一般Kyle-Back模型的定价规则与最优策略

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英文标题：
《On pricing rules and optimal strategies in general Kyle-Back models》
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作者：
Umut \\c{C}etin and Albina Danilova
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  The folk result in Kyle-Back models states that the value function of the insider remains unchanged when her admissible strategies are restricted to absolutely continuous ones. In this paper we show that, for a large class of pricing rules used in current literature, the value function of the insider can be finite when her strategies are restricted to be absolutely continuous and infinite when this restriction is not imposed. This implies that the folk result doesn\'t hold for those pricing rules and that they are not consistent with equilibrium. We derive the necessary conditions for a pricing rule to be consistent with equilibrium and prove that, when a pricing rule satisfies these necessary conditions, the insider\'s optimal strategy is absolutely continuous, thus obtaining the classical result in a more general setting.   This, furthermore, allows us to justify the standard assumption of absolute continuity of insider\'s strategies since one can construct a pricing rule satisfying the necessary conditions derived in the paper that yield the same price process as the pricing rules employed in the modern literature when insider\'s strategies are absolutely continuous.
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中文摘要：
Kyle-Back模型中的folk结果表明，当内部人员的可接受策略被限制为绝对连续的策略时，内部人员的价值函数保持不变。本文证明，对于当前文献中使用的一大类定价规则，当内部人的策略被限制为绝对连续时，其价值函数可以是有限的，而当不施加此限制时，其价值函数可以是无限的。这意味着民间的结果并不适用于这些定价规则，它们与均衡不一致。我们推导了定价规则与均衡一致的必要条件，并证明了当定价规则满足这些必要条件时，内部人的最优策略是绝对连续的，从而在更一般的情况下获得了经典结果。此外，这使我们能够证明内幕策略绝对连续性的标准假设是正确的，因为当内幕策略是绝对连续的时，我们可以构造一个满足本文推导的必要条件的定价规则，从而产生与现代文献中采用的定价规则相同的价格过程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> On_pricing_rules_and_optimal_strategies_in_general_Kyle-Back_models.pdf (387.75 KB)

2022-6-11 07:09:10 上传

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关键词：Back 最优策略 KYLE Quantitative equilibrium

关于Generalkye-BACK模型中的定价规则和最优策略Sumut C,ETIN和ALBINA DANILOVAAbstract。Kyle-B ack模型中的folk结果表明，当其可接受策略被限制为绝对连续策略时，insiderremains的价值函数不变。本文表明，对于当前文献中使用的一大类定价规则，当内部人的策略被限制为绝对连续且不受限制时，其价值函数可以是有限的。这意味着民间的结果并不适用于这些定价规则，它们与均衡不一致。我们推导了定价规则与均衡一致的必要条件，并证明了当定价规则满足这些必要条件时，投资者的最优策略是绝对连续的，从而在更一般的情况下获得了经典结果。此外，这使我们能够证明投资者策略绝对连续性的标准假设是正确的，因为我们可以构建一个满足本文所述必要条件的定价规则，当内幕人士的策略是绝对连续的时，该定价规则产生的价格过程与现代文献中采用的定价规则相同。1、导言信息不对称市场的规范模型源于Kyle【18】，他研究了价格在均衡状态下确定的单一风险资产的市场。Kyle在离散时间内建立模型，并通过考虑极限来推测连续时间平衡。连续时间框架由Back[1]形成，因此该模型在后续文献中通常被称为Kyle-Back模型。

在这种类型的模型中，通常有三种类型的代理人参与市场：非策略性交易员、具有关于资产未来价值的私人信息的策略性风险中性信息交易员（内幕人士），以及许多风险中性做市商竞争总需求。做市商的目标是制定定价规则，使最终价格合理，这尤其意味着内幕交易在这些价格下的预期收益有限。另一方面，内幕人士的目标是根据做市商制定的定价规则，最大限度地提高自己的预期最终财富。因此，这种类型的建模可以被视为市场制造商和供应商之间信息不对称的博弈，目的是找到这种博弈的均衡。除了将Kyle模型扩展到连续时间之外，Back[1]最重要的贡献是，当做市商将价格设定为总订单的协调函数时，内部人的价值函数是有限的，解决内部人优化问题的最优控制是绝对连续的。这意味着内部人的可容许控制集可以简化为绝对连续的控制集。

本限制日期：8月23日，2021.2关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略，由于它允许采用aPDE方法解决内部人的最优控制问题，从而产生了一个PDE系统，内部人的价值函数和市场制造商的定价规则必须满足非均衡，因此可以简化找到均衡的问题。Back的结果是将内部人的可接受控制集限制为绝对连续的，这一限制现在是对称信息文献中的标准（参见，例如，[2]、[11]、[12]、[6]、[9]、[14]、[13]、[19]）。在本文中，我们表明，如果我们将定价规则的类别扩展到整体调和函数之外，以包括最近文献中使用的定价规则，例如在上面引用的论文中，那么内部人的价值函数是有限的，她的最优控制不是绝对连续的。上述文件中的定价规则尤其如此。由于内部人的价值函数是有限的，这些定价规则不可能是均衡定价规则。然而，由于最终利润是由于对不连续策略或策略施加的惩罚，而额外的鞅部分不足以将利润分配给隐私信息，因此可以修改该惩罚，以确保绝对连续的美国策略的最优性，同时在内部人的策略完全连续时，对相同的价格过程宣战。这正是我们在本文中所做的，我们建立了一个o类定价规则，当内幕人士的交易策略是绝对连续的，但当其策略允许有跳跃或鞅部分时，会为内幕人士产生有限的价值时，该规则会产生与前面引用的模型相同的价格过程。

我们证明，对于这类定价规则，内部人的可接受控制集可以减少为绝对连续的。据我们所知，本文是第一篇确定这类与均衡一致的定价的论文。此外，这也是自[1]以来首次在一般情况下将内部人的控制限制为绝对连续的控制。因此，它缩小了绝对连续控制假设与其在采用更一般定价规则的现代文献中的公正性之间的差距。pa per的结构如下所示。在第2节中，我们描述了该模型并介绍了一组定价规则，这些规则概括了当前文献中采用的定价规则。在第4节中，我们陈述了论文的主要结果：定理3.1推导了定价规则的必要条件，以确保内幕人士无法通过使用不连续策略和/或带有鞅部分的策略实现有限利润；定理3.2建立了定价规则的PDE条件，该条件对于平衡的存在是必要的，定理3.3证明，在pricingrule导出的定理3.1和3.2的条件下，容许控制对绝对连续控制的限制产生相同的值函数。在第4节中，提供一个已编制的示例，说明如何将本文中开发的技术应用于特定模型。在第5节中，我们分析了内部人的优化问题，并建立了这些定价规则的子集，从而为该问题带来一定的价值。此外，作为一种副产品，我们获得了关于定价规则和交易策略的熟悉的充分条件，以便均衡存在。关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略32。

模型设置如【1】所示，我们假设交易将在时间间隔【0，1】内进行。让(Ohm, G、 （Gt）t∈[0,1]，Q）是一个满足通常条件的过滤概率空间，交易资产的时间-1值由f（Z）给出，它将在t=1时成为所有市场参与者的公共知识，其中Z是一个连续的自适应过程，f是一个可测量的增长函数。有三种代理商在市场上交易。他们在信息集和目标方面的差异如下：噪声/流动性交易者出于流动性原因进行交易，其总需求由标准（Gt）-布朗运动B给出，独立于Z。做市商只观察总需求量=θ+B，其中θ是知情交易者的需求过程。随后对θ施加的可容许性条件将特别要求Y是半鞅。他们通过伯特兰竞争确定风险资产的价格，并清理市场。与[2]类似，我们假设做市商根据时间t的加权总订单过程设定价格，即我们假设价格过程s由t=H（t，Xt）给出，t型∈ [0, 1) (2.1)其中，X适用于B和Z产生的过滤，是特定SDE的独特强解决方案，其系数和驱动因素由市场庄家按照定义2.1中的ma de Precision构建。此外，定价规则必须在定义2.1的意义上是可接受的，这将导致S是半鞅知情投资者观察价格过程St=H（t，Xt）和她的私人信号z。由于她是风险中性的，所以她的目标是最大化预期最终财富，即supθ∈AE0，zWθ, 式中（2.2）Wθ=（f（Z）- S1级-)θ1-+Z1级-θs-dSs。（2.3）在上述A中，是给定定价规则的可接受交易策略集，将在定义2.2中定义。

此外，E0，zi是关于toP0，z的期望，这是（Xs，Zs；s）的正则条件分布≤ 1） 给定X=0和Z=Z，根据[5]中的定理44.3存在。因此，内幕人士将其最终财富的预期价值Wθ最大化，其中等式（2.2）右侧的第一项是由于信息发布时市场价格和基本价值之间的潜在差异对最终财富的贡献，第二项是对交易活动最终财富的持续贡献。请注意，这意味着内幕人士的最佳交易策略考虑了反馈效应，即价格对其交易策略的反应。4关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略通过上述市场结构，我们现在可以精确定义做市商和知情交易者的过滤。在考虑其正确的连续扩增时，我们首先确定扩增中使用的概率度量。第一个定义F：=σ（Bt，Zt；t≤ 1） 设Q0，zb为（B，Z）的正则条件分布，给定B=0和Z=Z。根据X上的假设，观察任何P0，Z-null集也是Q0，Z-null。由于正则条件分布的可测性，可以确定(Ohm, F） byP（E）=ZRQ0，z（E）Q（z∈ dz），（2.4）适用于任何E∈ F、 Q0，Zi是知情交易者如何为B和Z产生的事件分配可能性，P是未准确观察的做市商的概率分布。因此，以FM表示的做市商过滤将是对Y生成的P-null过滤集的正确连续扩增。

尤其是满足了通常的条件。另一方面，由于知情交易者完全了解z的价值，因此可以假设她的过滤是用Q0，z-null集增加的。然而，由于技术原因，过滤将额外依赖于z的值，因此这将使建模变得繁琐。另一个自然选择是考虑属于每个Q0，z的空集，即是以下ni的元素的集：={e F:Q0，z（E）=0，z∈ R} 。（2.5）这些空集将与知情交易者在获得有关Zand的私人信息之前对模型的先验信念相对应，因此可以用作比较的良好基准。因此，我们假设知情交易者的过滤（以FI表示）是s和Z与NI集合生成的过滤的正确连续性。类似地，我们将用FB表示，zt这是B和Z生成的过滤与NI集的正确连续增强。请注意，结果过滤不完整。理性预期均衡是由一个可接受的定价规则和一个可接受的交易策略组成的一对，这样：A）给定定价规则，交易策略是等时的，b）给定t-交易策略，定价规则在以下意义上是理性的：H（t，Xt）=St=Ef（Z）| FMt, （2.6）其中E对应于P下的期望运算符。为了规范这种平衡定义，我们首先定义了一组可接受的定价规则和交易策略。定义2.1。

可接受的定价规则是满足以下条件的任意四倍（H、w、c、j）：（1）w：[0，1]×R→ (0, ∞) 是C1,2（[0，1]×R）中的函数；（2） 给定一个布朗运动β，在某个过滤概率空间上，存在一个唯一的强解todXt=w（t，Xt）dβt，X=0。有关该程序的配方，请参见【23】第3节。一般KYLE-BACK模型5（3）H的定价规则与最优策略∈ C1,2（[0，1）×R）。（4）x 7→ H（t，x）是严格递增的∈ [0，1）；（5）c:[0，1]×R→ R为局部唇裂；（6） j:[0，1]×R×R→ R是连续的，有e x ists*> 0使得| j（t，x，)| ≤ Γ（t，x）||, 用于|| < *, （2.7）其中Γ是局部有界的。定义2.2。如果满足以下条件，则FB，Z-适应θ被认为是给定的可容许价格规则（H，w，c，j）的可容许交易策略。（1）θ是具有可求和跳跃的半鞅(Ohm, F、 （FB，Zt），Q0，z）每个z∈ R、 （2）存在唯一的强解X，todXt=w（t，Xt-)dYct公司+wx（t，Xt-)+ c（t，Xt-)w（t，Xt-)（d[Y，Y]ct- dt）+K-1w（t，j（t，Xt-, Yt）+Kw（t，Xt-) + Yt）- Xt公司-在时间间隔[0，1]上从X=0开始(Ohm, F、 （FB，Zt），P），其中Y=B+θ，kW（t，x）=Zxw（t，Y）dy+Ztwx（s，0）ds。（2.8）（3）不存在所有的翻倍策略，即对于所有z∈ RE0，zZH（t，Xt）dt< ∞. （2.9）给定定价规则（H，w，c，j）i的允许交易策略集用A（H，w，c，j）表示。为了符号简洁，我们还将表示b y A（H，w）：=A（H，w，0，0）。现在，我们可以确定做市商设定的价格。

注意，给定一个可接受的定价规则（H，w，c，j）和一个交易策略θ∈ A（H，w，c，j），存在（由于θ的可容许性）唯一强解ofdXt=w（t，Xt-)dYct+dCt+Jt，X=0，（2.10），Y=B+θ，（2.8）和dCt中定义的Kw=wx（t，Xt-)+ c（t，Xt-)w（t，Xt-)（d[Y，Y]ct- dt），（2.11）Jt=K-1w（t，j（t，Xt-, Yt）+Kw（t，Xt-) + Yt）- Xt公司-. （2.12）有关选择过滤θ的解释，请参见备注2.1。注意，由于随机基的不完全性，我们遵循半鞅fr omJacod和Shiryaev[16]的概念，它只要求过滤的正确连续性。如果存在一个可测量的映射，则K urtz【17】X是（2.10）的强解，该映射从一个非光滑空间到一个光滑空间，使得X：=Д（Y）满足（2.10）。本文将这两个Polish空间都看作具有Skorokhod拓扑的[0，1]上具有左极限的右连续函数空间。注意，Y可能只因θ中的不连续性而跳跃。6关于一般KYLE-BACK模型中的定价规则和最优策略，过程X定义得很好，thereforeSt：=H（t，Xt）定义得很好。此外，S适用于（FMt），因为在Kurtz【17】之后，X是仅Y路径的函数，Y适用于（FMt）。这些考虑因素证明了以下价格定义的合理性。定义2.3。给定一个可接受的定价规则（H，w，c，j）和交易策略θ∈A（H，w，c，j）市场定价由t给出：=H（t，Xt），其中X是（2.10）的唯一解析式。在讨论我们的可接受性条件之前，我们将从文献中给出几个例子来说明我们价格定义的灵活性：例2.1。在背面【1】交易持续进行，内幕人士从一开始就观察到最终设定值。