经济中的传染风险及其最优控制

换言之，每个顶点都有相同数量的邻居，对于我们的样本，国家的相互关系网络可以表示为一个完整的图Kn，其中每个顶点都有相同的阶数n- 图中有n（n- 1） /2条边。根据这些特点，本研究选择的网络拓扑为全连通网络。统计选项。知会计算机。第7卷，2019年6月，预印本。6经济中传染传播的风险及其最优控制利用NetLogo多代理可编程建模环境研究网络中传染传播的动力学【20】。图3显示了三种流行情景的结果。图3：。病毒在13个国家的网络中传播，参数β和γ如图1所示。从上排到下排：葡萄牙（T=0，T=35，T=162，T=270个月）、法国（T=0，T=5，T=49，T=50个月）和美国（T=0，T=2，T=15，T=16个月）。网络中的每个节点代表我们样本中的一个随机国家。白色代表易感国家，黑色代表受感染国家。图3中的第一列表示初始力矩（T），其中只有一个节点有感染，而其他节点易受感染。在每个时间步中，受感染的节点都试图感染其所有易感邻居。恢复的节点（以灰色表示）不能被感染。易受感染的邻居将感染，并以概率β将其颜色变为黑色。感染的淋巴结将被恢复，并以概率γ将其颜色变为灰色。当一个节点恢复时，它与其邻居之间的链接将变为灰色，不再可能成为传染传播的媒介。我们在这里得到的结果与第3节的结果一致（与图2和图3相比）。5.

最佳控制所有的社会机构都需要接受社会监督，以防止传染蔓延，避免严重后果。在每个州，中央银行都扮演着监督主管部门的角色。由于主要目标之一是防止感染的全球传播，我们提出以下统计数字。知会计算机。第7卷，2019年6月，预印本。O、 KOSTYLENKO，H.S.RODRIGUES，D.F.M.TORRES 7 Bolza形式的最优控制问题：受控于控制系统的泛函min J[I（·），u（·）]=I（T）+TZbu（T）dt（5）dS（t）dt=-βS（t）I（t），dI（t）dt=βS（t）I（t）- γI（t）- u（t）I（t），dR（t）dt=γI（t）+u（t）I（t），（6）其中S（0）=S，I（0）=I，R（0）=R，b>0，u（t）∈ [0, 1]. 目标函数al（5）中的整体指的是金融援助的一般成本，这是防止危机蔓延和经济衰退所必需的[0，T][13]。控制函数u（·）是在一组特殊的容许控制中选择的。它由这些函数u=u（t）组成，其中h是区间[0，t]上的分段连续函数s，其值为i n u=[0，1]。控制u（t）表示向传染病患者提供援助的比率，即t时中央银行的金融支持与各国当时所需的融资之间的比率。如果中央银行在时间t提供全面支持，涵盖所有必要的风险，那么u（t）=1。如果国家在t时未收到任何金融贷款，则在e时，控制u（t）=0。opti-malitycriterion J[I（·），u（·）]的值越小，控制u的益处就越大。

在我们的模拟中，控制措施b的成本取为1.5，这是由[16]中考虑的国家资金可能重新资本化的价值所驱动的。将Bolza形式（5）–（6）中的最优控制问题改写为以下等效Mayer形式，并在BOCOP最优控制解算器中求解：min J【S（·），R（·），Y（·）】=N- S（T）- R（T）+Y（T）（7）根据dS（t）dt=βS（t）+βS（t）（R（t）- N） ，dR（t）dt=γ（N- S（t）- R（t））+u（t）（N- S（t）- R（t）），dY（t）dt=bu（t），S（0）=S，R（0）=0，Y（0）=0，u（t）∈ [0, 1].（8） 模拟结果如图4-6所示。他们展示了我们的SIR传染风险模型的行为曲线，并展示了在不同情况下，有最优控制和无最优控制的曲线的行为。图4显示了在应用最优控制之前以及在第一种情况下，当葡萄牙开始感染时，曲线的行为。对比图表表明，如果采用最佳控制，抑制感染的过程将以几乎两倍的速度发生，也就是说，如果国家以最佳方式获得财政支持，金融污染后的恢复过程将更快。图5所示的第二种情况的结果证实了第一种情况下得出的结论的相似性。感染过程会减慢，同时恢复速度也会加快。此外，最优控制的应用有助于更多国家保持敏感。图6显示了第三种情况下曲线的行为。我们看到感染的力量相当大，而最优控制的应用有助于加速恢复过程，从而导致感染的加剧。统计选项。知会计算机。第卷。

2019年6月7日，预印本。8经济体中传染传播的风险及其最佳控制0 100 2000 2468102时间国家38 40 42 4400.10.20.30.40.50.60.70.80.91时间易感国家0 50 100 150 200 2500 24681012时间受感染国家0 50 100 200 2500 24681012时间国家恢复0 50 100 150 200 25000.0010.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.01时间国家控制图4。葡萄牙的传染风险（情景1）：有最优控制（虚线）与无控制（连续线）。0 10 20 30 40 500 24681012受感染的时间段国家/地区1000.511.522.533.54受感染的时间段国家/地区500 24681012受感染的时间段国家/地区恢复的时间段国家/地区5000.0050.010.0150.020.0250.030.035时间段国家/地区控制图5。来自法国的传染风险（场景2）：有最优控制（虚线）与无控制（连续线）。统计选项。知会计算机。第7卷，2019年6月，预印本。O、 KOSTYLENKO，H.S.RODRIGUES，D.F.M.TORRES 90 5 10 15024681012受感染的时间0.798 0.8 0.802 0.8043.083.13.123.143.163.183.23.223.243.26受感染的时间0 2 4 6 10 14 16024681012受感染的时间0 14 16024681012恢复的时间0 2 4 6 10 14 1600.0050.010.0150.020.0250.030.0350.0450.05TimeCountries控制图6。来自美国的传染风险（情景3）：有最优控制（虚线）与无控制（连续线）。结论我们从感染在形成相互连接的封闭系统的国家之间传播的角度调查了金融污染的过程。研究表明，感染行为在多大程度上取决于传播率和恢复率的值，分别是β和γ。

有趣的是，连续时间流行病学模型（1）得出的结果（通常适用于大人口）与第4节离散时间（网络）流行病学模型得出的结果（通常适用于小人口）一致。最优控制的应用已经证明，展示如何在复苏的道路上取得重大和成功的结果，说明需要彻底控制数量担保贷款和各国的金融稳定，以避免金融风险的负面影响。所获得的影响恢复过程证实了各种宏观经济学文献前提，因此在经济l周期预期范围内验证了现有的l文献。致谢本研究得到葡萄牙科学技术基金会（FCT）的支持，项目UID/MAT/04106/2019（CIDMA）。Olena Kostylenko还获得了博士研究金D/BD/114 188/2016的支持。作者要感谢两位评论家的批评性评论和精确的建议，这有助于他们提高手稿的质量和清晰度。参考文献1。一、 A rea，F.Ndairou，J.J.Nieto，C.J.Sil va和D.F.M.Torres，埃博拉模型和带有接种约束的最优控制，J.Ind.Manag。Optim公司。14（2018），第2427–446号。arXiv:1703.01368统计选项。知会计算机。第7卷，2019年6月，预印本。10经济中传染蔓延的风险及其最优控制2。国际清算银行，常见问题，https://www.bis.org/statistics/statstools/faqs.htm?m3.国际清算银行，《国际综合银行统计指南》，国际清算银行新闻与通信部货币与经济司，瑞士巴塞尔，2008.4。

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