随机网格法在CVA有效逼近中的应用

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英文标题：
《Application of Stochastic Mesh Method to Efficient Approximation of CVA》
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作者：
Yusuke Morimoto
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, the author considers the numerical computation of CVA for large systems by Mote Carlo methods. He introduces two types of stochastic mesh methods for the computations of CVA. In the first method, stochastic mesh method is used to obtain the future value of the derivative contracts. In the second method, stochastic mesh method is used only to judge whether future value of the derivative contracts is positive or not. He discusses the rate of convergence to the real CVA value of these methods.
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中文摘要：
本文考虑用蒙特卡罗方法对大系统的CVA进行数值计算。他介绍了两种用于计算CVA的随机网格方法。在第一种方法中，使用随机网格方法来获得衍生合约的未来价值。在第二种方法中，随机网格法仅用于判断衍生合约的未来价值是否为正。他讨论了这些方法收敛到实际CVA值的速度。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Application_of_Stochastic_Mesh_Method_to_Efficient_Approximation_of_CVA.pdf (435.37 KB)

2022-6-13 20:25:04 上传

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关键词：CVA Applications Quantitative Differential computations

随机网格法在CVAYusuke MORIMOTO有效逼近中的应用*本文考虑用蒙特卡罗方法对大系统的CVA进行数值计算。他介绍了两种用于计算CVA的随机网格方法。在第一种方法中，使用随机网格方法获得衍生工具合同的未来价值。在第二种方法中，随机网格方法仅用于判断导数合同的未来值是否为正。他讨论了这些方法收敛到实际值的速度。JEL分类：C63、G12数学主题分类（2010）65C05、60G40关键词：计算金融、期权定价、Malliavin演算、随机网格法、CVA1简介信贷估值调整（CVA）定义为无风险投资组合价值与考虑缔约方违约风险的真实投资组合价值之间的差异。换句话说，CVA是交易对手信用风险的市场价值。2007-2008年金融危机之后，人们普遍认为，即使是大型金融机构也可能违约。因此，市场参与者已经充分意识到了对方的信用风险。为了在场外（OTC）衍生品交易的价格中反映交易对手的信用风险，CVA在当今的金融机构中被广泛使用。虽然杜菲黄[3]在20世纪90年代就已经介绍了CVA的基本思想，但一些人重新考虑了与抵押衍生品相关的CVA理论（参见[4]），也出现了有效的数值计算方法（参见[10]）。测量CVA有两种方法：单侧和双侧（参见[6]）。在单边法下，假设进行CVA分析的银行无违约。

以这种方式衡量的CVA是由于缔约方潜在违约导致的未来损失的当前市场价值。单边CVA的问题在于，银行和交易对手都要求为其所承担的信用风险支付溢价，并且可以*东京大学数学科学研究生院，Komaba 3-8-1，Meguro ku，Tokyo 153-8914，Japan，Bank of Tokyo Mitsubishi UFJnever同意投资组合中交易的公允价值。因此，为了计算正确的公允价值，我们不仅要考虑交易对手违约风险的市场价值，还要考虑银行自身的交易对手信用风险，即借方价值调整（DVA）。双边CVA（通过单方CVA和DVA净额结算计算）考虑了交易对手违约和自身违约的可能性。因此，它在自己的公司和交易对手之间是对称的，并导致客观的公允价值计算。从数学上讲，单侧CVA和DVA的计算方法相同，而双侧LCVA则是它们之间的差异。因此，本文重点研究了单侧CVA的计算。CVA是在交易对手层面进行衡量的，总的来说，投资组合中有许多资产。因此，我们必须参与高维数值问题以获得CVA的值。这也是CVA计算困难的原因之一。另一方面，每项支出通常只取决于少数资产。本文将重点讨论这一性质，并提出一种有效的CVA计算方法。让我们考虑投资组合由一个交易对手的合同组成。设X（m）（t）为RNm值随机过程，m=0，1，M、 我们认为X（t）=（X（0）（t），X（M）（t））是一个基本过程。我们考虑了宏观因素由x（0）（t）决定的模型，以及到期时各衍生工具的收益Tk，k=1。

，K是xm=1Fm，K（X（0）（Tk），X（m）（Tk））的形式。设T=TKbe为投资组合中所有合同的最终到期日。设τ为交易对手的违约时间，λ（t）为其风险率过程，L（t）为违约发生时的损失过程，D（t，t）为从t到t的贴现因子过程。我们假设D（0，t）是X（0）（t）的函数，L（t），λ（t）和exp(-Rtλ（s）ds）是X（t）的函数。假设交易对手无违约，则▄V（t）是时间t时投资组合中所有合同的总价值。然后▄V（t）由▄V（t）=E【MXm=1Xk；Tk=tD（t，Tk）▄Fm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））| Ft】给出，其中E表示对风险中性度量的预期。那么，该投资组合的单边CVA就是交易对手违约时的重组成本。Sounilateral CVA由CVA=E[L（τ）D（0，τ）1{τ<T}（~V（τ））给出∨ 0）]=E[ZTL（t）exp(-Ztλ（s）ds）λ（t）D（0，t）（~V（t）∨ 0）dt]=E[ZTL（t）exp(-Ztλ（s）ds）λ（t）（V（t）∨ 0）dt]，（1）其中v（t）=E[MXm=1Xk；Tk=tFm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））| Ft]，和Fm，kis一个函数，如Fm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））=D（0，Tk）~Fm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））。自L（t）exp起(-Rtλ（s）ds）λ（t）是X（t）的函数，我们用g（t，X（t））表示它。CVA由下表给出。CVA=E[ZTg（t，X（t））（E[MXm=1Xk；Tk=tFm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））| Ft]∨ 0）dt]。（2） 现在我们准备数学设置。设M=1固定，Nm=1，M=1，···，M，N=N+···+Nm，~Nm=N+Nm，~N=maxm=1。。。，米纳米。设W={W∈ C（[0，∞); Rd）；w（0）=0}，F是（w，F）上Wandubethe Wiener测度上的Borel代数。Let Bi：[0，∞) ×W→ R、 i=1，d、 由Bi（t，w）=wi（t），（t，w）给定∈ [0, ∞) ×W.然后{（B（t），…，Bd（t）；t∈ [0, ∞)} 是一个二维布朗运动。

设B（t）=t，t∈ [0, ∞).设V（0）i∈ C∞b（RN；RN），V（m）i∈ C∞b（RN×RNm；RNm），i=0，···，d，m=1，···，m。这里是C∞b（Rm；Rn）表示Rm中定义的Rn值光滑函数的空间，其中任何阶导数都有界。我们认为C中的元素∞b（Rn；Rn）作为向量场Rn。现在让我们考虑以下Stratonovich随机微分方程。X（0）（t，X）=X+dXi=0ZtV（0）i（X（0）（s，X））o dBi（s），（3）X（m）（t，xm）=xm+dXi=1ZtV（m）i（X（0）（s，X），X（m）（s，xm））o dBi（s），（4），其中xm∈ RNm，~ xm=（x，xm）∈ RN×RNm，m=1，M、 设▄X（M）（t，xm）=（X（0）（t，X），X（M）（t，xm））和▄V（M）i∈ C∞b（RN×RNk；RN×RNk），i=0，···，d，m=1，··，m beV（m）i（xm）=V（0）i（x）V（m）i（xm）！。那么我们就得到了▄X（m）（t，▄xm）=▄xm+dXi=0Zt▄V（m）i（▄X（m）（t，▄xm））o dBi（s）。（5） 这个方程有一个唯一的解▄X（m）（t，▄xm）。然后X（t，X），X∈ RNalso也满足以下Stratonovich随机微分方程的解。X（t，X）=X+dXi=0ZtVi（X（s，X））o dBi（s），（6），其中Vi，i=1，d isVi（x）=V（0）i（x）V（1）i（~x）。。。V（M）i（~xM）.我们假设向量场Vi，i=1，d、 满足第2节中规定的条件（UFG）。第2节中的（11）定义了公款。根据【9】，如果▄xm∈ Em，u下的分布曲线X（m）（t，xm）具有光滑的密度函数p（m）（t，xm，·）：RNm→ [0, ∞)对于t>0，m=1，M、 让x*= （十）*, . . . , x个*M）∈ 注册护士。我们假设基础资产过程为X（t）=X（t，X*). 我们还假设▄x*m=（x*, x个*m）∈ Em，m=1。

，M.Let^D（Rn）表示Rn上的函数空间，由^D（Rn）={f给出∈ C（Rn）；kαfxαk∞< ∞, 对于1 5 |α| 5 2}，其中kfk∞= sup{| f（x）| x∈ Rn}。Lip（Rn）表示Rn上Lipschitz连续函数的空间，我们通过kfklip=supx，y定义asemi范数k·kLipon Lip（Rn）∈Rn，x6=y | f（x）- f（y）| | x- y |，f∈ 唇部（Rn）。设M（Rn）是Lip（Rn）的线性子空间，其跨度为{f∨ g；f、 g级∈ D（Rn）}。我们定义了线性算子Pt:Lip（RN）→ Lip（RN），t=0，by（Ptf）（x）=Eu[f（x（t，x））]，f∈ Lip（RN）和P（m）t:Lip（RNm）→ 边缘（RNm），t=0，m=1，M、 by（P（M）tf）（~xm）=Eu[f（~X（M）（t，~xm））]，f∈ 边缘（RNm）。我们提醒您，L（t）exp(-Rtλ（s）ds）λ（t）由l（t）exp表示(-Ztλ（s）ds）λ（t）=g（t，X（t，X*)).我们假设g:[0，T]×RN→ [0, ∞) 满足以下两个条件。（1） g（t，x）在t中是可微的，有一个整数n，常数C>0，因此∈[0，T]|tg（t，x）| 5 C（1+| x | n），x∈ 注册护士。（2） g（t，x）在x中是2倍锥可微的，存在一个整数n，常数C>0，从而支持∈[0，T]|αxαg（t，x）| 5 C（1+| x | n），x∈ RN对于任何多指数|α| 5 2。我们假设贴现支付函数Fm，k，m=1，M、 k=1，式（2）中的K属于M（RNm）。在上述假设下，CVA cis由c=Eu[ZT{g（t，X（t，X））给出*))Eu[MXm=1Xk：Tk=tFm，k（キX（m）（Tk，キX*m） ）|英尺]∨ 0}dt]。（7） 我们将介绍蒙特卡罗模拟c.Let的数值计算方法(Ohm, F、 P）是概率空间，X`:[0，∞) × Ohm → RN，`=1，2，连续随机过程，使得C上的每个概率定律（[0，∞); P下X`（·）的RN）与X（·，X）的RN）相同*) 对于所有`=1，2，σ{X`（t）；t=0}，`=1，2，都是独立的。让我们定义投影πm:RN→ RNm，m=1，M、 通过πM（x）=xm=（x，xm），并通过ε=min15k5K（Tk）确定ε>0-Tk公司-1).

我们将随机线性算子（随机网格算子）Q（m）t，Tk，ε=Q（m，L，ω）t，Tk，ε，0 5 t 5 t，0<ε<ε，在Lip（RNm）上定义为（Q（m，L，ω）t，Tk，εf）（~xm）=LPL`=1f（X（m）`（Tk））p（m）（Tk-t、 ~xm，πm（X`（Tk）））q（m，L，ω）t，Tk（πm（X`（Tk））），0 5 t<Tk- ε、 f（xm），Tk- ε5 t 5 Tk，0，Tk<t 5 t。其中q（m，L，ω）t，Tk（~ym）=LLX`=1p（m）（Tk- t、 πm（X`（t）），~ym））。设∏表示分区集 = {t，t，…，tn}使得0=t<t<<tn=T和{Tk；k=1，…，k} . 让|| = 最大值=1，。。。，n（ti+1- ti）。我们定义了估值器^ci=^ci（ε，, 五十） :Ohm → R、 i=1，2，如下所示。^c（ε，, 五十） （ω）=LLX`=1n-1Xi=0（ti+1- ti）g（ti，X`（ti））（MXm=1Xk：Tk=ti+1（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（ti）））∨ 0），（8）和^c（ε，, 五十） （ω）=n-1Xi=0（ti+1- ti）Eu[g（ti，X（ti，X*))（MXm=1Xk：Tk=ti+1Fm，k（πkX（Tk，x*)))×1{PMm=1Pk：Tk=ti+1（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πkX（ti，x*)))=0}].（9） 我们的主要结果如下。定理1设α=（1+δ）（~N+1）`/4∨ 1、设{εL}∞L=1 （0，ε）是一个序列，假设有一个常数C∈ (0, ∞) 使得εL5 CL-1+δ2（1+α），L=1。然后存在一个常数C∈ (0, ∞) 使EP[|^c（εL，, L）- c |]5 c（L-1+α+ ||)对于任何L=1和 ∈ Π.定理2设α=（1+δ）（~N+1）`/2∨ 1，设{εL}∞L=1 （0，ε）是一个序列，使得有一个常数C∈ (0, ∞), 使得εL5 CL-1+δ2α+1，L=1。

假设有常数γ∈ （0，1）和Cγ∈ (0, ∞) 这样的SUPn-1Xi=0（ti+1- ti）u（| MXm=1Xk：Tk=ti+1（P（m）Tk-tiFm，k）（πmX（ti，x*)))| 5θ）所有θ的5 Cγθγ∈ （0，1）。然后存在一个常数C∈ (0, ∞) 和▄Ohm（L）∈ F、 L=1，这样P（）Ohm（五十） （）→ 1，L→ ∞,和▄Ohm（五十） |^c（εL，, L）- c | 5 c（L-(+(1-δ)2α+1)1+γ2+γ+ ||)对于任何L=1，以及 ∈ Π.备注3让▄Ohm（五十） be▄Ohm（五十） =nω∈ Ohm; |^c（εL，, L）- c | 5 CL-1.-δ1+αo。然后根据定理1，我们可以看到p（）Ohm（五十） （）→ 1，L→ ∞,和▄Ohm（五十） |^c（εL，, L）- c | 5 CL-1.-δ1+α.定理2表明，^cma的估计可能优于^c。我们可以用以下方法计算估计量^ci，i=1，2。首先，我们生成一系列独立路径X={X`（t）；0 5 t 5 t，`=1，2，…，L}。接下来，通过使用X，我们计算每个k的（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（Xm（ti）），使得Tk>ti。那么我们的估计量▄cis▄c=LLX`=1n-1Xi=0g（ti，X`（ti））（Xk：Tk=ti+1（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（ti）））∨ 0）（ti+1- ti）。我们使用相同的路径进行蒙特卡罗模拟和构建随机网格算子。对于▄c，我们生成另一个独立路径族x={Xm（t）；0 5 t 5 t，m=1，2，…，m}，并计算▄c=MMXm=1n-1Xi=0g（ti，Xm（ti））{Xk：Tk=ti+1Fm，k（X（k）m（Tk））}×1{Pk：Tk=ti+1（Q（m，L，ω）t，t，εFm，k）（πk（Xm（ti）））=0}（ti+1- ti）。在上述▄cand▄c的计算中，我们使用X`（ti），ti的值∈ , 只有至于计算￠c，我们没有明确使用Q（m，L，ω）t，t，εFm，kexplicit。我们用Q（m，L，ω）t，t，εFm，konly来判断（P（k）Tk-tFm，k）（πk（Xm（ti）））>0或否。因此，当（Q（m，L，ω）t，t，εFm，k）（πkX（t））和（P（k）Tk）的符号-tFm，k）（πk（Xm（ti）））是相同的，即使它们之间存在很大差异。2向量场的结构lt A=S∞k=1{0，1，…，d}和A*= A \\{0}。对于α∈ A、 设|α|=k，如果α=（α，…，αk）∈ {0，1，…，d}k，并设kαk=|α|+卡片{1 5 i 5 |α|；αi=0}。

此外，对于每个m=1，A*5m={α∈ A.*; kαk5 m}。我们定义了向量场V[α]，α∈ A、 感应式byV【i】=Vi，i=0，1，d、 V[α*i] =[V[α]，Vi]，i=0，1，d、 这里是α* i=（α，…，αk，i），对于α=（α，…，αk），i=0，1，d、 我们假设向量场系统{Vi；i=0，1，…，d}满足以下条件（UFG）。（UFG）有一个整数`和函数Дα，β∈ C∞b（RN），α∈ A.*, β ∈ A.*5”，满足以下条件。V[α]=Xβ∈A.*5′Дα，βV[β]，α∈ A.*.命题4向量场系统{V（m）i；i=0，1，…，d}也满足（UF G）条件。证据我们通过|α|上的归纳证明了以下内容。V[α]（fo πm）=（￠V（m）[α]f）o πm，f∈ C∞b（RNm），（10）对于任何α∈ A和m=1，M、 在|α|=1的情况下，这是微不足道的。根据归纳的假设，V[α*i] （f）o πm）=（V[α]Vi- ViV[α]（fo πm）=V[α]（|V（m）if）o πm）- Vi（℃V（m）[α]f）o πm）=（▄V（m）[α]（▄V（m）if））o πm- （▄V（m）i（▄V（m）[α]f））o πm，我们有（10）。根据（UFG）条件，我们得到v[α]（fo πm）=Xβ∈A.*5′Дα，βV[β]（fo πm）=Xβ∈A.*5′Дα，β（~V（m）[β]f）o πm.Let jm:RNm→ RNbejm（￠xm）=（x，0…，0，xm，0…，0）。然后∧V（m）[α]f=（V（m）[α]f）o πmo jm=（Xβ∈A.*5′Дα，β（~V（m）[β]f）o πm）o jm=Xβ∈A.*5`(φα,βo jm）~V（m）[β]f，所以我们有我们的断言。设Am（≈xm）=（Aijm（≈xm））i，j=1，。。。，~Nm，t>0，~xm∈ R▄Nm，是由aijm（▄xm）=Xα给出的▄Nm▄Nm对称矩阵∈A.*m、 5 `~Vim，[α]（~xm）~Vjm，[α]（~xm），i，j=1，~Nm。设hm（￠xm）=det Am（￠xm），￠xm∈ R▄NmandEm={▄xm∈ RNm；hm（~xm）>0}。（11） 通过[8]，我们可以看到，如果▄xm∈ Em，u下的▄X（m）（t，▄xm）分布规律具有平滑密度函数p（m）（t，▄xm，·）：R▄Nm→ [0, ∞) 对于t>0。此外，通过[9]，我们可以看到remp（m）（t，xm，ym）dy=1，xm∈ Em.我们有pm（t，~xm，y）=0，y∈ Ecmby【9】。3准备在本节中，我们使用[7]中的符号。

我们有如下引理，类似于引理8（3）的顶。任意Φ引理5∈ D∞-, α ∈ A.*5`，let（D（β）Φ）（t，x）=（DΦ（t，x），kβ（t，x））手Φα（t，x）=xβ∈A.*5\'t-kαk/2{-D（β）Φ（t，x）M-1αβ（t，x）- （Xγγ∈A.*5 `Φ（t，x）M-1αγ（t，x））D（β）Mγγ（t，x）M-1γβ（t，x）+Φ（t，x）M-1αβ（t，x））D*kβ（t，x）}，t>0，x∈ 注册护士。ThenEu[Φ（t，x）（V[α]f）（x（t，x））]=t-kαk/2Eu[Φα（t，x）f（x（t，x））]，和SUPT∈[0，T]，x∈RN，p∈(1,∞)E[|Φα（t，x）| p]<∞.设Д为光滑函数，使得Д（z）=（1，z=10，z<0，（12）Д（z）=0。（13） 设Дm（z）=Д（mz）且为m（z）=Zzm（z）dz。（14） 那么对于任何z∈ R、 ^1m（z）→ z∨ 0，m→ ∞.引理6 IfΦ∈ D∞-, 然后|Φ|∈ D∞-.证据设？ψm（z）=？Дm（z）+？Дm(-z） 。那么对于任何z∈ R、 ψm（z）→ |z |，m→ ∞,和|ψm（z）| 5 1。我们有D（(R)ψm（Φ（t，x））=(R)ψm（Φ（t，x））DΦ（t，x）=（φm（Φ（t，x））- ^1m(-Φ（t，x）））DΦ（t，x），m=1。然后{D（(R)ψm（Φ（t，x）））}∞m=1是Lp（W，L（2）（H；R））中的Cauchy序列，p>1，因为（(R)ψm（Φ（t，x）））- D（°ψn（Φ（t，x）））kH5 1{|Φ（t，x）|∈[0,1/m]}kDΦ（t，x）kH，n=m=1。因为D：Dp→ Lp（W，L（2）（H；R））是一个闭算子，我们有Φ（t，x）|∈ Dp，对于任何p>1。所以我们有了这个断言。让我们表示kF k∞= supx公司∈注册护士|(Fx（x），FxN（x））|，F∈ C∞（RN）。引理7设T＞0。然后存在一个C>0，使得E[| g（t，X（t，X*))（PT-tF）（X（t，X*)) ∨ 0- g（s，X）（s，X*)（PT-sF）（X（s，X*)) ∨ 0 |]5 CkF k∞Zts（r-1/2+（T- r）-1/2）dr，适用于任何F∈ C∞b（RN）和任何0<s<t<t。证据设{M（t）}05t5TbeM（t）=Eu[F（X（t，X*))|Ft]=（PT-tF）（X（t，X*)).{M（t）}05t5Tis a{Ft}t=0-鞅。