使用状态空间框架进行死亡率建模的统一方法：

在这种情况下，异质性指的是在ge集团战略yt的面板上，对每年t的观测向量所作的恒定单自由度对角协方差假设的衰减=yx，t，yx，t，yxp，t. 在这种状态空间模型结构中，我们提出了一种替代的识别约束，用于状态空间方法下的估计。将过程yt=（yx，t，…，yxp，t）和κtinto一个动力系统yt=α+βκt+εt，εtiid组合，可以将具有异方差结构的Lee-Carter模型写成状态空间形式~ N（0，∑），（17a）κt=κt-1+θ+ωt，ωtiid~ N（0，σω），（17b），其中α=αx:xp，β=βx:xp，κ是得到的线性高斯状态空间模型的潜在状态。这里，∑是一个p乘p的对角矩阵，对角线上有σε，x:xp。我们将该模型称为LC-H模型，特殊情况下σε，xi=σε，i∈ {1，…，p}，作为LC模型。与识别约束（6）不同，我们提出了一种更简单且更容易适用于基于蒙特卡罗的程序（如MCMC和SMC）的替代约束。我们通过设置αx=常数、βx=常数来计算识别约束。（18） 这种选择是一种va lid识别约束，因为如果每个α和β的一个元素已知（这里我们任意选择了αx和βx），则不再允许（5）中的非平凡线性变换；也就是说，c=0，d=1。注：与约束（6）相比，建议的约束在最大似然和贝叶斯设置方面都很简单。3.2基于年龄异方差的双因素Lee-Carter模型：LC2-H模型LC-H模型的自然扩展是将第二个随机因素纳入到共同效应中。我们用LC2-H模型来表示这个模型。

队列效应（Renshaw和Haberman（2006））可以在状态空间框架下建模，如下所示yx，tyx，t。。。yxp，t=αxαx。。。αxp+β（1）xβ（2）x0··0β（1）x0β（2）x··0。。。。。。。。。。。。。。。β（1）xp0 0··β（2）xpκtζxtζxt。。。ζxpt+εx，tεx，t。。。εxp，t, （19） 式中，ζxt：=ζt-x、 状态方程可以表示为κtζxtζxt。。。ζxp-1tζxpt=1 0 0 · · · 0 00 θ 0 · · · 0 00 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0..................0 0 0 · · · 1 0κt-1ζxt-1ζxt-1.ζxp-1吨-1ζxpt-1.+θ...+ωκtωζt。。。. （20） 这里，我们假设κ是一个带有漂移过程的随机游走过程，并假设队列效应为AR（1）过程，即ζxt=θζxt-1+ωζt，其中|<1。注意，f r om（20），我们有ζxit=ζxi-1吨-1对于i=2，p、 这是队列效应的定义属性，因此我们只需要对ζxt的动力学进行建模。我们可以将模型（19）-（20）写成以下形式：t=α+B[κt，ζt]+ εt，εtiid~ N（0，∑），（21a）κt=κt-1+θ+ωκt，ωκtiid~ N（0，σωκ），（21b）ζt=Cζt-1+Dωζt，ωζtiid~ N（0，σωζ），（21c），其中B是（19）中p+1矩阵的p，C是（20）中对应的p×p子矩阵，D是零p×p矩阵，除了（1，1）元素值为1.3.3的三因素Lee-Carter模型，具有基于时间的动态异方差：LC3-H2模型我们可以通过在观测向量中添加第三个因素来进一步扩展LC2-H模型，以了解随时间变化的挥发动态。

状态空间动力学由以下公式给出：yt=α+B[κt，ζt]+pγytεt，εtiid~ N（0，∑），（22a）κt=κt-1+θ+ωκt，ωκtiid~ N（0，σωκ），（22b）ζt=Cζt-1+Dωζt，ωζtiid~ N（0，σωζ），（22c）γyt=a（b- γyt-1） +γyt-1+σqγyt-1γyt，γytid~ N（0，1），（22d），其中γyti是通过平方贝塞尔过程的Euler离散获得的过程，该过程对应于Cox-Ingersoll-Ross过程，由dγyt=a（b- γyt）dt+σpγytdWt，其中2ab≥ σ，以确保γytis严格为正。这种动态波动性因子可以用来解释观察方差随时间变化的时期，随着时间的推移，观察方差可能会在某些人群中发生。这些可能归因于疾病、战争、饥荒、环境因素或冲击，以及移民和移民模式的变化，这些变化可能会影响不同年龄组观察到的死亡人数的波动性。3.4潜在过程中具有随机波动性的多因素模型：LCSV模型mo r tality建模中的一个常见假设是，周期效应源自漂移过程中随机游动的离散化。这种过程可能对简单动力学建模很有帮助，但如果时间序列中存在随时间变化的波动周期，则可能不够。事实上，许多文献主要集中于捕捉过去几十年的周期效应κt的趋势，其中许多国家的死亡率时间序列相当平稳。在这里，我们扩展了Lee-Carter框架，将随机波动性纳入最新过程。因此，可以考虑流行病、自然灾害、医学突破或战争对死亡率演变的影响。与之前开发的LC3-H2模型相比，这将对校准和重要的预测产生不同的结构影响。

我们将（23a）-（23c）称为Lee-Carter随机波动率模型，我们将其称为LCSV模型：yt=α+βκt+εt，εtiid~ N（0，σεp），（23a）κt=κt-1+θ+ωt，ωt |γt~ N（0，exp{γt}），（23b）γt=λγt-1+λ+ηt，ηtiid~ N（0，σγ）。（23c）在κtvia的状态方程中引入了对数波动过程γ，即误差项ωt。该过程γ是一个1阶自回归模型（AR（1）），λ|<1，平均r倒数由λ/（1）给出- λ). 在（23a）中可以引入异方差结构，并将其称为s LCSV-H模型。队列效应也可包括如下：yt=α+B[κt，ζt]+ εt，εtiid~ N（0，σεp），（24a）κt=κt-1+θ+ωt，ωt |γt~ N（0，exp{γt}），（24b）γt=λγt-1+λ+ηt，ηtiid~ N（0，σγ），（24c）ζt=Cζt-1+Dωζt，ωζtiid~ N（0，σωζ）。（24d）与观察噪声计中包含随机波动性的LC3-H2模型相比，在潜伏期过程中引入随机波动性具有以下优势：在隐含性和易于解释方面，死亡率数据在时间维度上的变异性完全由潜伏期过程捕获。4频率状态空间推断鉴于这些不同的状态空间模型结构，下一个要考虑的任务是联合单阶段状态和参数估计的推断。在本节中，我们将考虑基于滤波和梯度估计的全似然j点推理程序。为了实现这一点，我们必须通过SMC方法（粒子滤波器）描述线性高斯滤波和非线性/非高斯滤波，以及它们在边缘似然度中基于梯度的估计中的应用，并整合了潜在状态过程。我们将以一般方式这样做，然后给出与本文相关的特定示例。在经典的最大似然法下，参数估计采用最大化模型的对数似然函数。

对于（15）-（16）形式的状态空间模型，可能性有两种形式：假设φ固定，完整数据可能性由pψ（φ1:T，z1:T）=TYt=1pψ（zt |φT）pψ（φT |φT）给出-1） ，而通常用于基于静态模型的推理的基本似然由pψ（z1:T）=ZTYt=1pψ（zt |φT）pψ（φT |φT）给出-1） dφt，（2 6），其中ψ表示模型的d维参数向量。现在出现了两个挑战。首先，除了线性高斯状态空间模型系统外，通常（26）中的积分不能以闭合形式计算。第二个问题是，这种状态空间模型边际似然的梯度方程，即使可以以闭合形式计算，也需要非线性多方程求解器。因此，通常采用基于使用边缘似然的梯度和Hessian信息的递归估计的解决方案。在基于梯度的方法下，可以通过迭代找到最佳参数向量，其中（m+1）次估计通过以下公式获得：ψ（m+1）=ψ（m）-ψl（ψ（m））-1.ψlψ（m）, （27）其中l(ψ), ψl（ψ） 以及-ψl（ψ） 分别表示对数似然函数、梯度（或分数）向量和对数似然函数的Hessian信息矩阵，与grad和Laplacian微分算子相关，由下式给出：[ψ] 一：=ψi，我∈ {1，…，n}ψi、 j:=ψiψj，i、 j∈ {1，…，n}。（28）一旦满足特定标准，迭代方案将停止，例如当得分向量的大小足够小时。第4.2节将以LC-H模型为例对此进行说明。得出的结果基于状态空间模型的边际似然，观测值z1的通用静态模型参数ψ：T=z，ZT具有完整的外扩状态φ，φT，用pψ（z1:T）表示。

然后，我们感兴趣的是形成递归滤波，以整合完整的数据可能性，以发现边缘化的可能性，然后使用基于递归梯度的估计，以更新新凝聚型算法中的静态模型参数，或者对于线性高斯系统，使用基于递归最小二乘的方法。正如Poyiadjis et al.（2005）和Poyiadjis et al.（2011）所观察到的，考虑边缘化可能性的梯度和Hessian的两类恒等式是有用的，分别由Fisher恒等式和Louis恒等式给出，根据ψpψ（z1:T）=Zψln pψ（φ1:T，z1:T）pψ（φ1:T | z1:T）dφ1:T，-ψpψ（z1:T）=ψln pψ（z1:T）ψln pψ（z1:T）-ψln pψ（z1:T）pψ（z1:T），（29），其中ψpψ（z1:T）pψ（z1:T）=Zψln pψ（φ1:T，z1:T）ψln pψ（φ1:T，z1:T）pψ（φ1:T | z1:T）dφ1:T+Zψln pψ（φ1:T，z1:T）pψ（φ1:T | z1:T）dφ1:T.（30）关于这些递归的一个重要点是，梯度向量a和hessian矩阵的积分用pψ（φ1:T | z1:T）的空间分布表示。在线性高斯动力学的情况下，可以根据卡尔曼滤波递归的变化获得该分布，但是，当状态空间模型是非线性或非高斯时，必须通过蒙特卡罗方法估计该分布。这些用于状态空间建模的方法中最有效的一类称为SMC方法（粒子过滤器）。在这种情况下，从估计的梯度和Hessian矩阵的变化角度来看，更准确的方法是基于分布pψ（φt | z1:t）的局部估计，以递归方式使用基于滤波分布的估计器，对于每个t∈ {1，…，T}而不是基于最后时刻T的分布pψ（φ1:T | z1:T）的路径空间估计。

Poyiadjis等人（2011）的定理1从路径空间分布与滤波器分布的解的方差角度解释了梯度和Hessian估计精度的差异。这促使他需要使用过滤器递归。为了实现这一点，我们可以用pψ（φT，z1:T）和pψ（φ1:T | z1:T）给出的滤波量来代替费希尔和路易斯恒等式中的帕特h空间量pψ（φ1:T，z1:T）和pψ（φT | z1:T）。在这种替换之后，可以使用以下递归公式来评估梯度和Hessian，见Poyiadjis et a l.（2005）和Poyiadjis et al.（2011）。在这种情况下，fisher标识由以下公式递归给出：ψln pψ（z1:t）=Zψln pψ（φt，z1:t）pψ（φt | z1:t）dφt，ψln pψ（φt，z1:t）=pψ（z1:t-1） pψ（zt |φt）pψ（φt，z1:t）Zpψ（φt |φt-1） pψ（φt-1 | z1:t-1)× [ψln pψ（zt |φt）+ψln pψ（φt |φt-1) + ψln pψ（φt-1，z1:t-1） ]dφt-1，pψ（φt，z1:t）=pψ（z1:t-1） pψ（zt |φt）Zpψ（φt |φt-1） pψ（φt-1 | z1:t-1） dφt-1、路易斯恒等式的递归形式如下：ψpψ（z1:t）pψ（φt，z1:t）=Zψln pψ（φt，z1:t）ψln pψ（φt，z1:t）pψ（φt | z1:t）dφt+Zψln pψ（φt，z1:t）pψ（φt | z1:t）dφt，ψln pψ（φt，z1:t）=ψpψ（φt，z1:t）pψ（φt，z1:t）- ψln pψ（φt，z1:t）ψln pψ（φt，z1:t）,ψpψ（φt，z1:t）=pψ（z1:t-1） pψ（zt |φt）Zpψ（φt |φt-1） pψ（φt-1 | z1:t-1)× {[ψln pψ（zt |φt）+ψln pψ（φt |φt-1) + ψln pψ（φt-1，z1:t-1)]× [ψln pψ（zt |φt）+ψln pψ（φt |φt-1) + ψln pψ（φt-1，z1:t-1)]+ψln pψ（zt |φt）+ψln pψ（φt |φt-1) + ψln pψ（φt-1，z1:t-1)dφt-一般来说，这些递归的解决方案可以通过SMC来实现，详见Poyiadjiset al.（2005）和Poyiadjis et al.（2011）。在以下部分中，我们将说明这些递归恒等式在LC-H模型特殊情况下的使用，其中状态空间采用线性高斯形式。

在这种情况下，梯度a和Hessian的积分和递归求值可以写成闭合形式。在线性高斯状态空间模型的情况下，我们首先引入关于均方误差最小化的最优滤波器递归，称为卡尔曼滤波器（Kalman（1960）和Harvey（1989））。4.1 LC-H模型的闭式过滤器递归过滤的目的是获得给定观测值的最新状态分布。对于一般状态空间模型（15）-（16），时间t的过滤密度π（φt | z1:t）可以通过首先假设过滤密度π（φt-1 | z1:t-1） 在时间t- 1是已知的。然后，状态的一步超前预测密度f由π（φt | z1:t）给出-1） =Zπ（φt |φt-1） π（φt-1 | z1:t-1） dφt-1.（31）根据Bayes公式和状态空间模型的条件依赖结构，可以得出过滤密度为π（φt | z1:t）=π（φt | z1:t-1） π（zt |φt）Rπ（φt | z1:t-1） π（zt |φt）dφt.（32）对于非线性和非高斯状态空间模型，需要使用SMC方法等数值技术来估计过滤密度，请参见Doucet et al.（2001）、Doucet et al.（2000）和Liu（2008）。在LC-H模型的情况下，由于它是一个线性和高斯状态空间模型，可以通过卡尔曼滤波分析获得滤波分布。特别是，我们可以发现过滤递归中关键量的条件分布都是高斯分布，如下所示：κt-1 | y1:t-1.~ N（公吨-1，Ct-1） ，（33a）κt | y1:t-1.~ N（at，Rt），（33b）yt | y1:t-1.~ N（ft，Qt），（33c）κt | y1:t~ N（mt，Ct）（33d），其中这些分布的递归性质来自于效率统计的递归：at=mt-1+θ，Rt=Ct-1+σω，（34a）ft=α+βat，Qt=ββRt+∑，（34b）mt=at+RtβQ-1t（yt- ft），Ct=Rt- RtβQ-1tβRt。

（34c）也就是说，考虑到t- 1，（33a），t处的过滤分布由（33d）使用（34a）-（34c）给出。4.2 LC-H模型的基于分数和HessianRecursions的闭式梯度估计LC-H模型的对数似然函数l（ψ） ：=lnπ（y1:T |ψ）由下式得出l（ψ） =lnTYt=1π（yt | y1:t-1, ψ)!= -pTln 2π-TXt=1ln | Qt |+vtQ公司-1tvt, （35）式中，vt：=yt-ft，ψ=（αx:xp，βx:xp，θ，σε，x:xp，σω）是一个n维参数向量。对数似然函数（35）可直接从（33c）中导出。可以看出（Harvey（1989）），对于LC-H模型，得分向量和信息矩阵的元素以闭合形式给出，表达式如下：lψi=TXt=1tr公司Q-1吨Qtψi（1p- Q-1TV电视t）+ 2.vt型ψiQ-1tvt, i=1，n（36），其中tr[·]表示跟踪运算符和-Elψiψj=TXt=1tr公司Q-1吨QtψiQ-1吨Qtψj+ E“TXt=1vt型ψiQ-1吨及物动词ψj#，i，j=1，n（37）和（37）中第二项上的期望算子E[·]（因为表达式是渐近等价的）。为了评估得分向量和信息矩阵，我们需要及物动词ψi=-αψi-βψiat- β在ψi（38）和Qtψi=βψiRtβ+ βRt公司ψiβ+ βRtβψi+Σψi.（39）表达式（38）和（39）要求，对于t=1，T和i=1，n在ψi=mt公司-1.ψi+θψi和Rt公司ψi=计算机断层扫描-1.ψi+σωψi.（40）（4 0）中的表达式依次要求，对于t=1，T- 1且i=1，nmt公司ψi=在ψi+Rt公司ψiβQ-1tvt+RtβψiQ-1tvt- RtβQ-1吨QtψiQ-1tvt+RtβQ-1吨及物动词ψi（41）和计算机断层扫描ψi=Rt公司ψi-Rt公司ψiβQ-1tβRt- Rt公司βψiQ-1tβRt+RtβQ-1吨QtψiQ-1tβRt- RtβQ-1吨βψiRt- RtβQ-1tβRt公司ψi.（42）注意m级ψi=Cψi=0表示i=1，n和所需的微分矩阵αψi，βψi，Σψi，θψi和σωψi如附录A所示。

算法1中描述了LC Hmodel的基于梯度的估计。算法1基于梯度的参数ψ1估计方法：初始化ψ=ψ（0）；指定命令C.2：当不满足停止条件时do3：将执行的迭代次数计算为m；4： 使用ψ（m）运行卡尔曼滤波器；获得（3 8）和（39）f或t=1，T5： 评估得分向量ψl（ψ（m））使用（36）；6： 评估信息矩阵-Eψl（ψ（m））由（37）给出；7： 集合ψ（m+1）=ψ（m）+E类[ψl（ψ（m））]-1.ψl（ψ（m））。8： 最后，5 Bayes i是一种状态空间推断方法，与经典的最大似然方法相比，在贝叶斯观点中，参数是确定性的但未知的，参数被视为随机变量。通过这种方式，贝叶斯范式可以考虑到参数的不确定性，并以一致的方式将通过优先级编码的对重要模型参数的先验信念纳入其中。在本节中，我们的目标是开发用于静态空间建模的贝叶斯推理的现代方法，这种方法不依赖于基于Gibbs或Gibbs中的Gibbs-orMetropolis的潜在无效采样方法来进行状态过程。相反，我们将介绍两类贝叶斯推理的随机死亡率建模状态空间模型：o线性高斯随机死亡率模型：Rao Blackwellised Gibbs Sampler方法，该方法基于Gibbs内Metropolis和G ibbs采样步骤的组合，用于静态模型参数，结合状态过程的前向后卡尔曼滤波递归。