出生-死亡首次通过时间分布的近似

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英文标题：
《Approximation of the first passage time distribution for the birth-death
  processes》
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作者：
Aleksejus Kononovicius, Vygintas Gontis
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We propose a general method to obtain approximation of the first passage time distribution for the birth-death processes. We rely on the general properties of birth-death processes, Keilson\'s theorem and the concept of Riemann sum to obtain closed-form expressions. We apply the method to the three selected birth-death processes and the sophisticated order-book model exhibiting long-range memory. We discuss how our approach contributes to the competition between spurious and true long-range memory models.
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中文摘要：
我们提出了一种获得生灭过程第一次通过时间分布近似值的一般方法。我们利用生灭过程的一般性质、Keilson定理和Riemann和的概念来获得闭式表达式。我们将该方法应用于三个选定的出生-死亡过程和显示长程记忆的复杂订单模型。我们将讨论我们的方法如何促进虚假和真实长程记忆模型之间的竞争。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Approximation_of_the_first_passage_time_distribution_for_the_birth-death_processes.pdf (590.57 KB)

2022-6-11 14:16:54 上传

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关键词：distribution Quantitative Applications Econophysics Statistical

出生-死亡过程第一次通过时间分布的近似塞克斯·科诺诺维奇（Leksejus Kononovicius），维吉尼塔斯·冈蒂斯（Vilnius University，Vygintas Gontis）理论物理和天文学研究所摘要我们提出了一种获得出生-死亡过程第一次通过时间分布近似值的一般方法。我们利用生灭过程的一般性质、Keilson定理和Riemann和的概念来获得闭式表达式。我们将该方法应用于三个选择的出生-死亡过程和显示长程记忆的复杂订单模型。我们将讨论我们的方法如何促进虚假和真实长程记忆模型之间的竞争。1引言马尔可夫链，以及更具体的生灭过程，在生物和社会经济系统的建模中非常重要【1–3】。虽然出生-死亡过程通常会收敛到某个固定点，出生率和死亡率大致相等，但也有一些例子不收敛，系统范围内的波动持续存在[4-6]。这一系列研究很重要，并出现在各个科学领域，因为它可以回答Axelrod关于社会系统多样性持续存在的问题[7，8]。多样性问题，尤其是多样性的崩溃，对金融市场也很重要。最近一些基于金融代理的模型（简称。

ABMs）已经证明，当多样性崩溃，代理人开始表现出类似的行为时，就会出现幂律分布[9-14]。其中一种基于出生-死亡过程的方法明确表明，由于相同的潜在原因，长程记忆现象可能会出现。长程记忆现象可以使用非线性马尔可夫过程[15、16]和嵌入内存的模型来再现，例如使用分数布朗运动[17-21]、CTRW框架[22-27]或ARCH框架[28-30]构建的模型。虽然这些模型能够再现很少的类似统计特征，但它们在第一次通过时会有所不同【17、31、32】。众所周知，分数布朗运动的首次通过时间概率密度函数（PDF）有一个指数与幂律相关的区域- 2[17]，而一维马尔可夫过程的首次通过时间PDF的幂律指数为-3/2 [31, 32]. 这自然提出了一种确定所观察到的长程记忆现象是否虚假的方法。问题出现了，因为目前的知识以非常广泛的术语描述了第一个passagetime PDF的渐近行为。有一种使用拉普拉斯变换的替代描述，但这些描述通常使用有限和和和特殊函数来表示【33】。除了几个显著的例外，通常这样的空间变换是不可逆的，即使它们是可逆的，也可能没有显式的闭合形式。因此，出现了一些数值效应来近似反演[34]。在这里，我们提出了一种分析近似出生-死亡过程特定第一次通过时间的一般方法。我们在之前的工作[35]的基础上，获得了一个特定的第一次通过时间的近似值，称为脉冲间持续时间，连续贝塞尔过程的PDF。

我们已经证明，近似可以应用于可转化为贝塞尔过程的扩散过程（以[36]中描述的随机过程为例）。值得注意的是，这种近似方法在短时间内有一个发散问题，我们现在提出用有限和离散状态空间研究生灭过程来解决这个问题。本文的组织结构如下。在第二节中，我们介绍了连续贝塞尔过程背景下的爆破统计的概念。在第3节中，我们介绍了基于Keilson\'stheorem【37】和【35】中报告的结果的近似方法。在第4节中，我们对一些选定的生灭过程进行了近似统计：贝塞尔样过程、奥恩斯坦-乌伦贝克过程和模仿过程。在第5节中，我们演示了这种方法可用于拟合复杂模型的爆破统计数据。第6.2节连续贝塞尔过程的爆发统计中提供了结论性意见[35,38–40]，我们考虑了经验时间序列和随机过程产生的时间序列的爆发持续时间和爆发间持续时间。我们已经定义了脉冲持续时间τ在一定阈值以上的时间：τh=Inf{t>0:F（t）≤ h | F（0）=h+}, （1） 这里F（t）描述了随机过程或经验时间序列的时间演化，而 是一个非常小的正数。以类似的方式，我们定义了突发间持续时间θ的时间消耗低于阈值：θh=Inf{t>0:F（t）≥ h | F（0）=h- }. （2） 在图1中，我们在样本时间序列上说明了这些概念。此示例包含一个突发持续时间示例和一个突发间持续时间示例。图1：（在线彩色）样本时间序列（灰色曲线），其中一个时间段完全花费在阈值以上（以红色突出显示），另一个时间段完全花费在阈值以下（以蓝色突出显示）。

持续时间t- 通过定义脉冲持续时间τh的样本，而持续时间t- 通过定义脉冲间持续时间θh的样本，我们得到了连续贝塞尔过程θh的PDF近似值。这是可能的，因为已知连续贝塞尔过程从yto h（0<y<h）的第一次通过时间[33]：p（ν）y，h（θh）=hν-2yν∞Xk=1jν，kJνyhjν，kJν+1（Jν，k）exp-jν，k2hθh！，（3） 这里，ν是连续贝塞尔过程的指数，Jν（x）是第一类贝塞尔函数，Jν，kis k-thzero是Jν（x）。设y=h-, 哪里 是一个非常小的正数，那么等式（3）可以用一个整数来近似：p（θh）≈ C∞Xk=1jν，kexp-jν，k2hyθh！≈ CZ公司∞jν，1xexp-x2hyθhdx==Chyjν，1exp-jν，12hyθhθh+rπhyerfcjν，1√2年√θhθ3/2h. （4） 这种近似是可能的，因为jν，kgrow几乎与k呈线性关系。对于各种ν，只有前几个值偏离了这种趋势。在这种情况下，我们可以将和视为黎曼和，并用积分替换和。如图2所示，这种近似对于连续贝塞尔过程非常有效。图2：（在线彩色）连续贝塞尔过程的脉冲间持续时间PDF，在h=0.7时，有三个不同的指数，ν=0.5（红色方块）、1.5（蓝色圆圈）和2.5（绿色三角形）。数值结果近似于公式（4）（分别为彩色曲线）。除非假定θhis的某个最小值，否则该近似的归一化会发散。为了保持表达式的通用性，我们保留了由Ci表示的规范化常数。虽然θhC的最小值可以很容易地从经验的角度进行调整，假设与离散化周期相等，但在连续模型的情况下，这种假设并不那么透明。注意，式（4）的渐近行为与一维马尔科夫过程的预期一致【31】。

对于较小的θh，第二项是最大的，因此幂律衰减具有指数-3/2. 对于较大的θh，第一项变得最大，并观察到指数衰减。不可能获得连续贝塞尔过程τmof的近似值，因为对于大多数ν贝塞尔过程，会逃逸到内单位，因此并不总是击中h。因此，对于0<h<ycase的贝塞尔过程的击中时间，没有通用公式[33]。重要的是要注意，式（4）适用于任何过程，可以通过Lamperti变换将其转化为贝塞尔过程。虽然如果Lamperti变换规定了进程之间的反向关系，那么等式（4）将近似该进程的突发持续时间PDF。在[35]中，我们考虑了一个这样的案例。我们通过Lamperti变换将具有长程记忆的非线性随机过程转化为贝塞尔过程。我们已经证明，等式（4）为显示伪长程记忆的非线性随机过程的数值模拟的脉冲持续时间PDF提供了良好的拟合。3任何出生-死亡过程中爆发间持续时间的近似值通过Keilson定理【37，42】众所周知，从状态k到状态n（0<k<n）的第一次通过时间的拉普拉斯变换由下式得出：e-sTk，n=Qni=1λ（n）is+λ（n）iQki=1λ（k）is+λ（k）i，s≥ 0。（5）在上述λ（n）中，是在秩n处截断的负生灭过程生成器矩阵的排序正特征值。该表达式的拉普拉斯逆变换对于n和k的许多合理值是不可行的。然而，我们观察到，对于一些小的n和k=n- 1拉普拉斯逆变换产生指数之和，其速率由λ（n）i给出。因为该和的形式与等式中的形式相似。

（4） 我们建议使用相同的近似方法：p（θh）≈qλ（n）n-qλ（n）Z√λ（n）nqλ（n）xexp-xθhdx公司==qλ（n）n-qλ（n）qλ（n）exp-λ（n）θh-qλ（n）nexp-λ（n）nθhθh+（6）+√πerfcqλ（n）θh- erfcqλ（n）nθhθ3/2h= 我θh，λ（n），λ（n）n,这里λ（n）是第一个（最小）正特征值，λ（n）是最后一个（最大）正特征值，我们引入θh，λ（n），λ（n）n进一步简化符号。【43】中使用了类似的截断思想来近似描述扩散过程的症状行为。只要qλ（n）igrows在i的大范围内线性，这种近似就有效。值得注意的是，这似乎也是获得p（θh）的唯一方法∝ θ-这是任何一维马尔可夫过程的一般结果。因此，似乎每个出生-死亡过程都应该有一个相当宽的区域，其中qλ（n）呈线性变化。请注意，一阶近似公式（6）通常不足以近似θh的PDF，因为λ项的影响通常被低估。为了改进整体近似，我们建议从总和的第二项开始使用积分近似，并单独考虑第一项。然后，脉冲群间持续时间PDF的二阶近似值将具有以下形式：p（θh）≈ ρλ（n）表达式-λ（n）θhi+（1- ρ） 我θh，λ（n），λ（n）n. （7） 这里ρ用于估计第一个特征值项的相对影响。通过比较第一指数（第一项）和由积分（第二项）近似的PDF的结果一阶矩（θt）的贡献进行评估。然后，出生-死亡过程中相应命中时间的准确第一时刻（(R)θ位于方程式右侧）：(R)θh=ρ·λ（n）+（1- ρ） ·qλ（n）λ（n）n=> ρ =λ1.-qλ（n）λ（n）n′θhλ-qλ（n）λ（n）n。

（8） 请注意，θ以及任何出生-死亡过程的其他命中时刻都是已知的，并且可以准确获得（更多详细信息，请参见[44]）。因此，如果需要进一步改进近似，那么可以从总和中拆分更多项，并基于更高的矩估计它们的相对影响。在这里，我们仅限于第一刻，因为这在我们选择的示例中证明是有效的。4所选出生-死亡过程的突发统计在本节中，我们将探讨一些所选出生-死亡过程的突发统计。我们将考虑贝塞尔（like）、奥恩斯坦（Ornstein）、乌伦贝克（Uhlenbeck）和模仿过程。通过这三个例子，我们将证明所提出的近似方法工作得相当好。虽然这三个例子相差甚远，但它们有一个共同的特性——它们的状态是等效的不稳定意义：Xs。s≡ N- 十、 （9）该特性意味着突发持续时间和突发间持续时间在统计意义上也是等效的：θhs。s≡ τ1-h、 （10）因此，知道θhalso的PDF，我们就得到了τ1的PDF-h、 4.1类贝塞尔生灭过程让我们定义类贝塞尔生灭过程的转换率：λ+b=N1+ν+X-ν+N-十、, λ-b=N1.-ν+X+ν+N-十、, （11） 这里N是可用状态的数量，X是当前状态，ν和ν是过程的指数。为了使这些速率保持良好的性能，让我们要求νi=+n和n∈ N、 带ν>-和ν>-,连续极限N→ ∞ （定义x=x/N），我们得到一个被困在x=0和x=1之间的随机过程：dx=ν +2倍- 1x（1- x） dt+dW。（12） 两种指数不等的特殊情况值得注意。在ν=ν和ν=-我们恢复了连续贝塞尔过程的SDE:dx=ν +dtx+dW。（13） 【45】中提出了类似的出生-死亡过程，并证明其渐近接近连续贝塞尔过程。

而ν=-ν=ν，我们得到一个随机过程，其势是贝塞尔过程势的位移反射。在这种情况下，确定了x的潜力∈ (-∞; 1） 而不是（0+∞) 至于贝塞尔过程。相应的SDE由以下公式得出：dx=-ν +dt1- x+dW。（14） 在这里，寻求保留等价属性Eqs。（9） 和（10），我们将只考虑这个生灭过程的对称版本，假设ν=ν=ν。在图3中，我们显示了该模型对称版本中的突发和突发间持续时间在统计意义上是不等效的，因为蓝色正方形和红色圆圈跟踪相同的形状。此外，等式（7）的近似值为该形状提供了相当好的近似值。同样在图3（d）中，我们显示了特征值谱的平方根在特定区域内确实呈线性增长。4.2出生-死亡Ornstein-Uhlenbeck过程让我们定义出生-死亡Ornstein-Uhlenbeck过程的转换率：λ+ou=N1.-XN公司, λ-ou=N·XN。（15） 对于这些速率，相应的SDE由以下公式给出：dx=2N- x个dt+dW，（16），描述了Ornstein–Uhlenbeck过程，弛豫速率θ=2N，至静止点u=1/2。由于这些费率的形式，该流程定义为x∈ [0，1]（或者X∈ [0，N]）。在图4中，我们显示了该模型中的突发和突发间持续时间在统计意义上确实是等效的，因为蓝色方块和红色圆圈跟踪相同的形状。此外，式（7）的近似值为该形状提供了相当好的近似值。同样在图4（d）中，我们表明本征谱的平方根确实在某个区域内线性增长。4.3模仿过程我们在本文中考虑的另一个出生-死亡过程是受Kirman模型的启发[46]。这一过程尤其令人感兴趣，因为众所周知，当应用于金融市场模型时，它会表现出长程记忆[9]。

该模拟过程的速率由λ+k=（N）给出-十） （ε+X），λ-k=X[ε+（N- 十） 】。（17） 图3：（彩色在线）生灭贝塞尔过程对称情况下的突发和突发间持续时间PDF（（a）、（b）和（c））及其特征值谱的平方根（子图（d））。在（a）、（b）和（c）中，红色圆圈表示数字突发持续时间PDF，蓝色方块表示数字突发持续时间PDF，而黑色曲线通过计算公式（7）获得。在（d）中，红色曲线表示特征值的平方根，而黑色曲线表示最佳的线性系数。过程参数设置如下：（a）ν=0.5，N=10，h=0.3（对于脉冲间持续时间）和0.7（对于脉冲间持续时间），（b）ν=1.5，N=10，h=0.2（对于脉冲间持续时间）和0.8（对于脉冲间持续时间），（c）ν=2.5，N=10，h=0.7（对于爆发间持续时间）和0.3（对于爆发持续时间），（d）使用与（a）相同的参数获得。图4：（彩色在线）Ornstein-Uhlenbeck过程的突发和突发间持续时间PDF（（a）、（b）和（c））及其特征值谱的平方根（子图（d））。在（a）、（b）和（c）中，红色圆圈表示数字突发间持续时间PDF，蓝色方块表示数字突发持续时间PDF，而黑色曲线是通过计算公式（7）获得的。在（d）中，红色曲线表示特征值的平方根，而黑色曲线表示最佳的线性函数。该过程的参数设置如下：（a）N=10，h=0.45（对于脉冲间隔持续时间）和0.55（对于脉冲间隔持续时间），（b）ε=1，N=10，h=0.5（对于脉冲间隔和脉冲持续时间），（c）N=10，h=0.55（对于脉冲间隔持续时间）和0.45（对于脉冲持续时间），（d）的参数与（b）相同。图5：（彩色在线）模拟过程的突发和突发间持续时间PDF（（a）、（b）和（c））及其特征值谱的平方根（子图（d））。