非凸环境下的多元风险测度

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英文标题：
《Multivariate risk measures in the non-convex setting》
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作者：
Andreas Haier and Ilya Molchanov
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The family of admissible positions in a transaction costs model is a random closed set, which is convex in case of proportional transaction costs. However, the convexity fails, e.g. in case of fixed transaction costs or when only a finite number of transfers are possible. The paper presents an approach to measure risks of such positions based on the idea of considering all selections of the portfolio and checking if one of them is acceptable. Properties and basic examples of risk measures of non-convex portfolios are presented.
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中文摘要：
交易成本模型中的容许位置族是一个随机闭集，在比例交易成本的情况下是凸的。然而，凸性失败了，例如，在固定交易成本的情况下，或者在只有有限数量的转移可能的情况下。本文提出了一种基于考虑投资组合的所有选择并检查其中一个选择是否可接受的思想来衡量此类头寸风险的方法。给出了非凸投资组合风险测度的性质和基本例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：proportional Applications Multivariate Quantitative Transaction

非凸设置中的多元风险度量Andreas Haier和Ilya Molchanov2019年9月10日摘要交易成本模型中的可容许头寸族是一个随机闭集，在比例交易成本的情况下是凸的。然而，凸性失败，例如，在交易成本固定的情况下，或者只有有限数量的转让是可能的。本文基于考虑投资组合的所有选择并检查其中一个是否可接受的思想，提出了一种衡量此类头寸风险的方法。给出了非凸投资组合风险测度的性质和基本例子。1多变量财务状况（portf olios）通常由欧几里德空间中的向量描述。然而，如果要考虑订单组件之间可能的交换，则有必要考虑通过允许的交换从原始位置获得的整个空间点集。换句话说，从指定哪些事务可以应用于其组件开始，考虑多资产端口olio是必不可少的。例如，如果投资组合的所有组成部分C=（C（1），C（d））以相同货币表示的现金金额以及各组成部分之间的转移不受限制，允许卖空，那么可达到的头寸都是随机向量，因此其组成部分的总和等于C的组成部分的总和。通过允许资产处置（例如，以消费的形式），我们得出了半空间nx∈ Rd：dXi=1x（i）≤dXi=1C（i）o。在这种情况下，并且在交易成本不受C影响的情况下，可达到的头寸是C+K的点数，其中K是价格为零的可用投资组合集，请参见【7】。

在其他情况下，可能实现的收购可能以非线性方式取决于C，例如，当组成部分代表集团成员的资本，可接受的转让满足进一步的限制，例如，要求它们不会导致另一个偿债代理人资不抵债，见【3】。鉴于上述原因，将多资产组合表示为随机闭集是很自然的。回想一下，随机闭集X是概率空间中的可测映射(Ohm, F、 P）到由Felltopology生成的σ-代数定义的Rdequipped中的闭集空间。换句话说，X的可测性意味着{ω：X（ω）∩K 6=} ∈ 对于Rd中的所有紧集K，请参见【11，第1.1.1节】。如果一个随机闭集X几乎所有的实现都是较低的集，也就是说，对于几乎所有的ω，X∈ X（ω）和y≤ x坐标仅表示y∈ X（ω）。如果Arandom闭集的几乎所有实现都是凸的，则称其为凸的。如果X是arandom闭集，则其闭凸hullconv（X）也是一个随机闭集，请参见[11，Th.1.3.25]。对于p∈ [1, ∞], 用Lp（X）表示p-可积族（如果p=∞)随机向量ξ使得ξ∈ X a.s。；这种随机向量称为X的p-可积选择。此外，L（X）是X的所有选择的族；如果X为a.s.非空，则此族不为空，请参见[第11条第1.4.1款]。如果随机闭集X至少包含一个p-可积选择，则称其为p-可积；它被称为p-可积有界ifkXk=sup{kxk:x∈ 十} 是p的p可积随机变量∈ [1, ∞). 如果kXk是一个常数有界的a.s.，则称随机闭集X为本质有界。如果X可积（即1-可积），则其选择期望由ex=cl{Eξ：ξ定义∈ L（X）}，（1）其中cl（·）表示Rd中的拓扑闭包。

闭的Mink-owski-sumX+Y=cl{x+Y:x∈ 十、 y型∈ 两个随机闭集X和Y的Y}也是一个随机闭集。请注意-X={-x：x∈ X}表示X相对于原点的反射；这不是加法的逆运算。关于随机闭集的更多资料，请参阅[11]。本文的组织结构如下。在第2节中，我们引入了可能非凸随机下闭集的选择风险度量，从而推广了[3]和[12]的设置。由于非凸性，无法通过使用包含投资组合的半空间来评估风险，如[4，5]中所述。在第3节中，我们讨论了两个基本的集值风险度量，一个是基于考虑集值投资组合的固定点，另一个是由-十、 这两种情况对应于将消极本质和消极预期作为基本的数字风险度量。第4节探讨了选择风险测度取凸值且具有法律不变性的情况。第5节讨论了固定交易成本的重要案例。最后，第6节讨论了只有有限组可接受交易的情况。2非凸投资组合的风险度量选择2.1定义x p∈ {0}∪[1, ∞] 向量r（ξ）=（r（ξ（1）），适用于p-可积随机向量ξ=（ξ（1），…）分量的货币Lp风险度量的rd（ξ（d）），ξ（d））。关于随机变量的风险度量，我们参考了[1]和[2]。假设r（0）=0，并且r的所有分量在p-可积随机变量上是有限的。当说r是相干的或凸的时，我们的意思是它的所有分量都是相干的或凸的。

只有在必要时，才会施加Convexity或coherency属性，并且会明确说明这些属性。在以下许多情况下，我们考虑以下基本数字风险度量。1、负本质界r（ξ）=-essinfξ，它是一个L∞-风险度量。2、负期望r（ξ）=-Eξ，一个L-风险度量。3、平均值-at-R isk（或非原子情况下的预期差额）R（ξ）=-αZαF-1ξ（t）dt。在α级∈ ξ为（0，1）∈ L（R），其中Fξ是ξ和F的累积分布函数-1ξ是分位数函数。4、扭曲风险度量（ξ）=-采埃孚-ξ的1ξ（t）dg（t）（2）∈ Lp（R），其中g：[0，1]7→ [0，1]是一个（凹）畸变函数，g（t）=1-g（1-t） 是双重失真函数，选择p以确保积分是有限的。p-可积下随机闭集X的选择风险测度定义为r（X）=cl[ξ∈Lp（X）（r（ξ）+Rd+，（3）其中并集接管X的所有p-可积选择。因此，x∈ R（X）当且仅当lim inf R（ξn）≤ x表示ξn∈ Lp（X），n≥ 向量之间的不等式总是协调的，下限也是协调的。选择风险度量值为上集，且（3）可被视为R（X）的原始表示。如果不对X施加凸性，则Adual表示是不可行的。如果0，则称随机集X是可接受的∈ R（X）。换句话说，如果X包含一系列风险收敛为零的选择，那么X是可接受的。r的货币属性得出r（X）是所有X的集合∈ Rd使得X+X是可接受的，即R（X）={X:R（X+X） 0}.2.2选择风险度量的性质[12]中介绍了凸X和相干r的选择风险度量。非凸X和一般monetar y r的一些性质很容易在[12]中采用的凸相干设置中显示t hoseknown的复制品。定理2.1。

选择风险度量满足p-可积下闭集X和Y的以下性质。i） 单调性，即R（X） R（Y）i f X Y a.s.ii）现金不变性，即R（X+a）=R（X）- a代表所有确定性a∈ Rd.iii）如果r是齐次的，则r是齐次的，即对于所有确定性c>0，r（cX）=cR（X）。iv）如果r是凸的，则r i s共凸，即r（λX+（1- λ） Y） λR（X）+（1- λ） R（Y）（4）对于所有确定性λ∈ [0, 1].证据我们只证明了凸性，其余的都很简单。（4）右侧集合的所有元素协调地大于或等于tolim infλr（ξn）+（1- λ） r（ηn）对于ξn∈ Lp（X）和ηn∈ Lp（Y），n≥ 1、然后需要注意的是，ξ和η风险的凸组合支配r（λξn+（1-λ） ηn），这是（4）左侧的一个元素。r的单调性得到r（C+Rd-) = r（C）+Rd+表示C∈ Lp（Rd）。如果选择风险度量是齐次和凸的，则称其为共相关；如果r具有所有相干分量，则为这种情况。如果r是相干的，C是p-可积随机向量，X是p-可积随机下闭集，则r（C+X） r（C）+r（X）。（5） 这很容易从（4）选择λ=1/2，Y=C+Rd中看出-, 注意，即使X是确定性集，也不能保证（5）中的等式。然而，在这种情况下，它提供了一个有用的可接受性条件：如果r（C）+r（X），则C+X是可接受的 如果满足定理2.1中的相应性质，则为P可积随机集定义的一般集值函数（不一定使用选择构造）称为单调、现金不变、齐次或凸函数。

如果集值（选择）风险度量在同分布随机集上的值重合，则称其为定律不变性。2.3选择的选择选择风险度量的定义涉及对X的所有p-可积选择进行联合。即使对于简单的随机闭集，这个族也可能非常丰富。在下文中，我们讨论了适用于减少确定选择风险度量所需的选择族的一般方法。与下闭集F关联+F o其帕累托最优点，即点集x∈ F使y≥ x代表y∈ F只有在y=x时才可能。如果x是一个Randomlower闭凸集，则该集+X的帕累托最优点的X是一个随机闭集，参见[3，引理3.1]。在非凸情况下，引用的结果证明+X是可测量的，所以它的闭包cl+X是rando m闭集，参见【10，第2.6条】。如果+X是闭合的且p可积的，那么可以将（3）中的并集减少为+十、 下随机闭集X称为拟有界，如果+X本质上是有界的；如果k，X是p-可积拟有界的+Xk是p-整数。考虑因素X=F∪ ··· ∪ Fm，（6）式中F，Fmare确定性下凸闭锥。对于下面的结果，假设r是凸律不变的，并且概率空间是非原子的。在这种情况下，r表示扩张单调性，即r（ξ）在条件期望ξ的风险中占主导地位，参见【2，Cor.4.59】和【9】。提案2.2。如果X是由（6）给出的确定性se t，那么可以将（3）中的并集简化为确定性xi的选择ξ=Pmi=1xiaif∈ Fi，i=1，m、 概率空间的AndPartitions A={A，…，Am}。证据考虑ξ=PηiAiforηi∈ Lp（Fi），i=1，m。

通过扩张单调性，r（ξ）控制给定A的ξ的条件期望的风险。因此，可以用其条件期望取代ηib，这也是Fi中的一个点。在凸集中，如果X是C和一个凸闭集F的和，那么unionin（3）可以减少到可测量的选择，特别是由C.3不动点生成的σ-代数和对一个随机闭集X的期望，FX={X：P{X∈ 十} =1}表示其固定点集。如果X是下闭集，则集fx是下闭集；如果X是凸集，则集fx是凸集。提案3.1。设X为p-可积随机下闭集。对于任何货币风险度量产生的选择风险度量，我们有- 外汇 R（X）。（7） 如果r的所有成分都是本质界的负值，则r（X）等于-十、 证明。通过选择常量ξ=x∈ FXin（3）并使用r（x）=-x、 我们看到（7）成立。如果L∞（十） 6=, 然后FX6=, 因为X是一个较低的集合。选择r时，所有成分均为基本成分的负值，很容易看出，如果选择X时，所有a.s.非负值成分均为负值，则X是可以接受的。在这种情况下，0∈ X a.s.，其中0∈ 外汇。注释还包括F-X=-外汇。固定点集是一个一致的选择风险度量，它具有法律不变性，不一定是凸值的。示例3.2。FX的凸包是Conv（X）的固定点集的一个子集（可能是严格的）。设X是r中的一个随机集，该随机集具有相同的取值可能性{(-a、 a），（a，-a） }+R-以及{(-b、 b），（b，-b） }+R-对于0<a<b，则FX={(-b、 a），（a，-b） }+R-, 而conv（X）的固定点集是线段与端点的总和(-a、 a），（a，-a） 安德烈-.示例3.3。固定点集也出现在以下上下文中。允许Ohm ={ω, . . .

，ωn}是一个有限的概率空间，让r的所有分量都是α级风险的平均值≤ P（{ωi}），i=1，n、 ThenR（X）=-外汇=-n\\i=1X（ωi）。实际上，因为P（{ωi}）≥ α对于所有i，我们有r（ξ（j））=-任何ξ的min{ξ（j）（ωi），i=1，…，n}∈ L（X）。因为每个X（ωi）都是一个较低的集合，所以我们有-r（ξ）∈ X（ωi）表示所有i。为了显示混响se包含，假设X∈ 外汇。那么ξ=x是x的一个确定性选择，由此-x=r（ξ）∈ R（X）。如果p=1且r（ξ）=-Eξ是ξ的负期望，则R（X）成为(-X）。请注意，R（X）=-EX是一种相干的选择风险度量，它在凸随机集上具有法律不变量，但在非凸随机集上可能不是法律不变量。事实上，如果非凸确定性集F被视为在平凡概率空间上定义的随机闭集，则EF=F，而如果基础概率空间是非原子的，则EF=conv（F），参见[11，Th.2.1.26]。通过对期望随机集进行划分，并考虑不同的概率度量，可能很容易定义集值风险度量。这将对应于通过取线性函数的上确界来构造凸函数。然而，如果概率空间是非原子的，则TakingExpection会导致风险度量的凸值；否则，它取决于空间的原子结构。此外，即使在Convex设置中，这样的构造也可能不符合X中可接受选择的存在，如以下备注所示。备注3。4、对于任何家庭Z Lq（Rd+），使得所有ζ的Eζ=1∈ Z、 definerz（X）=\\ζ∈ZE公司(-ζX），（8），其中ζX={ζX:X∈ 十} 。注意，我们使用向量表示法，例如，eζ=1意味着ζ的所有成分都具有平均值1，而ζξ=（ζ（1）ξ（1），ζ（d）ξ（d））是ζ和ξ的坐标积。定义的RZ（·）满足定理2.1的所有性质。

然而，RZin general不是选择风险度量。实际上，通过lettingX=ξ+Rd-, 我们看到，相应的相干向量值风险度量由r（ξ）=supζ给出∈ZE公司(-ζξ), ξ ∈ Lp（Rd）。假设+X是p-可积有界的，因此E（ζX）对于所有ζ都是闭合的∈ Lq。然后0∈ RZ（X）当且仅当0∈ E类(-ζX）对于所有ζ∈ Z、 等效地，对于每个ζ∈ Z有ξζ∈ 有限合伙人(+十） 使E(-ζξζ) ≤ 由于这些选择ξζ可能因ζ的不同而不同，我们无法推断X在选择风险度量方面是可接受的。实际上，X的可接受性要求存在一个选择ξ∈ Lp（X）等(-ζξ) ≤ 0表示所有ζ。因此，RZI是一致集值风险度量的一个例子，然而，它不一定是一个选择度量。rzdoe下X的可接受性不能保证存在可接受的X选择。此外，该风险度量无法区分X及其凸包。4凸性和定律不变性单调性性质得出R（X）是R（conv（X））的子集。众所周知，如果基础概率空间是非原子的，则可积随机闭集的选择期望是凸的，请参见[11，Th.2.1.26]。这个结果来源于李亚普诺夫关于向量值测度范围的理论。凸随机集的选择风险度量也是如此，如果基础风险度量r是凸的，请参见[12，Th.3.4]。对于非凸参数，情况并非如此，请参见示例3.2和第5.2节。尽管如此，在某些情况下，R（X）是凸的，即使对于非凸X也是如此。假设p∈ [1, ∞], r=（r，…，rd）的分量是σ（Lp，Lq）-下半连续凸风险测度，因此ri（ξ）=supζ∈Lq（R+），Eζ=1E类(-ζξ) - αi（ζ）, ξ ∈ Lp（R），i=1，d、 （9）式中αi:Lq（R+）7→ (-∞, ∞], i=1，d、 是与r的分量相对应的惩罚函数。