局部波动下欧式quanto期权的展开公式

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英文标题：
《Expansion formulas for European quanto options in a local volatility
  FX-LIBOR model》
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作者：
Julien Hok, Philip Ngare, Antonis Papapantoleon
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We develop an expansion approach for the pricing of European quanto options written on LIBOR rates (of a foreign currency). We derive the dynamics of the system of foreign LIBOR rates under the domestic forward measure and then consider the price of the quanto option. In order to take the skew/smile effect observed in fixed income and FX markets into account, we consider local volatility models for both the LIBOR and the FX rate. Because of the structure of the local volatility function, a closed form solution for quanto option prices does not exist. Using expansions around a proxy related to log-normal dynamics, we derive approximation formulas of Black--Scholes type for the price, that have the benefit of giving very rapid numerical procedures. Our expansion formulas have the major advantage that they allow for an accurate estimation of the error, using Malliavin calculus, which is directly related to the maturity of the option, the payoff, and the level and curvature of the local volatility function. These expansions also illustrate the impact of the quanto drift adjustment, while the numerical experiments show an excellent accuracy.
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中文摘要：
我们开发了一种扩展方法，用于以伦敦银行同业拆借利率（外币）为基础的欧洲quanto期权定价。我们推导了在国内远期措施下国外LIBOR利率体系的动力学，然后考虑quanto期权的价格。为了考虑固定收益和外汇市场中观察到的倾斜/微笑效应，我们考虑了伦敦银行同业拆借利率和外汇利率的局部波动模型。由于局部波动函数的结构，不存在quanto期权价格的封闭式解。利用对数正态动力学相关代理的展开式，我们导出了价格的Black-Scholes型近似公式，这有助于给出非常快速的数值过程。我们的扩展公式的主要优点是，它们允许使用Malliavin演算精确估计误差，这与期权的成熟度、回报以及局部波动率函数的水平和曲率直接相关。这些展开式也说明了量子漂移调整的影响，而数值实验显示了极好的精度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Expansion_formulas_for_European_quanto_options_in_a_local_volatility_FX-LIBOR_model.pdf (1.65 MB)

2022-6-14 00:12:51 上传

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关键词：Quanto quant Ant fixed income Differential

本地波动性FX-LIBOR模型中欧洲QUANTO期权的扩展公式Julien HOK、PHILIP NGARE和ANTONIS PAPAPANTOLEONABSTRACT。我们开发了一种扩展方法，用于以伦敦银行同业拆借利率（外币）为基础的欧洲quanto期权定价。我们推导了国内远期措施下的外汇LIBOR利率系统的动力学，然后考虑quanto期权的价格。为了考虑固定收益和外汇市场中观察到的倾斜/微笑效应，我们考虑了伦敦银行同业拆借利率和外汇利率的局部波动模型。由于局部波动函数的结构，quanto期权价格不存在闭式解。利用对数正态动力学相关代理的展开，我们导出了价格的Black-Scholes型近似公式，这有助于给出非常快速的数值过程。我们的扩展公式的主要优点是，它们允许使用Malliavin演算精确估计误差，这与期权的成熟度、回报以及局部波动率函数的水平和曲率直接相关。这些展开式也说明了量子漂移调整的影响，而数值实验显示了极好的精度。1、简介我们对伦敦银行同业拆借利率的欧洲quanto期权定价感兴趣。这些对应于一种衍生工具，其中基础利率以一种货币（外币）计价，但以另一种货币（本币）付款。这些产品对那些希望接触外国资产但没有相应汇率风险的投机者和投资者来说很有吸引力。例如，想想一个以欧元为基础的投资者，他正在寻求英镑伦敦银行同业拆借利率的风险敞口，但不想受到英镑/欧元汇率变化的影响。

英镑伦敦银行同业拆借利率的欧洲quanto期权对她来说是一种非常合适的金融产品，因为它在英镑伦敦银行同业拆借利率上具有标准非quanto期权的收益，并在到期时将保证利率为1的收益从英镑转换为欧元。在无套利框架下，quanto期权的定价可以在国内远期措施下进行。为了表达该定价措施下的基本伦敦银行同业拆借利率动态，必须应用Girsanov定理，得出一个漂移项，该漂移项取决于伦敦银行同业拆借利率的波动性、外汇利率的波动性以及伦敦银行同业拆借利率和外汇利率之间的相关性。该漂移项导致定价调整，该调整被称为quanto调整，属于更一般的金融凸度数学调整范畴。这类合同被Pellser（2000）称为“奇异欧洲期权”，广泛用于场外交易（OTC）。欧洲quanto期权的正确定价和风险管理是金融业的一个重要问题。如Romo（2012）所述，考虑利率和外汇利率的市场偏差/波动对于正确评估欧洲quanto衍生品至关重要。在参考教科书和文章中，如Musiela和Rutkowski（2005）、Brigo和Mercurio（2006）或Reiner（1992），为了获得分析公式，考虑了简化的Black-Scholes模型。金融行业通常采用类似的实用方法；更多详情请参见第5.2节或例如Romo（2012）和Christoffersen and Jacobs（2004）。然而，在quanto漂移调整中，它没有适当考虑基础资产的倾斜/微笑效应。

这些问题与常用的方法以及在评估关键词和短语时适当地结合歪斜/微笑的重要性有关。欧洲quanto衍生工具、凸性调整、波动率倾斜/微笑、局部波动率Fx LIBOR模型、展开式、分析近似、Malliavin演算。2 Romo（2012）、J¨ackel（2016）、Giese（2012）或Vong和Rojas Carulla（2014）对J.HOK、P.NGARE和A.PapapantoleoneEuropean quanto期权进行了研究和讨论。局部波动率模型，无论是参数模型还是非参数模型，参见Derman和Kani（1998）；杜皮尔（1994）；J¨ackel（2008）；Rubinstein（1994）或Cox（1975）通常比其他方法（如随机波动率模型）更精确地捕捉隐含波动率的表面；有关讨论，请参见Ren、Madan和Qian（2007）或Romo（2012）。此外，Romo（2012）或Hull and Suo（2002）的研究结果表明，局部波动率模型可以在波动率倾斜/微笑的情况下为欧洲quanto衍生品定价提供正确的方法。基于上述讨论，我们建议在一般的局部波动性框架中评估欧洲quanto期权。由于其通用性，通常很难获得定价的分析公式，尤其是在高维情况下。通常，有效的定价需要使用基于PDE（偏微分方程）技术或蒙特卡罗模拟的数值方法，这对于实时应用而言可能非常耗时。只有在极少数情况下才有闭式公式；参见Albanese、Campolieti、Carr和Lipton（2001）。在同质波动率的情况下，使用奇异摄动技术（Haganand Woodward（1999））获得Vanilla期权（看涨期权、看跌期权）价格的渐近表达式。

隐含波动率公式是使用短期到期的渐近展开方法推导出来的，如Berestycki、Busca和Florent（2002）、Henry Labord\'ere（2005）和Albanese等人（2001）。在更一般的扩散环境中，基于小扰动渐近推导出密度函数和期权价格的近似值，参见Kunitomo和Takahashi（2004）；吉田（1992）或高桥（1995、1999）或高桥（2015）进行审查。通过采用Hagan和Woodward（1999）中使用的奇异摄动方法，几位作者开发了一般局部波动模型中基础过程和期权价格密度函数的展开公式；例如，参见Pagliarani和Pascucci（2012）以及Foschi、Pagliarani和Pascucci（2013）。本文旨在为一般局部波动率模型中的quanto期权提供简单而准确的近似公式。为此，我们使用Benhamou、Gobet和Miri（2009）中介绍的代理应用扰动方法。该方法已在多个方向得到应用和推广，如Benhamou、Gobet和Miri（2010b，2012）、Gobet和Miri（2014）、Gobet和Hok（2014）以及Gobet和Bompis（2014）。我们推导出Black-Scholes类型的展开公式，并使用Malliavin演算进行分析，以提供准确的误差估计。我们认为，严格的误差估计至关重要，因为我们的展开式的准确性取决于支付函数的正则性。一旦完成，这将带来对衍生扩展的信心，并阐明所需的假设；请参见定理3.6和3.7中的主要结果。我们的展开式的一个主要优点是，它们清楚地说明了量子漂移调整的影响，并为其实现提供了非常快速的数值程序。

数值试验（见第5节）表明，我们的公式构成了一个非常精确的近似值。我们之所以对这些问题感兴趣，是因为欧洲quanto衍生品在伦敦银行同业拆借利率上的具体应用，因此我们专门研究这种情况。然而，近似方法和结果也可以应用于其他金融资产。此外，我们关注单曲线LIBOR模型，因为它们构成了多曲线模型的基础。鉴于本文的分析和结果，对多重曲线的扩展很简单，但也很繁琐。本文的结构如下：第2节介绍了用于同时建模外汇和伦敦银行同业拆借利率以及quanto期权的本地波动率模型。第3节概述了通过代理模型展开的quanto定价方法，并陈述了主要结果，即quanto期权价格的二阶和三阶展开。第4节提供了误差分析和二阶展开式的推导，而第5节提供了数值结果。最后，附录中包含了一些辅助结果和三阶展开式的推导。欧洲QUANTO选项32的扩展公式。FX-LIBOR模型和欧洲QUANTO期权2.1。本地波动性FX-LIBOR框架。让(Ohm, F、 F，QN）表示过滤概率空间，其中过滤F=（Ft）t∈[0，TN]满足通常条件，TN表示时间范围。也让T={0=T<T<····<TN}表示离散的基调结构，其中δi=Ti+1- Ti是[Ti，Ti+1]期间的应计分数，定义I={1，…，N}。日期（Ti）i∈I与交易工具的到期日相关。我们假设存在国内和国外零耦合债券的无套利系统，分别表示为（B（·，Ti））i∈Iand（Bf（·，Ti））i∈我

我们进一步考虑了国内外的前向鞅测度，用（Qi）i表示∈土地（Qfi）i∈一、 其中，相应的零息票债券作为每个远期措施的计票依据。设W=（Wt）t∈[0，TN]和wf=（Wft）t∈[0，TN]表示标准d维布朗运动，相对于国内外终端正向测度qn和qfn。让我∈土地（Lfi）i∈注意国内和国外远期伦敦银行同业拆借利率，即在国内和国外市场上投资的时间段【Ti，Ti+1】的离散复合远期利率。它们与零息票债券的关系通常由1+δiLi（t）=B（t，Ti）B（t，Ti+1）和1+δiLfi（t）=Bf（t，Ti）Bf（t，Ti+1）给出。（2.1）外国伦敦银行同业拆借利率（Lfi）体系的动态∈Iis由形式为DLFI（t）=Lfi（t）λi的局部挥发模型提供t、 Lfi（t）dWf，i+1t，（2.2），其中Qfi+1-布朗运动通过Wf与终端布朗运动相关，i+1=Wf，N-NXk=i+1·ZδkLfk（t）1+δkLfk（t）λkt、 Lfk（t）dt，（2.3）适用于所有t∈ [0，Ti+1]。函数λi:[0，Ti]×R→ Rd+，i∈ 一、 是连续的、确定性的，并满足适当的线性增长条件，参见Brigo和Mercurio（2006，§10.3）。它们代表了外国远期伦敦银行同业拆借利率Lfi的本地波动性。Let（X（t））t∈[0，TN]表示以每单位外币的本国货币单位表示的外汇汇率。时间Ti结算的外汇远期汇率，由（Xi（t））t表示∈[0，Ti]由无套利参数定义，由xi（t）=Bf（t，Ti）X（t）B（t，Ti），（2.4）为所有t∈ [0，Ti]。

根据定义，外汇远期利率是一个Qi鞅，我们假设它再次遵循formdXi（t）=Xi（t）σi的局部波动模型t、 Xi（t）dWit，（2.5），其中wii是Qi布朗运动，σi：[0，Ti]×R→ Rd+，i∈ 一、 是一个满足适当线性增长条件的连续确定性函数，表示外汇远期利率的局部波动性。国内外前向布朗运动通过wf，i=Wi进行关联-·Zσit、 Xi（t）dt，（2.6）对于所有i∈ 一、 这个方程和（2.3）一起确定了家庭正向布朗运动之间的关系；详情参见Schl¨ogl（2002）（特别是图2）。4 J.HOK、P.NGARE和A.Papapantoleon因此，DLFI（t）=-Lfi（t）λit、 Lfi（t）σi+1t、 Xi+1（t）dt+Lfi（t）λit、 Lfi（t）dWi+1吨。(2.7)2.2. 欧洲quanto期权和局部波动模型。quanto cap是一系列quanto caplet，其中每个quanto caplet都是以本国货币为基础的外国LIBOR利率的看涨期权。换言之，具有执行价格K和到期日Ti的quanto caplet在时间Ti+1金额δi支付Lfi（Ti）- K+（2.8）以本国货币为单位。

因此，quanto caplet的价格由qc（Ti，K）=δiB（0，Ti+1）Ei+1提供Lfi（Ti）- K+, （2.9）其中Ei+1表示国内远期措施Qi+1的预期。在续集中，我们将考虑一个局部波动模型，其中每个伦敦银行同业拆借利率和每个FXforward利率都由“各自的”一维相关布朗运动驱动，从而形成以下SDE系统：dLfi（t）=-Lfi（t）λit、 Lfi（t）σi+1t、 Xi+1（t）ρidt+Lfi（t）λit、 Lfi（t）dWL，i+1tdXi+1（t）=X（t，Ti+1）σi+1（t，Xi+1（t））dWX，i+1thWL，i+1，WX，i+1i=ρi，（2.10），初始值Lfi（0），Xi+1（0）∈ R+，其中λi和σi是R+-值波动率函数和ρi∈ [-1, 1].假设（2.10）中的所有系数都是确定性的，Lfi（t）是对数正态分布的，并且（2.9）中quanto caplet的价格由Black-Scholes型公式给出；参见Brigoand Mercurio（2006）或Musiela和Rutkowski（2005）。为了考虑固定收入和外汇市场中观察到的倾斜和微笑效应，我们将考虑一个局部波动模型，并假设λi（t，Lfi（t））和σi+1（t，Xi+1（t））分别是Lfi（t）和Xi+1（t）的函数。在这种情况下，闭式解不再存在，通过蒙特卡罗模拟或偏微分方程方法进行数值计算（2.9）非常耗时。因此，我们的目标是为（2.9）提供一个足够精确的近似公式，并允许有效实施。备注2.1。我们自始至终都假设远期伦敦银行同业拆借利率和远期外汇利率之间的相关性是确定性的，并且取决于到期日。时间和成熟度相关关系的扩展很简单。3.

QUANTO定价的扩展方法期权定价扩展方法的主要思想是，根据已知且可以快速计算的数量，推导出期权价格的渐近扩展，例如Black-Scholes模型中的价格和希腊价格。这导致期权价格的数值方案比相应的偏微分方程或蒙特卡罗方法计算速度更快，而其精度可以通过在展开式中加入附加项来提高。本节对（通用）quanto期权的价格进行了类似的扩展，并根据Black-Scholes模型和希腊语提供了该期权价格的公式，而FX和LIBOR之间的相关性起着至关重要的作用。为了简化符号，我们将抑制与tenorand货币相关的子脚本和超级脚本，并使用以下符号：Lt=Lfi（t），Xt=Xi+1（t），W·=W·，i+1，E=Ei+1，ρ=ρi，t=Ti。（3.1）欧洲QUANTO期权5的展开公式考虑到伦敦银行同业拆借利率和外汇利率的对数，用Y=ln L和Z=ln X表示，SDEs系统（2.10）的形式如下dYt=α（t，Yt，Zt）dt+λ（t，Yt）dWLt，Y=ln L=ydZt=β（t，Zt）dt+σ（t，Zt）dWXt，Z=ln X=Z，hWL，WXi=ρ，（3.2），其中α（t，y，z）=-[λ（t，y）+ρλ（t，y）σ（t，z）]λ（t，y）=λi（t，ey）β（t，z）=-σ（t，z）σ（t，z）=σi+1（t，ez）。（3.3）此外，具有一般支付函数的quanto期权的价格h:R→ R+由qoh（T）=δB（0，T）E[h（YT）]提供。（3.4）取h（y）=（ey- K） +，我们在（2.8）–（2.9）中恢复quanto caplet。3.1. 对数正态动力学下的闭式公式。假设局部波动系数是确定性的时间相关函数，尤其是λ（t，y）≡ λ（t，y）和σ（t，z）≡σ（t，z），对于所有t∈ [0，T]。