定为V=0.03。请注意，伐木条件在很大程度上满足上述参数选择，图2中的V值始终为正值。我们还观察到跳跃的集群现象，特别是一些集中在短时间内的大跳跃。同时，方差过程V的值在跳跃之间保持在相对较低的水平，这与危机之间的正常周期相对应，类似地，如图1.3中的经验数据所示。在本节中，我们给出了对数价格的联合拉普拉斯变换，根据Du ffe et al.（13，14）和Keller Ressel（33），方差及其积分过程。我们首先讨论历史定价概率测度和风险中性定价概率测度之间的概率变化。Weshall还将其与文献中的其他几种模型进行比较。3.1概率度量的变化我们假设模型动力学（1）、（2）和（4）是在风险中性概率Q下指定的。然而，重要的是要与P通常指出的物理或历史的动力学建立联系，以保持描述市场的过程演变的可跟踪形式。等效历史概率的构造基于Kallsen等人[31]中的Esscher类型转换，这是Heston[27]提出的类别的自然扩展。

下一个结果表明，回火Heston型模型的一般类别在概率变化下更接近，并且是对[30，命题4.1]的轻微修改。命题3.1假设（S，V）与（1）和（2）中的概率测度Q相同，并假设过滤F由随机场（W，W）和（n）生成。固定（η，η）∈ Randθ∈ R+，和定义：=ηZtZVsW（ds，du）+ηZtZVsW（ds，du）+ZtZVs-Z∞（e）-θζ- 1） eN（ds，du，dζ）。然后Dol’eans Dade指数E（U）是鞅，概率测度P由dpdq定义Ft=E（U）t，等于Q。此外，在P下，（S，V）满足（1）和（2），参数σP=σ，σPN=σN，aP=a- ση -ασNcos（πα/2）θα-1，bP=ab/aP，L'evy度量νPα（dζ）=-{ζ>0}e-θζcos（πα/2）Γ(-α） ζ1+αdζ。P下的模型仍属于α-赫斯顿模型的CBI类，具有相似的行为。注意，参数η、η和θ的选择应确保aP∈ R+。作为上述命题的直接结果，P下价格过程的回报率变为uPt=r- 及物动词ρη+p1- ρη.风险溢价由λS（t）给出：=uPt- r=-ρη+p1- ρηVtλV（t）：=（aP- a） Vt=-ση+ασNcos（πα/2）θα-1.Vt.当η<0时，风险溢价λVis与波动过程V正相关。风险溢价与波动率之间的正相关关系可以解释[6]中详述的波动率微笑中强烈向上倾斜的现象。3.2联合特征函数在赫斯顿模型中，众所周知，特征函数对衍生品定价和模型校准起着至关重要的作用。现在，我们提供了三元组的联合拉普拉斯变换：原木价格、方差及其综合过程。以下结果是[13]和[33]的直接结果，其证明推迟到附录中。命题3.2让Yt=对数St。

对于任何ξ=（ξ，ξ，ξ）∈ iR×C-,进出口商品ξYt+ξVt+ξZtVsdsi=经验值ξY+ψ（t，ξ）V+φ（t，ξ）（8） 其中φ和ψ求解广义Riccati方程tφ（t，ξ）=F（ξ，ψ（t，ξ），ξ），φ（0，ξ）=0；(9)tψ（t，ξ）=R（ξ，ψ（t，ξ），ξ），ψ（0，ξ）=ξ。（10） 此外，函数F和R:iR×C-→ R定义为f（ξ，ξ，ξ）=Rξ+abξ，（11）R（ξ，ξ，ξ）=（ξ- ξ) + ρσξξ+σξ- aξ-σαNcos（πα/2）(-ξ)α+ ξ. （12） 为了将α-赫斯顿模型与文献中的其他模型进行比较，我们在本文的剩余部分考虑了通常情况，如[13]和[33]，其中省略了第三个值ξ，且r=0。回想一下，在标准Heston模型中，广义Riccati算子由fh（ξ，ξ）=abξ和RH（ξ，ξ）=（ξ）给出- ξ) + ρσξξ+σξ- aξ。（13） 根据命题3.2，α-赫斯顿模型包含f（ξ，ξ）=FH（ξ，ξ），R（ξ，ξ）=RH（ξ，ξ）-σαNcos（πα/2）(-ξ)α. （14） 请注意，（14）中的函数R不是解析函数，仅对ξ进行了很好的定义≤ 0.差值R（ξ，ξ）- RH（ξ，ξ）为正，因为α的cos（πα/2）<0∈ （1，2）.如[33]所述，F表示（S，V）的状态无关动态，而R表示状态相关动态。为了突出（10）中函数ψ的优先性，我们将R称为主要的广义Riccati算子。我们强调的要点是，文献中讨论的许多模型都承认R的形式相似。在Barndorff-Nielsen和Shephard[4]中，R是Heston one的一个特例，即σ=0，他们模型的主要创新在于以一种有趣的方式扩展了辅助运算符F。贝茨（Bates）[5]中的模型具有更一般的广义Riccati算子R，但新术语仅取决于股票S的拉普拉斯系数。因此，贝茨（Bates）[5]中的方差过程遵循CIR差异，因此与赫斯顿模型相比，波动率和方差期权没有差异。Nicolato等人的随机波动率跳跃模型。

【40】，示例共享赫斯顿模型的相同Riccati运算符。因此，方差过程的拉普拉斯变换对于a ffne函数具有某种形式。因此，正如【40】（另见【39】）所述，“跳跃分布的特定选择对基波的定性行为和隐含波动率面的期限结构有轻微影响”，这并不奇怪，由于模型的塑性仅限于辅助函数φ（t，ξ）的形式，它与累积量母函数的初始方差水平无关。由于主要广义Riccati算子R中出现了补充的α-幂项，我们的模型表现出不同的行为，这增加了累积量生成函数中方差ψ（t，ξ）的系数的灵活性。原因在于，新的跳跃部分取决于方差本身，从而导致（12）中的非线性依赖关系。换句话说，跳跃项的自激性质引入了一种完全不同的累积生成函数形状。4渐近行为和隐含波动率在本节中，我们重点讨论资产和方差期权的隐含波动率曲面，特别是它们在小的或大的冲击下的渐近行为。我们遵循Lee（34）的开创性论文中的无模型结果，旨在获得特定α-赫斯顿模型的一些结果。我们还提供了瞬间爆炸条件。4.1资产期权我们首先提供了[33]关于广义Riccati算子R的以下结果，并给出了资产价格S的矩爆炸条件。命题4.1我们假设a>σρ。

定义w（ξ），使R（ξ，w（ξ））=0和T*（u） ：=sup{T:E[SuT]<∞}（1） w（ξ）以[0，1]为最大支撑。(2) ξ∈ [0，1]我们有限制→∞φ（t，ξ，w）=w（ξ）。(3) ξ∈ [0，1]我们有*(ξ) = ∞ 和ξ/∈ [0，1]我们有*(ξ) = 0.证明：耦合（Yt，Vt）是一个以（14）和F（u，w）：=abw为特征的有效过程。注意F（0，0）=R（0，0）=R（1，0）=0和χ（q）：=R（q，q）qq=0=ρσq- a<∞. 那么byKeller-Ressel[33，推论2.7]我们有E[ST]<∞ 对于任何T>0。还要注意，χ（0）<0和χ（1）<0表示a>0，ρ<0和σ>0。从[33，引理3.2]可以看出，存在一个最大区间I和一个唯一函数w∈ C（一）∩ C（一）o) 使得R（q，w（q））=0表示所有q∈ I，w（0）=w（1）=0。自0=sup{q≥ 0:R（q，q）<∞}, 如果q<0且q<0，R（q，q）>0，且R（q，0）=q（q- 1） ，我们立即得到I=[0，1]。然后集合{q∈ I:F（q，w（q））<∞} 与[0，1]重合。根据【33，定理3.2】，我们得到了E【SqT】=∞ 对于任何q∈ R \\[0，1]。推论4.2上述命题暗示，对于任何T>0，我们有sup{p>0:E[SpT]<∞} = 1和sup{p>0:E[S-pT]<∞} = 换言之，矩母函数E的最大域[eq log ST]为[0，1]。设∑S（T，k）为到期日为T且行使k=ek的资产价格S上的看涨期权的隐含波动率。然后，结合Lee[34]的无模型结果，即矩公式，它得出了极值条件下隐含波动率的渐近行为由Lim supk给出→±∞∑S（T，k）| k |=T，（15），这意味着资产期权的隐含波动率的翼行为是[34，定理3.2和3.4]中最尖锐的。在本小节的下文中，我们研究了S的概率尾，该概率尾允许用（15）中资产期权左翼的通常限制替换“lim sup”。

下一个technicallemma（其证明推迟到附录中）表明，V的极值行为主要是由于驱动过程Z的一个大跳跃。引理4.3固定T>0，并考虑（4）定义的方差过程V。然后在B（\'D[0，T]）上存在一个非零有界有限测度δ，δ（\'D[0，T]\\D[0，T]）=0，这样，asu→ ∞,uαP（V/u∈ ·)体重-→ B（(R)D（[0，T]），（16）上的δ（·），其中δ由δ（·）=σαNZT给出b（1- e-as）+xe-像Z∞呃重量：=e-a（t-s） y1【s，T】（T）∈ ·iνα（dy）ds，να由（6）定义。我们参考Hult和Lindskog【28，第312页】对“D[0，T]和模糊收敛bw”的定义-→.命题4.4修正t>0。对于任何x≥ 0，我们有那个px(-日志St>u）~ -σN2aαια（t）αcos（πα/2）Γ(-α） u型-α、 u型→ +∞, （17） 式中：ια（t）=e-αatZt（b（1- e-as）+xe-as）（吃- eas）αds。证明：我们通过（4）得出，log St=log s+Zt（r-Vs）ds+ZTPVSDB。（18） 对于任何t>0，考虑rtvsd的概率尾的渐近行为，即Px（RtVsds>x）。引理4.3，作为u→ +∞,uαP（V/u∈ ·)体重-→ δ（·）在B（\'D[0，t]）上，定义函数h：\'D[0，t]-→ R+乘以h（w）=RTWSD。设Disc（h）为h的不连续集。通过h的定义（16），很容易看出δ（Disc（h））=0。从[28，定理2.1]可以看出→ +∞,uαPx2uZtVsds∈ ·v-→ δ o h类-B（R+）上的1（·）和δo h类-1（·）=σαNZtE[Vs]Z∞{yRtse-a（ζ-s） dζ∈· }να（dy）ds。因此我们得到了thatPxZtVsds>u~ -σN2aαια（t）αcos（πα/2）Γ(-α） u型-α、 u型→ +∞.此外，我们注意到ZtpVsdBsi=ZtEx[Vs]ds<∞.鉴于（18），我们有那个px(-日志St>u）~ 二甲苯ZtVsds>u, u→ +∞.推论4.5设∑S（T，k）为到期日为T，行权k=ek的股票价格上所写期权的隐含波动率。则∑S（T，k）的左翼具有以下渐近形状，即k→ -∞:√T∑S（T，k）√=r-k+α对数(-k）-日志日志(-k）-rα对数(-k）-日志日志(-k） +O（（日志(-k） （）-1/2). （19） 证明：在不丧失一般性的情况下，我们假设k<0。

请注意，看跌期权价格可以写成asP（ek）：=E[（ek- ST）+]=Z∞-kPx公司(-日志ST>u）e-udu。根据命题4.4，不难看出P（ek）~ -σN2aαια（t）αcos（πα/2）Γ(-α） ekk公司-α、 k级→ -∞.然后（19）遵循上述渐近等式和[25，定理3.7]。图3显示了资产期权的隐含波动率曲线。我们使用具有10条轨迹的蒙特卡罗方法，参数V=0.0332、a=5、b=0.144、σ=0.08和σN=1与Nicolato等人的一致。[40]4.2方差选项我们现在考虑波动性和方差选项，已经开发了大量不断增长的文献（例如参见[22]、[40]和[42]）。特别是，关于波动率指数期权向上倾斜的隐含波动率偏斜，在[42]和[40]中有强调。接下来，我们推导了V的尾部概率的渐近行为，这意味着V的矩爆炸条件和方差期权的极端行为。我们首先给出两个技术问题。图3：资产期权的隐含波动率引理4.6设X为正随机变量。（i） （Karamata-Tauberian定理[7，定理1.7.1]），对于常数C>0，β>0和低变函数（at-in-finity）L，E[E-λX]~ Cλ-βL（λ），asλ→ ∞,当且仅当ifP（X≤ u）~CΓ（1+β）uβL（1/u），单位为u→ 0+.（ii）（德布鲁因的陶伯里定理[8，定理4]）设0≤ β ≤ 1是一个常数，L是一个微小变化的函数，L*是L的共轭慢变函数。然后是对数E[E-λX]~ -λβ/L（λ）1-β为λ→ ∞,当且仅当iflog P（X≤ u）~ -(1 - β)ββ/(1-β） u型-β/(1-β） L*（u）-1/(1-β） ）作为u→ 0+.引理4.7对于任何0<β<α，存在一个局部有界函数C（·）≥ 0，因此对于任何T≥ 0，Exhsup0≤t型≤TVβti≤ C（T）（1+xβ）。命题4.8（Vt的概率尾）修正t>0。

对于任何x≥ 0，我们有那个px（Vt>u）~ -σαNαΓ(-α） cos（πα/2）qα（t）+pα（t）xu-α、 作为u→ ∞, （20） 式中，pα（t）=a（α- 1)e-在- e-αat, qα（t）=bαa（1- e-αat）- pα（t）.此外，（i）如果σ>0，则px（Vt≤ u）~ u2ab/σ′v2ab/σtΓ（1+2ab/σ）exp- x'vt- abZ公司∞(R)vtzψα（z）-σzdz公司, 作为u→ 0，（21），其中“vt”是ODEddt的最小解“vt=-ψα（(R)vt），t>0，（22），具有奇异初始条件Pv0+=∞;（ii）如果σ=0，则记录Px（Vt≤ u）~ -α - 12- α-ab cos公司παα-1σ-αα-1Nu-2.-αα-1，作为u→ 证明：我们通过（4）得出vt=e-亚视+中兴通讯-a（t-s） ds+σ中兴通讯-a（t-s） pVsdBs+σNZte-a（t-s） V1/αs-dZs。（24）注意，Ex[Vt]=e-atx+b（1- e-位于）。通过马尔可夫不等式，Px中兴通讯-a（t-s） PVSDB> u≤ u-2ExhZte公司-2a（t-s） Vsdsi≤xa+btu-2.（25）引理4.7得出E[sup0≤t型≤T（α√Vt）α+δ]<∞ 对于0<δ<α（α-1). 然后通过Hultand Lindskog【28，定理3.4】，我们得到→ ∞,二甲苯σNZte-a（t-s） V1/αs-dZs>u~ να（u，∞)σαNZte-αa（t-s） Ex[Vs]ds~ -σαNαcos（πα/2）Γ(-α)qα（t）+pα（t）xu-α. （26）鉴于（24）、（25）和（26），VTI的极值行为由（24）右侧的第四项确定。那么我们有，作为u→ ∞,Px（Vt>u）~ 二甲苯σNZte-a（t-s） V1/αs-dZs>u,给出（20）。另一方面，根据命题3.2，我们有-λVti=exp- xvt（λ）- abZtvs（λ）ds,其中，vt（λ）是以下ODE的唯一解：vt（λ）t=-ψα（vt（λ）），v（λ）=λ。（27）从[35，定理3.5，3.8，推论3.11]中可以看出=↑ limλ→∞vt（λ）存在于（0，∞)对于所有t>0，vt是奇异初值问题（22）的最小解。首先考虑σ>0的情况。通过（27），Ztvs（λ）ds=Zλvt（λ）uψα（u）du=Zλvt（λ）σudu+Zλvt（λ）uψα（u）-σudu，λ>0，t>0。注意σu-uψα（u）=O（u-(3-α） ）作为u→ ∞ 因此0<R∞(R)vtσu-uψα（u）du<∞.

一个简单的计算表明-λVti~ (R)v2ab/σtλ-2ab/σexp-x'vt- abZ公司∞(R)vtuψα（u）-σu杜邦, λ → Karamata-Tauberian定理（见引理4.6（i））给出（21）。现在我们来看看σ=0的情况。用σ=-σαNcos（πα/2）。回想一下“vt”=↑limλ→∞vt（λ）∈ (0, ∞), 这是σ=0的奇异初值问题（22）的最小解。仍按（27），日志Exhe-λVti=-xvt（λ）- abZλvt（λ）a+σλα-1件~abα- 2λa+σλα-1.~abσ（α- 2)λ2-α.然后，de Bruijn的Tauberian定理（见引理4.6（ii））给出了（23）。推论4.9作为命题4.8的结果，对于任何α∈ （1，2），{p∈ R:E【Vpt】<∞} =-2abσ，α（28）根据惯例2ab/σ=+∞ 如果σ=0。证明：通过分部积分，我们得到，对于p>0，E[Vpt]=- 利木→∞upP（Vt>u）+pZ∞向上的-1P（Vt>u）du。根据命题4.8，P（Vt>u）~ C（t）u-α为u→ ∞ 对于某些函数C（t）。然后我们得到[Vpt]<∞ 对于0≤ p<α，E[Vpt]=∞ 对于p≥ α. 同样，我们考虑E[（1/Vt）p]和haveP（1/Vt>u）~ D（t）u-2ab/σ为u→ ∞. 然后我们得到E[（1/Vt）p]<∞ 对于0≤ p<2ab/σ和E[（1/Vt）p]=∞ 如果p≥ 2ab/σ。推论4.10设∑V（T，k）为在方差过程V上书写的看涨期权的隐含波动率，到期日为T，行使k=ekand，且Letψ（q）=2-4（pq+q-q） 。那么∑V（T，k）的右翼具有以下渐近形状：∑V（T，k）~ψ（α）T1/2√k、 k级→ +∞ （29）左翼满足（i）如果σ>0，则∑V（T，k）~ψ（2abσ）T1/2√-k、 k级→ -∞; （30）（ii）如果σ=0，则∑V（T，k）~√2吨(-k）logekP（ek）1/2，k→ -∞. （31）式中，P（ek）=E[（ek- VT）+]。证明：结合（20）和[40，命题2.2-（a）]，我们直接得到（29）。同样，（21）和[40，命题2.4-（a）]导致（30）。在σ=0的情况下，（23）意味着sup{p>0:E[V-pt]<∞} = ∞. 那么（31）来自【40，定理2.3-（iii）】。推论4.10给出了方差期权隐含波动率的显式行为，其极端冲击远离货币性。

我们注意到，右翼只取决于参数α，它是跳跃项的特征参数。当α减小时，尾巴变重，（29）中的斜率增大。相比之下，左翼取决于属于具有布朗扩散的纯CIR部分的参数，并且（30）中的解释系数2ab/σ与Feller条件有关。当布朗项消失时，即σ=0，则方差波动率曲面的左翼行为出现不连续性。5跳跃簇行为在这一部分中，我们通过给出方差过程V的分解公式来研究跳跃簇现象，并分析簇过程的一些性质。5.1方差过程的聚类分解让我们确定跳跃阈值y=σZy，并用{τn}n表示≥Vwhose大小的跳跃时间序列大于y。我们称{τn}n≥1大跳跃。通过分离大跳跃和小跳跃，方差过程（2）可以写成vt=V+Ztab-σNΘ（α，y）Vsa- Vs公司ds+σZtZVsW（ds，du）+σNZtZVs-ZyζeN（ds，du，dζ）++σNZtZVs-Z∞yζN（ds，du，dζ）（32），其中Θ（α，y）=Z∞yζνα（dζ）=παΓ（α- 1） 罪恶παy1级-α. （33）我们用ea（α，y）=a+σNΘ（α，y）和b（α，y）=aba+σNΘ（α，y）表示。然后在两次大跳跃之间，也就是说，对于任何t∈ [τn，τn+1），我们有vt=Vτn+Ztτnea（α，y）eb（α，y）- Vs公司ds+σZtτnZVsW（ds，du）+σNZtτnZVs-ZyζeN（ds，du，dζ）。（34）表达式（34）表明，两个大跳跃之间出现两种现象。首先，平均长期b级下降。这种影响是标准的，因为平均水平b（α，y）变得更低，以补偿大跳跃，从而保持全球平均水平b。其次，更令人惊讶的是，平均回复速度a增加了。也就是说，波动性在两次跳跃之间衰减得更快。