基于信息熵的市场效率量化

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英文标题：
《Quantification of market efficiency based on informational-entropy》
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作者：
Roland Rothenstein
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Since the 1960s, the question whether markets are efficient or not is controversially discussed. One reason for the difficulty to overcome the controversy is the lack of a universal, but also precise, quantitative definition of efficiency that is able to graduate between different states of efficiency. The main purpose of this article is to fill this gap by developing a measure for the efficiency of markets that fulfill all the stated requirements. It is shown that the new definition of efficiency, based on informational-entropy, is equivalent to the two most used definitions of efficiency from Fama and Jensen. The new measure therefore enables steps to settle the dispute over the state of efficiency in markets. Moreover, it is shown that inefficiency in a market can either arise from the possibility to use information to predict an event with higher than chance level, or can emerge from wrong pricing/ quotes that do not reflect the right probabilities of possible events. Finally, the calculation of efficiency is demonstrated on a simple game (of coin tossing), to show how one could exactly quantify the efficiency in any market-like system, if all probabilities are known.
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中文摘要：
自20世纪60年代以来，市场是否有效的问题一直备受争议。难以克服争议的一个原因是，缺乏一个通用的、但又精确的、定量的效率定义，该定义能够在不同的效率状态之间进行分级。本文的主要目的是通过制定满足所有规定要求的市场效率衡量标准来填补这一空白。结果表明，基于信息熵的效率新定义与Fama和Jensen两个最常用的效率定义是等价的。因此，新措施可以采取措施解决市场效率状况的争议。此外，研究表明，市场中的低效率可能源于使用信息预测高于机会水平的事件的可能性，也可能源于错误的定价/报价，这些定价/报价不能反映可能事件的正确概率。最后，在一个简单的游戏（抛硬币）上演示了效率的计算，以说明如果所有概率都已知，如何准确量化任何类似市场的系统中的效率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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关键词：市场效率 信息熵 Quantitative Contribution Inefficiency

基于信息熵的市场效率量化**+ + Nordeutsche Landesbank，D-30159汉诺威¨Fachhochschule f¨ur die Wirtschaft汉诺威，D-30173汉诺威2018年12月7日摘要自20世纪60年代以来，市场是否有效的问题一直在争论中。难以克服争议的一个原因是缺乏一个通用但又精确的定量效率定义，该定义能够在不同的效率状态之间毕业。本文的主要目的是通过制定满足所有州要求的市场效率衡量标准来填补这一差距。研究表明，基于信息熵的效率新定义相当于Fama和Jensen两个最常用的效率定义。因此，这项新措施使人们能够采取步骤解决市场效率状况的争议。此外，研究表明，市场的效率可能来自使用信息预测高于机会水平的事件的可能性，也可能来自错误的定价/报价，这些定价/报价不能反映可能事件的正确概率。最后，效率的计算是在一个简单的游戏（抛硬币）上演示的，以显示如果所有概率都已知，如何准确地量化任何类似市场的系统中的效率。关键词：市场效率、信息理论、经济物理学、资本市场信息、市场预测、博弈论1介绍市场是我们日常生活的重要组成部分。市场（如超市、劳动力市场或股票市场）几乎影响着人类互动的各个方面。因此，对其性质进行了广泛的研究。关于市场（尤其是股票市场）最有趣的说法之一是，市场是有效的。

因此，所谓的“有效市场假说”（EMH）已成为一个非常强大且影响深远的概念。例如，它是期权定价理论的概念基础（见例[6]），支持了交易所买卖基金的发明（见例[18]）。因此*电子邮件：roland@rothenstein.orgNobel委员会对Fama、Hansen和Shiller在有效市场假说方面所做的工作表示认可，2013年诺贝尔奖授予了他们“对资产价格的实证分析”。然而，诺贝尔委员会令人惊讶的决定是，向EMH的支持者（Fama）和怀疑者（Shiller）承认价格，这表明，尽管自1960年以来，这一领域已经开展了大量工作[5]，但市场是否有效的问题仍未解决。一方面，有人认为市场是整体有效的（参见[14，31，30]），但另一方面，有人认为效率并不能很好地描述市场行为（参见[44，42]）。本文的主要目的是通过开发一种效率度量方法来克服两种市场效率立场之间的差异，如Instanc e Lo requestedit[27]。这样一种效率衡量标准带来了一种新的看待和分析市场的方式。它将焦点从“市场效率如何？”对于“市场的效率如何？”它能够检验效率的来源，并可能导致机制，使市场更加有效。市场困难仍然是一个未解决问题的原因在于与该问题相关的各种困难。

讨论中的一个难点是，效率和效率的论题都得到了广泛不同的实证结果的支持。效率的倡导者研究了基金经理的绩效，研究了价格时间序列的随机结构或每一个形成的事件研究。其中一位是阿尔弗雷德·考尔斯。他分析说，基金经理的业绩表明了市场的效率。Jensen【23】、Treynor【46】和Sharpe【39】的研究进一步支持了这一观点。Fama（基于萨缪尔森（Samuelson）[37]的基本工作）在市场效率的背景下考察了价格时间序列的随机结构[12]。此外，事件研究[16，3]从经验上支持EMH。但是，市场失灵的理论也得到了实证研究的支持。希勒（Shiller）[41]将市场的波动性与基础信息的波动性进行了比较，并对市场代表未来股息结构信息的能力进行了测试（另见[26]），这些研究表明，市场并不全面有效。进一步的研究表明，市场在检查季节性影响[2]、反应过度/反应不足[11]或盈利异常方面的效率低下，这可能会导致价值效应[17]、规模异常[4、9]或技术阅读中的学习异常[1]。这种对有效市场假说的验证或错误的关注表明，当前的讨论主要集中在论文的二元性上。论文的二元性意味着有效市场假说是建立在市场有效或无效的两种极端陈述之间的。

尽管如此，大多数研究人员都知道两者都不是，但仍然很难找到一个合适的描述介于两者之间的状态。本文将表明，通过推导一种方法来衡量所有三位获奖者从理论基础到市场信息动态分析的不同方面探索了效率，从而克服了关于效率市场假说的最基本的讨论【12、14、41、42、22、21】。Mandelbrot在2004年早些时候也对pri-ce时间序列的随机结构进行了独立研究，他描述了一种克服这一问题的方法，但他在描述中逐渐保持了定性。这样，描述的重点就从定性定义转变为定量定义。克服讨论中的差异的关键是确定一个通用的数学精确定义。另一个困难是基于拟议的效率定义。目前，还没有唯一的、普遍接受的效率定义。相反，过去提出了不同的定义。Fama发表了第一篇关于中国效率的文章【12】。在他的工作中，他总结了不同的效率研究方法，并提到了股票对效率的真正价值（更多详细讨论请参见第2.2节）在下文中，更多关于效率的经验性工作（如前一段所述）导致了对效率的更详细的看法，以及Fama的另一种定义，该定义更侧重于信息[13]。几年后，Jensen【24】强调了自己定义的一个不同方面，他引入了不可能获得与效率相关的利润（见第2.3节）。

2004年，Timmermann和Granger从信息成本、搜索技术和预测模型等方面扩展了这一定义，这将效率讨论的重点转向了更实际的方面[45]。但这种扩展与Jensen的定义保持相同的概念基础。因此，本文不作进一步考虑。其他针对特定目的定义的效率定义，例如在少数群体游戏[8]中，效率设置为波动率的最小值。尽管这些定义对效率的含义给出了很好的直觉，但它们无法将主题的精确性与普遍性结合起来。这两种定义都是通用的，但缺乏数学精度和可管理性，如Fama对效率的第一个定义（见第2.1节），主要是定性的[12]。因此，降低了在具体案例中使用它的能力。或者，这个定义有详细的数学描述，但缺乏普遍性，就像少数派游戏中的Challet效率定义一样[8]。在这种情况下，只有在特殊的市场假设下才能显示效率。这导致了一种情况，即当市场被称为效率时，它是不明确的。本文通过找到一个通用的、数学上精确的定义来解决这个问题。此外，我通过理论分析表明，效率可以由两种不同的机制引起。本文的结构如下：在下一节中，我描述了效率概念的现状。在第3节中，我将介绍我的新效率定义，其中涵盖了现有定义的主要思想（将在第4节中显示）。为了推导新的度量，我考虑了C.Shannon[38]和C.L.Kelly[25]的发展信息理论。

香农首先在信号传输的背景下引入了信息熵的概念。Kelly将该框架应用到博弈论环境中，得出了一个博弈的最优下注策略。我使用这个框架来发展我对市场效率的测量的想法【35】。在第5节中，我对提高定价机制的效率来源有了新的见解。本文最后将新方法用于抛硬币游戏，演示了新方法如何在分析真实系统时发挥作用。2关于效率的不同观点正如导言中所述，对于市场效率没有唯一的、普遍接受的定义。相反，现有的定义并不完全一致，但在某种程度上重叠并侧重于有效市场的不同方面。不同的效率概念与效率背景下的不同特征相关。在不详尽的情况下，将三种方法的不同方面进行分类。2.1真值效率我将第一种方法称为真值效率。它指出“每个时间点的实际价格代表对内在价值的很好估计”[12]。它意味着股票市场的价格每次都反映出公司的真实价值。不幸的是，“真实价值”一词在有效市场的文本中并不是一个定义明确的术语。其中一个原因可能是该方法的模型依赖性（如[41]和[26]所述），这意味着如果报告的效率是由于未定义好的模型或真实的效率造成的，则始终可以解决这个问题。”因此，市场效率本身是不可测试的。”[14] 事实上，如果不了解底层系统，就不可能证明系统的真正价值效率。

在文献中，superiorknowledge是通过Fama descr ibes的估值模型引入的【14】。因此，科学需要在其方法中加以规定。这种特定情况通常与股票市场系统和股票估值的假设密切相关。这意味着不同的模型可能会导致相同市场效率的不同结果。由于效率的定义应侧重于一般方法，因此很难使用此类特定的评估方法。为每个新系统定义一个特殊模式l（用于计算真实值）会破坏以整体方式定义效率的意图。因此，在定义效率时，不再考虑true-value-efficiency。2.2信息效率Fama将效率的其他特征描述为“一个价格总是充分反映可用信息的市场，称之为效率”[13]。我指的是信息效率。在关于有效市场假说的讨论中，信息效率是最重要的因素之一（见[29]）。信息效率声称，任何影响价格的信息都已经在市场上定价，因为否则贸易商会利用这些信息生成利润。不同种类的信息被纳入价格中，因此与不同种类的效率相关。Fama在其自197年起发表的著名文章中指出了讨论中应区分的几种科学【13】：在随后的讨论中，这一点被以下说法所削弱：只有达到某一信息级别的信息才被纳入其中【19】。在后面的一篇文章中，Fama将这些不同类型的效率与实证研究联系起来[14]。

他将弱效率与回报可预测性测试、关于新信息影响的半强效率研究以及强效率与私人信息测试联系在一起。1、在“疲软”的市场中，价格只反映了过去系列s提供的所有信息。在一个“半强”的有效市场中，价格反映了所有公共可用信息。3、在一个“强大”的市场中，价格反映了所有可用信息（例如，也反映了更广泛的信息）。在本文中，我将参考强效率（除非另有说明），以简化以下对效率的描述。通过使用strong-efficiency，无需指定基础信息。与真正的价值效率相比，信息效率是一个不太强的效率概念，因为所有真正的价值系统也是信息效率，但并非相反。FollowingArgument可以说明这一点：如果真值存在，那么它显然包含了有关Anaset的所有信息。因此，如果系统在价格中反映了交易价值，它也会在价格中反映资产的所有信息。反之亦然，情况并非如此，因为并非强制要求所有可用信息都必须披露资产的真实价值。2.3 J E nsen没有给出信息效率的替代描述：“如果不可能在信息集的基础上进行交易，那么Amarket在信息集方面是有效的。”我将此物业称为无效率。没有效率意味着没有市场参与者能够以系统的方式跑赢市场【40】。无效率的定义与信息效率的定义相同。

在市场上利用任何盈利机会获得盈利之前，都已做好准备。然而，无效率不如信息效率，因为所有信息效率市场也都是无效率的，但并非相反。其理由如下：在一个包含所有信息的市场中，没有任何外部信息可以产生利润。然而，例如，在一个复杂的动态市场中，交易者无法预见，也无法产生利润。但它并不能不可避免地反映系统之外的所有信息。显然，这一论点取决于“真值”一词的解释。由于“真值”一词是可以解释的（如第2.1节所述），因此结论并不是唯一可能的解释。正如引言中所述，我从广义上解释了Timmermann[45]引入的搜索技术和预测模型。非效率市场中的价格必须是鞅[24、37、33]。鞅由以下公式给出：E（r）=E（r |φ），r：价格，φ：信息这意味着实际价格是未来价格的最佳预测值，与给定的信息无关。由于鞅的概念专注于时间序列，而不是系统中的信息，因此我不会更详细地讨论这一方面3效率定义基于上一节中描述的效率概念，现在有可能引入一种独特而简单的效率量化度量，我将其称为信息效率定义。从本节中信息效率定义的简化版本开始，我展示了EMH的主要属性可以从这些新定义中衍生出来。